a m ga ~a m α cos β =1 − g m M L V α β m α ~V M L α β m m m

Kolokwium19.11.2012

Zadania ra hunkowe, grupa A

Uwaga: Ka»de zadanie rozwi¡zujemy na osobnej kart e. Pra e powinny by¢ zytelne, a kolejne

krokiopatrzonetakimikomentarzami,bytokrozumowaniabyª jasny dlasprawdzaj¡ ego. Rozwi¡zuj¡

zadaniawyprowad¹ wzór ko« owy, sprawd¹ jednostki iobli z warto± i li zbowe »¡dany h wielko± i.

Zadanie 1

Masy

m 1

^,

m 2

ⁱ

m 3

^{, poª¡ zone linkamizawieszone s¡ na 2 blo zka hjak narysunku. Jakie musz¡}

by¢speªnionewarunki, abymo»liwebyªoosi¡gni iestanurównowagi? Jakiebd¡ k¡ty

α

ⁱ

β

^pomidzy

linkamii pionem wsytua ji, kiedy ukªad bdzie wrównowadze?

m ₁

m ₂

m ₃

α β

Zadanie 2

Kulkaz plasteliny o masie

M

^{zawieszona jest na ni io dªugo± i}

L

^{li z¡ od±rodka kulki. Po isk o}

masie

m

wystrzelony zprdko± i¡

V ~

^podk¡tem

α

^{dopionu,wbijasiwkulkizatrzymuje dokladniew}

jej±rodku. Ojakik¡t

β

^{od hyli sitakpowstaªe wahadªo? Wyzna z} przybli»on¡warto±¢ li zbow¡tego k¡ta w stopnia h, przyjmuj¡ nastpuj¡ e warto± i:

m

^{=10 g,}

M

^{=90 g,}

L

^{=10 m,}

V

^{=2m/s i}

α

⁼³⁰

^◦

^.

Przyjmij

g

^{=10 m/s}

²

^.

Wskazówka (1): zaniedbaj efekty zwi¡zane z wydªu»eniem ni i.

Wskazówka (2): w przybli»eniu maªy hk¡tów:

cos β = 1 − ^β 2 ²

^.

g

α

v m

β

M

Zadanie 3

Na poziomym stole stoi równia o k¡ ie na hylenia

α

^{, po której bez tar ia mo»e si ±lizga¢ klo-}

ek o masie

m

^{. W hwili} po z¡tkowej klo ek spo zywa na równi, za± równia za zyna porusza¢ si z przyspieszeniem

~a

skierowanym poziomo, jak na rysunku. Wyzna z warto±¢ oraz poziom¡ i pionow¡

skªadow¡przyspieszeniaklo kawukªadzierówniiwukªadziestoªu. Jakies¡mo»liweza howaniaklo ka

idlajaki h warto± i parametrów?

g

α a

m

Kolokwium19.11.2012

Zadania ra hunkowe, grupa B

Uwaga: Ka»de zadanie rozwi¡zujemy na osobnej kart e. Pra e powinny by¢ zytelne, a kolejne

krokiopatrzonetakimikomentarzami,bytokrozumowaniabyª jasny dlasprawdzaj¡ ego. Rozwi¡zuj¡

zadaniawyprowad¹ wzór ko« owy, sprawd¹ jednostki iobli z warto± i li zbowe »¡dany h wielko± i.

Zadanie 1

Masy

m 1

^,

m 2

ⁱ

m 3

^{, poª¡ zone linkamizawieszone s¡ na 2 blo zka hjak narysunku. Jakie musz¡}

by¢speªnionewarunki, aby mo»liwebyªo osi¡gni iestanu równowagi? Jakiebd¡ k¡ty

θ

ⁱ

γ

^pomidzy

linkamii pionem wsytua ji, kiedy ukªad bdzie wrównowadze?

m 3

m ₁

m 2

θ γ

Zadanie 2

Kula z modeliny o masie

M

^{zawieszona jest na niewa»kim pr ie o dªugo± i}

L

^{li z¡ od ±rodka}

kuli. Po isk o masie

m

wystrzelony z prdko± i¡

V ~

^{pod k¡tem}

α

^{do poziomu, wbija si w kulk i}

zatrzymujedokladniewjej±rodku. Ojakik¡t

θ

^{od hylisitakpowstaªewahadªo? Wyzna z}przybli»on¡

warto±¢li zbow¡tegok¡tawstopnia h,przyjmuj¡ nastpuj¡ ewarto± i:

m

^=10g,

M

^=190g,

L

^{=20 m,}

V

^{=8m/s i}

α

⁼⁴⁵

^◦

^{. Przyjmij}

g

^{=10 m/s}

²

^.

Wskazówka (1): zaniedbaj efekty zwi¡zane z odksztaª eniem prta

Wskazówka (2): w przybli»eniu maªy hk¡tów:

cos β = 1 − ^β 2 ²

^.

g

v

m

M

Θ

α

Zadanie 3

Na poziomym stole stoi równia o k¡ ie na hylenia

γ

^{, po której bez tar ia mo»e si ±lizga¢ klo-}

ek o masie

M

^{. W hwili} po z¡tkowej klo ek spo zywa na równi, za± równia za zyna porusza¢ si z przyspieszeniem

~a

skierowanym poziomo, jak na rysunku. Wyzna z warto±¢ oraz poziom¡ i pionow¡

skªadow¡przyspieszeniaklo kawukªadzierówniiwukªadziestoªu. Jakies¡mo»liweza howaniaklo ka

idlajaki h warto± i parametrów?

a

g M

γ

Fizyka I (mechanika), rok akad. 2012/2013

Zadania kolokwialne 1

Zadanie 1

Masy m , ₁ m i ₂ m , połączone linkami zawieszone są na 2 bloczkach jak na rysunku. Jakie ₃

muszą być spełnione warunki, aby możliwe było osiągnięcie stanu równowagi? Jakie będą

kąty α ⁱ β pomiędzy linkami i pionem w sytuacji, kiedy układ będzie w równowadze?

m ₁

m ₂

m ₃

α β

Rozwiązanie:

W równowadze wypadkowe siły działające na każdą z 3 mas muszą znikać. Stąd wniosek, że

siła naciągu lewej nici musi wynosić N ₁ = m ₁ g , zaś prawej N ₃ = m ₃ g . Równowaga masy

środkowej wymaga znikania zarówno poziomej jak i pionowej składowej siły wypadkowej:

β

α ^sin

sin ₃

1 g m g

m = (1)

g

m

g

m

g

m ₁ cos α + ₃ cos β = ₂ ⁽²⁾

Upraszczając oba równania przez g i podnosząc (1) do kwadratu otrzymujemy:

2

3

2

1

2 2

3

2 2

1 cos m cos m m

m α − β = − ⁽³⁾

2

3

1 cos m cos m

m α + β = ⁽⁴⁾

Lewa strona równania (3) jest różnicą kwadratów 2 wyrażeń, wobec tego równanie to można

zapisać jako:

2

3

2

1

2

3

1

3

1

3

1 cos cos )( cos cos ) ( cos cos )

( m α − m β m α + m β = m α − m β ⋅ m = m − m

Stąd łatwo już doprowadzić do rozwiązania:

3

2

2

3

2

1

2

2

1

2

2

3

2

1

2

2

cos 2

cos 2

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m + − = − +

= β

α ⁽⁵⁾

Pierwszy warunek umo ż liwiaj ą cy wyst ą pienie równowagi wynika z równania (4). Poniewa ż

oba cosinusy musz ą by ć nie wi ę ksze od 1 (i nieujemne), to:

2

3

1 m m

m + ≥ (6)

Poza tym, skoro oba cosinusy nie mog ą by ć ujemne, to z (5) wynika, ż e ż adna z mas m ₁ i m ₃

nie mo ż e by ć zbyt du ż a:

2

1

2

2

2

3

2

3

2

2

2

1

m

m

m

m

m

m

+

≤

+

≤ (7)

Maksymalna warto ść masy m ₂ mo ż e by ć równa m ₁ + m ₃ . Łatwo pokaza ć , ż e wtedy cos α = 1

. Z kolei nie ma ograniczenia od dołu na mas ę m ₂ . Wtedy

jednak, dla m ₂ → 0 zwi ą zki (7) prowadz ą do m ₁ = m ₃ .

Zadanie 2

Ciało o masie m spoczywa w punkcie x =0. W chwili t =0 zaczyna na nie działa ć wzdłu ż osi

OX siła zale ż na od czasu:

i cos β = 1 ^{, a wi} ę c α = 0 ⁱ β = ⁰

Zadanie 2

Zadanie 3

Nr. albumu: ... Grupa ¢wi zeniowa:...

FizykaI (2012/2013)

Kolokwium 19.11.2012

Pytania testowe (A)

Na ka»de pytanie jest dokªadnie jedna prawidªowa odpowied¹. Nale»y j¡ zazna zy¢ stawiaj¡ zytelny

znakX w odpowiedniej krat e. Oto zenie zakre±lonej kratki kóªkiem anuluje odpowied¹. Ponownego wyboru

anulowanej w ze±niejodpowiedzimo»nadokona¢ zytelniewypisuj¡ odpowiedni¡ literprzynumerzepytania.

Zadobr¡odpowied¹uzyskuje si1 punkt, zazª¡ -0.5punktu.

1. Jak¡ wielokrotno±¢ metra stanowi femtometr

A

10 ⁻⁹

B

10 ⁻⁶

XC

10 ⁻¹⁵

D

10 ⁻¹²

2. Samo hódstartuj¡ y zestaªym przyspieszeniem osi¡ga 40m/sw i¡gu8sekund. Jak¡ drogpokonujew

tym zasie?

A

X 160m B 100 m C 200 m D 320 m

3. IIzasada dynamikiNewtonawi¡»e aªkowit¡siªdziaªaj¡ ¡ na iaªo z

A energi¡ kinety zn¡ XB po hodn¡ pdu C energi¡ poten jaln¡ D pdem

4. Wahadªomatematy zne odªugo± i 1mmaokresdrga« okoªo 2s. Jaka jestdªugo±¢ wahadªa ookresie 4s

A

X 4m B 2m C 70 m D 140 m

5. Po isk omasie

m

uderza entralnie z prdko± i¡

v ~

wnieru hom¡tar z o masie

M ≫ m

^. Zakªadaj¡ , »e zderzenie jestelasty zne, prdko±¢ po iskupozderzeniuwyniesie

A

~ v ^′ ≈ 0

B

~ v ^′ ≈ ~ v

C

~ v ^′ ≈ 2 ~ v

XD

~ v ^′ ≈ −~ v

545075

Nr. albumu: ... Grupa ¢wi zeniowa:...

FizykaI (2012/2013)

Kolokwium 19.11.2012

Pytania testowe (B)

Na ka»de pytanie jest dokªadnie jedna prawidªowa odpowied¹. Nale»y j¡ zazna zy¢ stawiaj¡ zytelny

znakX w odpowiedniej krat e. Oto zenie zakre±lonej kratki kóªkiem anuluje odpowied¹. Ponownego wyboru

anulowanej w ze±niejodpowiedzimo»nadokona¢ zytelniewypisuj¡ odpowiedni¡ literprzynumerzepytania.

Zadobr¡odpowied¹uzyskuje si1 punkt, zazª¡ -0.5punktu.

1. Jak¡ z±¢ metra stanowi 1 nm

A

X

10 ⁻⁹

B

10 ⁻⁶

C

10 ⁻¹²

D

10 ⁻¹⁵

2. Samo hódstartuj¡ y zestaªym przyspieszeniem osi¡ga 25m/sw i¡gu8sekund. Jak¡ drogpokonujew

tym zasie?

A

X 100m B 160m C 80 m D 200 m

3. I zasadadynamiki jestrównowa»na postulatowiistnienia

A wyró»nionegoukªadu odniesienia XB ukªadu iner jalnego C iaªa doskonaleizolowanego

D absolutnego spo zynku

4. Wahadªomatematy zne odªugo± i 1mmaokresdrga« okoªo 2s. Jaka jestdªugo±¢ wahadªa ookresie 1s

A 50 m B 140 m XC 25 m D 70 m

5. Po isk omasie

M

uderza entralniezprdko± i¡

~ v

wnieru hom¡tar z omasie

m ≪ M

^. Zakªadaj¡ , »e zderzenie jestelasty zne, prdko±¢ tar zypozderzeniuwyniesie

A

X

~ v ^′ ≈ 2 ~ v

B

~ v ^′ ≈ 0

C

~ v ^′ ≈ −~ v

D

~ v ^′ ≈ ~ v

603695