M´owimy, ˙ze grupa G = hXi ma przedstawienie G = hX|<i, je´sli &lt

Algebraiczne Aspekty Kryptografii

LISTA 4: Kombinatoryczna teoria grup i kryptografia

M´owimy, ˙ze grupa G jest generowana przez zbi´or X ⊂ G (oznaczamy G = hXi), je´sli ka˙zdy element grupy G ma posta´c x^ε_i1¹ · ... · x^ε_ik^k, gdzie xij ∈ X i εj ∈ {−1, +1}.

W przypadku gdy G = hXi, s lowo x^ν_i1¹ · ... · x^ν_i^k

k (ν_j ∈ {−1, +1}) nazywa si¸e s lowem relacyjnym wzgl¸edem zbioru generator´ow X, je´sli element grupy G zapisany przez to s lowo jest r´owny 1.

M´owimy, ˙ze grupa G = hXi ma przedstawienie G = hX|<i, je´sli < jest podzbiorem zbioru wszystkich s l´ow relacyjnych wzgl¸edem X i ka˙zde s lowo relacyjne wzgl¸edem X ma posta´c

w₁r^ε₁¹w₁⁻¹· ... · w_lr^ε_l^lw⁻¹

(po ewentualnych skracaniach wyra˙ze´n x^εx^−ε), gdzie r_j ∈ <, ε_j ∈ {−1, +1} i w_j jest s lowem wzgl¸edem X. Takie s lowo relacyjne nazywa si¸e wnioskiem zbioru <.

Twierdzenie. Dla ka˙zdego zbioru X i zbioru s l´ow < istnieje grupa G posiadaj¸aca przedstawienie hX|<i.

1. (a) Opisa´c s lowa relacyjne grup Z, Z(n) i Z ⊕ Z wzgl¸edem standardowych uk lad´ow generator´ow.

(b) Opisa´c s lowa relacyjne grupy hx, y|x²y³, x³y⁴i.

2. Udowodni´c

Twierdzenie Dycka. Niech G = hX|<i i ψ jest odwzorowaniem z X w grup¸e H takim, ˙ze dla ka˙zdego R = x^_i¹₁...x^_ik^k ∈ < element ψ(R) = ψ(xi1)^1...ψ(xi_k)^k jest r´owny 1 w H. Wtedy istnieje dok ladnie jeden homomorfizm ˆψ : G → H taki, ˙ze ψ(x) = ˆψ(x), x ∈ X.

3. Pokaza´c, ˙ze grupa symetrii wielok¸ata foremnego jest obrazem homomorficznym grupy D_n = hx, y|xⁿ, y², (yx)²i. Pokaza´c, ˙ze grupa przekszta lce´n prostej postaci

x →⁺₋ x + n, n ∈ Z jest obrazem homomorficznym grupy D∞= hx, y|y², (yx)²i.

4. Pokaza´c, ˙ze grupa SL(2, Z) jest obrazem homomorficznym grupy hx, y|x² = y³, x⁴i. Pokaza´c, ˙ze grupa P SL(2, Z) jest obrazem homomorficznym grupy hx, y|x², y³i.

5. Pokaza´c, ˙ze grupa S_n jest obrazem homomorficznym grupy Bn= hσ1, ..., σn−1|{σiσj = σjσi : 1 ≤ i < j − 1 ≤ n − 2}

{σ_iσ_i+1σ_i = σ_i+1σ_iσ_i+1 : 1 ≤ i < n}i.

Def. Grupa wolna rangi κ : h{x0, ..., xγ, ... : γ < κ}|−i. (gdzie κ jest liczb¸a kardynaln¸a).

Niech F_n b¸edzie grup¸a woln¸a o generatorach wolnych x₁, ..., x_n (baza).

1

Lemat. Ka˙zdy element grupy F_n ma dok ladnie jedno przedstawienie w postaci zredukowanej.

6. Niech X b¸edzie podzbiorem grupy F . Pokaza´c, ˙ze F jest wolna o bazie X je´sli dla dowolnej grupy H dowolne odwzorowanie X → H ma dok ladnie jedno rozszerzenie do homomorfizmu F → H.

7. Udowodni´c, ˙ze grupy wolne F i F∗ o bazach X i X∗ s¸a izomorficzne w. i t. w.

gdy |X| = |X∗|. Wszystkie bazy grupy F s¸a tej samej mocy.

8. Niech X ⊂ G, X ∩ X⁻¹ = ∅. Zbi´or X jest baz¸a pewnej wolnej podgrupy grupy G w. i t. w. gdy dla dowolnych x₁, ...., x_n ∈ X ∪ X⁻¹, gdzie x_ix_i+1 6= 1, iloczyn x₁· ... · x_n nie jest r´owny 1 (wykorzysta´c Zadanie 6).

9. Grupa G o n generatorach jest izomorficzna z Fn/N , gdzie N jest pewn¸a podgrup¸a normaln¸a.

10. Pokaza´c, ˙ze dla ka˙zdego m > 1 i zredukowanego u ∈ F_n d lugo´s´c u^m (po redukcji) jest wi¸eksza ni˙z d lugo´s´c u.

11. S lowo u nazywa si¸e zredukowanym cyklicznie je´sli u jest zredukowane i takie,

˙ze je´sli x^δ_i jest jego pierwsz¸a liter¸a, to x^−δ_i nie jest jego liter¸a ostatni¸a. Udowodni´c, ˙ze cyklicznie zredukowane u, v ∈ Fn s¸a sprz¸e˙zone wtedy i tylko wtedy gdy dla pewnych w₁, w₂ ∈ F_n, u = w₁w₂ i v = w₂w₁.

12. Pokaza´c, ˙ze elementy x^k₁x₂x^k₁, 0 ≤ k, s¸a generatorami wolnymi podgrupy przez nie generowanej.

13.^∗ Niech m ∈ Z, 2 ≤ m. Pokaza´c, ˙ze podgrupa grupy SL₂(Z) generowana przez t₁₂(m) = [^1m₀₁ ] i t₂₁(m) = [¹⁰_m1] jest generowana przez nie w spos´ob wolny. Wnioskowa´c,

˙ze dla dowolnej liczby pierwszej p i dla dowolnego w ∈ Fn istnieje homomorfizm φ : F_n→ G, gdzie G jest p-grup¸a sko´nczon¸a i φ(w) 6= 1.

14. Pokaza´c, ˙ze F_n/F⁰_njest izomorficzna z Zⁿ, gdzie F⁰_njest podgrup¸a generowan¸a przez wszystkie komutatory [v, w]. Wnioskowa´c, ˙ze dla m 6= n grupy Fn i Fm nie s¸a izomorficzne.

Def. Przekszta lcenia Tietze’go przedstawienia hx₁, x₂, ...|<i:

(A1) wprowadzenie generatora u: zast¸apienie hx1, x2, ...|<i przez hx₁, x₂, ..., u|<, u⁻¹w(x₁, ..., x_n)i, gdzie w jest s lowem od x₁, ..., x_n;

(A2) usuni¸ecie generatora u: zast¸apienie hx₁, x₂, ..., u|<, u⁻¹w(x₁, ..., x_n)i przez hx1, x2, ...|<i, gdzie w jest s lowem od x1, ..., xn;

(B1) dodawanie wniosku: zast¸apienie hx₁, x₂, ..., |<i przez hx₁, x₂, ...|<, R(x₁, ..., x_n)i gdzie R jest wnioskiem <;

(B2) usuni¸ecie wniosku: zast¸apienie hx1, x2, ..., |<, R(x1, ..., xn)i przez hx1, x2, ...|<i gdzie R jest wnioskiem <.

Twierdzenie Tietze’go. Dwa sko´nczone przedstawienia definiuj¸a grupy izomor-

2

ficzne w. i t. w., gdy jedno mo˙zna otrzyma´c z drugiego przy pomocy sko´nczonej ilo´sci przekszta lce´n Tietze’go.

15. Wywnioskowa´c, ˙ze problem rozwi¸azalno´sci problemu s l´ow nie zale˙zy od wyboru przedstawienia.

3