2 Pie´ scienie, idea ly

(tylko) Konspekt wyk ladu Algebra I

: Pier´scienie

http://duch.mimuw.edu.pl/%7Eaweber v.22.1.2015

Notatki zawieraja_,odsy lacze do podre_,cznik´ow

[AMcD] M. F. Atiyah, I. G. MacDonald, Introduction To Commutative Algebra (wiele wyda´n) [BB] A. Bia lynicki-Birula, Zarys algebry, Bibl.Mat. 63, PWN, Warszawa 1987

[BT] A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I (skrypt)

http://www.mimuw.edu.pl/%7Eaboj/algebra/algnowa13.pdf [Br] J. Browkin, Teoria cia l, Bibl.Mat.49, PWN, Warszawa 1977 [Is] I. M. Isaacs, Algebra: A Graduate Course

1 Pier´ scienie

1.1 Definicja pier´scienia przemiennego z 1.

1.2 Jedyno´s´c jedynki, a · 0 = 0

1.3 Pier´scie´n liczb cakowitych_Zi pier´scie´n reszt z dzielenia przez m, _Zm.

1.4 Niekt´ore elementy definicji pier´scienia bywaja_,opuszczane (przemienno´s´c, jedynka, a nawet cza- sami la_,czno´s´c mno˙zenia).

1.5 Macierze kwadratowe nad ustalonym cia lem. (pier´scie´n nieprzemienny)

1.6 Pier´scie´n grupowy (p´olgrupowy). Splot funkcji na grupie. (nieprzemienny je´sli grupa nieprzemi- enna)

1.7 Funkcje na przestrzeni topologicznej o no´sniku zwartym C_c(X). (nie ma 1 je´sli X nie jest zwarta) 1.8 Inne pier´scienie bez jedynki: funkcje zbiegaja_,ce do 0 w niesko´nczono´sci C₀(X) , fukcje szybko gasna_,ce na _R.

1.9 Podpier´scie´n. Podpier´scienie _Q: - _Z[1/p],

- _Z(p)

1.10 Pier´scie´n wielomian´ow k[x], pier´scie´n szereg´ow formalnych k[[x]], pier´scie´n szereg´ow Laurenta k((x)), k[], ² = 0

1.11 Pier´scie´n funkcji wielomianowych na podzbiorze V ⊂_Kⁿ (w przysz lo´sci Nullstellensatz) 1.12 Pier´scie´n liczb p-adycznych _Z^∧_p

Z

∧

p →→ . . . →→_Zpn+1→→_Zpⁿ →→ . . . →→_Zp2 →→_Zp→→ 0 1.13 Pier´scienie funkcji (cia_,g lych, g ladkich, ograniczonych)

1.14 Elementy odwracalne, elementy nierozk ladalne.

1.15 Dzielniki zera, dziedzina = dziedzina ca lkowito´sci = pier´scie´n bez dzielnik´ow zera.

Homomorfizmy pier´scieni

1.16 Homomorfizmy pierscieni z 1, izomorfizm, homomorfizm Zw Zm oraz ewaluacja wielomian´ow:

R[x] → R, f 7→ f (a).

1.17 Ja_,dro homomorfizmu, idea l 1.18 Iloraz przez idea l R/I

1.19 Idea ly pierwsze, idea ly maksymalne, idea ly g l´owne

1.20 Idea l g l´owny (n) ⊂ Z dla n ∈ N, n > 1 jest pierwszy wtedy i tylko wtedy gdy n jest liczba_, pierwsza_,.

1.21 Twierdzenie: idea l I w A jest pierwszy (odp. maksymalny) ⇐⇒ A/I jest dziedzina_,(cia lem).

2 Pie´ scienie, idea ly

– I maksymalny, [a] ∈ R/I nie jest odwracalny to (I, a) = I + Ra jest w l´sciwym idea lem – a ∈ J \ I, J 6= R, to [a] ∈ R/I jest nieodwracalny, 6= 0

2.1 Operacje na idea lach: przecie_,cie, suma wste_,puja_,ca, (I ∪ J ) = I + J , 2.2 ´Cwiczenie: przeciwobraz, obraz idea lu?

2.3 Idea l jest niew la´sciwy (I = R) wtedy i tylko wtedy gdy 1 ∈ I.

2.4 Ka˙zdy idea l maksymalny jest pierwszy bo cia lo jest bez dzielnik´ow zera.

2.5 Twierdzenie: ka˙zdy idea l w la´sciwy jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym.

2.6 Cia la maja_,wy la_,cznie trywialne idea l

2.7 ´Cwiczenie: Ka˙zdy homomorfizm cia l do niezererowego pier´scienia jest w lo˙zeniem.

2.8 R jest cia lem wtedy i tylko wtedy gdy 0 jest idea lem maksymalnym.

2.9 R jest bez dzielnik´ow zera wtedy i tylko wtedy gdy 0 jest idea lem pierwszym.

2.10 Je´sli R zawiera tylko jeden idea l w la´sciwy, to R jest cia lem.

2.11 0 = 1 ⇔ R = {0}.

2.12 (Uzupe lnienia) Uniwersalna w lasno´s´c ilorazu. Twierdzenie o izomorfizmie im(f ) = R/kef (f ).

2.13 A podpier´scie´n R, I idea l w R (piszemy I C R), wtedy I ∩ A C A, A + I podier´scie´n R, oraz A/(I ∩ A) ' (A + I)/I

2.14 Uniwersalna w lasno´s´c pier´scienia wielomian´ow: ka˙zdy homomorfizm pier´scieni R → S mo˙zna jednozniacznie przed lu˙zy´c do homomorfizmu R[x₁, x₂, . . . , x_n] → S przy zadanych warto´sciach na x_i.

2.15 Podpier´scienie generowane przez podzbi´or np k[x², y²] 2.16 Idea ly generowane przez podzbi´or

2.17 np (s+t−2s², s−t) ∈ k[s, t] czy tu iloraz jest cia lem? To samo pytanie dla szereg´ow formalnych?

2.18 Niech S_R⊂_Rⁿ be_,dzie sto˙zkiem wypuk lym. Pier´scie´n p´o lgrupowy k[S], dla S = S_R∩_Zⁿ. 2.19 Przyk lad: S_R= {a(1, 1) + b(−1, 1) ∈R² : a, b ≥ 0}.

k[S] ' k[u, v, w]/(uv − w²)

3 Podzielno´ s´ c

3.1 Typy element´ow: odwracalne (jedno´sci), dzielniki zera, nilpotenty, elementy pierwsze, elementy nierozk ladalne, idempotenty a²= a.

– odwracalne elementy nie sa_,dzielnikami zera, – elementy pierwsze sa_,nierozk ladalne.

3.2 Nilradyka l pier´scienia n ⊂ R to zbi´or element´ow nilpotentnych. n jest idea lem. R/n nie ma element´ow nilpotentnych.

3.3 ´Cwiczenie: R zawiera dok ladnie jeden idea l pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy ka˙zdy jego element nieodwracalny jest nilpotentny.

3.4 ´Cwiczenie: Idea l Jacobsona =T idea ly maksymalne. x ∈ J ⇔ ∀y ∈ R 1 − xy jest odwracalny.

3.5 Je´sli a idempotent to R = aRL(1 − a)R oraz aR i (1 − a)R sa_, pier´scieniami. (Nie pod- pier´scieniami, bo jedynka w aR nie jest jedynka_, w R. Za to rzutowanie na aR jest homomorfizmem pier´scieni.)

3.6 Relacja stowarzyszenia ∼. Podzielno´s´c to relacja porza_,dku na R/ ∼ (dla pier´scieni bez dzielnik´ow zera). N W D(a, b) = c w jezyku relacji porza_,dku oznacza ([d] ≤ [a] ∧ [d] ≤ [b]) ⇒ [d] ≤ [c].

3.7 NWD. Przyk lad bez NWD: R =_Z[√

−3], a = 4 = 2 · 2 = (1 +√

−3)(1 −√

−3), b = 2 · (1 +√

−3) 3.8 W Z[√

−3] liczba 2 jest nierozk ladalna, ale nie jest pierwsza: 2|4 = (1 +√

−3)(1 −√

−3) i nie dzieli czynnik´ow.

3.9 Elementy nierozk ladalny a spe lnia a = bc to b lub c jest odwracalny. Tzn a ∼ c lub a ∼ b.

3.10 Pier´scienie bez dzielnik´ow zera i z jednoznaczno´scia_,rozk ladu, w skr´ocie DJR, ang UFD. Np_Z, k[x₁, x₂, . . . x_n]. Konrtprzyk lad k[x², x³] = k[s, t]/(s³− t²),_Z[√

−3].

3.11 Z i k[x] sa_,DJR. (Be_,dzie tw Gaussa: A DJR to A[x] DJR.)

3.12 R jest DJR ⇒ (?) ka˙zdy cia_,g idea l´ow g l´ownych (a₁) ⊂ (a₂) ⊂ (a₃) ⊂ (a₄) ⊂ . . . stabilizuje sie_,. (?)=ACC=ascending chain condition

3.13 (?) ⇒ ka˙zdy element rozk lada sie_,na nierozk ladalne.

3.14 W DJR (??) ka˙zdy nierozk ladalny element jest pierwszy, tzn idea l (a) jest pierwszy. (a|bc to a wyste_,puje w rozk ladzie bc, wie_,c a|b lub a|c.)

3.15 (?) i (??) ⇔ R jest DJR.

3.16 DIG = Dziedzina idea l´ow g l´ownych. Przyk lad _Z, k[x]. Kontrprzyk lad: (x, y) ⊂ k[x, y] nie jest g l´owny.

3.17 DIGi sa_,DJRami:

(?) jest spe lnione, boS(a_i) = (b) ⇒ ∃i b ∈ (a_i),

(??) (a) ⊂ m = (b), gdy a nierozk ladalny, to a ∼ b. (dodatkowo dostali´smy, ˙ze (a) jest maksymalny.) 3.18 Najwie_,kszy wsp´olny dzielnik podzbioru A ⊂ R w DIGu to taki element b, ˙ze (A) = (b).

3.19 Pier´scienie Euklidesowe: to pier´scienie z dzieleniem z reszta_,. Dana waluacja v : R →N, taka,

˙ze v(ab) = v(a)v(b) oraz dla ka˙zdego a, b ∈ R istnieja_,c, r ∈ R takie, ˙ze a = bc + r i v(r) < v(b). Naog´ol piszemy |a| zamiast v(a) .

3.20 Algorytm Euklidesa tak jak w_Z. Najwie_,kszy wsp´olny dzielnik, jako wynik algorytmu.

3.21 Wykorzystanie algorytmu Euklidesa do przedstawienia N W D(a, b) jako ca + bd. Zastosowanie:

liczenie odwrotno´sci wZ[Zn].

3.22 Przyka_,dy: Z[√

d], v(a +√

db) = |a²− db²| dla d = −2, −1, 2, 3 (w tym napisie |x| oznacza zwy la_, warto´s´c bezwzgla_,dna_,wZ).

4 Cia la, wielomiany i lokalizacja

4.1 Liczby Gaussa_Z[i].

– Elementy pierwsze wZ[i] to dzielniki liczby pierwszej p ∈Z.

– Ponadto p jest rozk ladalna wZ[i] wtedy i tylko wtedy gdy p = a²+ b².

– Je´sli p = 4k + 1 to p rozk ladalna (dow. (p − 1)! ≡p −1, p|((2k)!)²+ 1 = ((2k)! + i)((2k)! − i), ale p 6 |(2k)! + i wie_,c p nie jest elementem pierwszym.)

4.2 Je´sli f ∈ k[x] nierozk ladalny, to k[x]/(f ) jest cia lem. (Bo k[x] jest DIGiem, wie_,c element nierozk ladalny generuje idea l maksymalny.)

4.3 Twierdzenie: f w k[x] jest nierozk ladalny ⇒ k[x]/(f ) jest cia lem.

4.4 Wniosek: pier´scie´n ilorazowy k[x]/(f ) jest cia lem zawieraja_,cym k, w kt´orym f ma pierwiastek.

4.5 Przyk lady: C=R[x]/(x²+ 1),F4=Z2[x]/(x²+ x + 1),F9 =Z3[x]/(x²+ x − 1),F27=Z3[x]/(x³− x + 1).

4.6 Je´sli f ∈ k[x] jest nierozk ladalny stopnia n, to cia lo k[x]/(f ) jako przestrze´n liniowa nad k ma wymiar n.

4.7 W ciele pⁿ-elementowym ka˙zdy element 6= 0 spe lnia to˙zsamo´s´c x^pn−1 = 1, zatem wielomian x^pn− x rozk lada sie_,na pⁿ r´o ˙znych czynnik´ow liniowych (z tw Bezout).

4.8 Przyk lad p = 3, n = 2: f = x⁹− x = (x³− x)(1 + x²+ x⁴+ x⁶). Pierwszy czynnik ma pierwiastki wF3, drugi w F9−_F3. Rozk ladamy dalej

f = x⁹− x = (x³− x)(x²+ 1)(x⁴+ 1) ≡₃(x³− x)(x²+ 1)(x²+ x − 1)(x²− x − 1) = (x³− x)f₁f₂f₃. Cia lo F3[x]/(f1) ma 9 element´ow, wie_,c w nim wielomian f rozk lada sie_, na czynniki liniowe. W szczeg´olnio´sci wielomian f2 ma pierwiastek (nazwijmy go a), wie_,c przekszta lcenie F3[x] → F3/(f1), x 7→ a faktoryzuje sie_,przezF3[x] →F3[x]/(f2) →F3[x]/(f1). Przekszta lcenia cia l sa_,monomorfizmami, wie_,c licza_,c ilo´s´c element´ow wnioskujemy F3[x]/(f2) 'F3[x]/(f1).

4.9 Przyk lad: wielomian x¹⁶− x w _F2 faktoryzuje sie_,

x¹⁶− x = x(1 + x)(1 + x + x²)(1 + x + x⁴)(1 + x³+ x⁴)(1 + x + x²+ x³+ x⁴) – 2 czynniki liniowe maja_,pierwiastki wF2 (dwa pierwiastki),

– czynnik kwadratowy ma pierwiastki wF4\_F2 (4–2=2 pierwiastki),

– 3 czynniki stopnia 4 maja_,pierwiastki w _F8\_F4, jest ich 2⁴− 2²= 12 = 3 · 4

Tak jak poprzednio wykazujemy, ˙ze _F2[x]/(f₁) '_F2[x]/(f₂) dla f₁ i f₂ r´o˙znych czynnik´ow stopnia 4.

Lokalizacja

4.10 S ⊂ R system multiplikatywny a, b ∈ S ⇒ ab ∈ S. Gdyby 0 ∈ S, to dalsza konstrukcja by laby poprawna ale trywialna. Wie_,c zak ladamy, ˙ze 0 6∈ S. Np:

– S = R \ I, gdzie I jest idea lem pierwszym

– w szczegolno´sci S = R − 0 gdy R jest bez dzielnik´ow zera – S = {aⁿ| n ∈_N}, gdzie a nie jest nilpotentny.

4.11 Pier´scie´n R_S = S⁻¹R to zb´or ilorazowy R × S/ ∼, (a, s) ∼ (b, t), gdy istnieje u ∈ S taki, ˙ze uat = ubs. Klasa [(a, s)] oznaczana przez ^a_s

4.12 Jesli R bez dzielnik´ow zera, to mozna: (a, s) ∼ (b, t) gdy at = bs.

4.13 Dla R bez dzielnik´ow zera S = R − 0 cia lo R_S oznaczane jest przez (R).

4.14 k(x) := (k[x]) cia lo funkcji wymiernych o wsp´o lczynnikach w k.

4.15 Pryzk lady lokalizacji_Z: _Z(p),_Q,_Z[1/p].

4.16 Przekszta lcenie ι : R → R_S ma ja_,dro Z(S) = {a | ∃s ∈ S sa = 0}. (Lokalizacje_,mo˙zna zrobi´c w dw´och krokach: najpierw podzieli´c przez Z(S), a potem u˙zy´c prostszej relacjii 4.12.

4.17 Uniwersalna w lasno´s´c: dane przekszta lcenie f : R → R⁰, takie ˙ze f (s) jest odwracalne. Wtedy istnieje dok ladnie jedno ¯f : R_S → R⁰ takie, ˙ze f = ¯f ι.

5 Wielomiany o wsp´ o lczynnikach w pier´ scieniu DJR, podzielno´ s´ c

5.1 X przestrze´n topologiczna T₃¹

2 (tzn przestrze´n Tichonowa, tzn dla dowolnego zbioru domknietego i punktu poza nim istnieje funkcja zeruja_,ca sie_, na tym zbiorze i nie zeruja_,ca sie_, w danym punkcie), pier´scie´n kie lk´ow w x jest izomorficzny z = C(X,R)/mx

5.2 Pier´scienie lokalne i lokalizacja w ideale maksymalnym zbioru domknie_,tego istnieje fun 5.3 Ka˙zdy wielomian dzieli sie_,z reszta_,przez (x − a).

5.4 Og´olniej, je´sli wielomain g ma odwracalny wioda_,cy wsp´o lczynnik, to mo˙zna dzieli´c z reszta_,przez g.

5.5 Tw Bezout f (a) = 0 to f dzieli sie_,przez x − a.

5.6 Wniosek: Je´sli R jest niesko´nczonym pier´scieniem bez dzielnik´ow zera, to przekszta lcenie R[x] → R^R(wielomian f 7→ funkcja wielomianowa

Za lo ˙zenie: od tej pory do kryterium Eisensteina R DJR 5.7 M´owimy, ˙ze f =Pn

i=0aixⁱ ∈ R[x] jest prymitywny, je´sli a_i nie maja_,wsp´olnych czynnik´ow, tzn N W D(a0, a1, . . . , an) = 1. Ka˙zdy wielomian mo˙zna przedstawi´c jako f = a · prymitywny. (a nazywane jest zawarto´s´c f .)

5.8 Ka˙zdy wielomian mo˙zna przedstawi´c jako produkt nierozk ladalnych: element´ow pierwszych z R i nierozk ladalnych wielomian´ow prymitywnych. Poka˙zemy, ˙ze to rozk lad na elementy pierwsze w R[x].

5.9 Je´sli p ∈ R jest pierwszy w R, to jest pierwszy w R[x] (redukujemy R[x]/(p) = (R/(p))[x] nie ma dzielnik´ow zera).

5.10 Je´sli f, g ∈ R[x], f prymitywny. Niech F = (R), f |g w F [x]. Wtedy f |g w R[x]

Dow: cg = f h dla c ∈ R, h ∈ R[x], za l´o˙zmy, ˙ze c ma minimalna_, ilo´s´c czynnik´ow pierwszych.

Przypu´s´cmy, ˙ze p|c, wtedy p|h (bo p 6 | f ). †

5.11 Lemat Gaussa: 0 6= f ∈ R[x] i f = gh w F [x], to f = g0h0 w R[x], oraz ag = g0, bh = h0. (Wystarczy dla g = g₀ prymitywnego; z poprzedniego punktu.)

5.12 Je´sli f ∈ R[x] prymitywny i nierozk ladalny w R[x], to pierwszy.

– f nierozk ladalny w F [x] (z Gaussa)

– F [x] jest DIG, wie_,c tam f jest pierwszy: f |gh ⇒ f |g lub f |h. Podzielno´s´s w F [x] implikuje podzielno´s´c w R[x].

5.13 Wniosek: f = xⁿ+ · · · + a0 ma pierwiastek w F [x], to ma pierwiastek w R[x].

5.14 Wniosek: R[x] jest DJR (? ACC i ?? nierozk ladalne sa_,pierwsze) 5.15 Wniosek: R[x1, x2, . . . , xn] jest DJR.

5.16 Kryterium Eisensteina: za lo˙zenia f ∈ R[x], p 6 | a_n, p dzieli pozosta le wsp´o lczynniki wielomianu, ale p²6 |a₀. Wtedy f nierozk ladalny w F [x].

– po redukcji mod (p) ¯f = ¯anxⁿ 6= 0 w R/(p)[x]. Czynniki ¯f = ¯g¯h, maja_, zerowe wyrazy wolne. Sta_,d wyraz wolny f podzielny przez p².

Pier´scienie Noetherowskie: odsy lacz [Eisenbud: Commutative Algebra with a View To- ward Algebraic Geometry]

5.17 Pier´scienie noetherowskie z definicji: ka˙zdy rosna_,cy cia_,g idea l´ow stabilizuje sie_,. (ACC, nie tylko dla idea l´ow g l´ownych.)

5.18 R´ownowa˙zny warunek: ka˙zdy idea l jest sko´nczenie generowany.

5.19 W pier´scieniu noetherowskim ka˙zdy element mo˙zna przedstawi´c jako iloczyn elemnt´ow nierozk ladalnych (niekoniecznie pierwzych, np k[x², x³]

5.20 Twierdzenie Hilberta o bazie: R noetherowski, to R[x] noetherowski.

Dow. Skonstruujemy zbi´or element´ow, kt´ore generuja_, dany I. Wybieramy ciaa_,g fn ∈ I i pokazu- jemy, ˙ze dla pewnego n idea l In = (f1, f2, . . . , fn) = I. Wielomian fn dobieramy tak: to wielomian o najmniejszym stopniu nale˙za_,cy do I \ In−1. Idea l wioda_,cych wsp´o lczynnik´ow J = (a1, a2, . . . ) = (a1, a2, . . . , am). Wielomian fm+1 ∈ I \ I_m ma wioda_,cy wsp´o lczynnik am+1 =P

k≤mbkak. Biora_,c kom- binacje_, wielomian´ow P

k≤mb_kf_kx^{deg fm+1−deg fm} dostajemy wielomian g z wioda_,cym wsp´o lczynnikiem a_m+1. Wielomian f_m+1− g ma ni˙zszy stopie´n ni˙z f_m+1 co przeczy wyborowi f_m+1.

5.21 Wniosek k[x₁, x₂, . . . , x_n] jest noetherowski.

6 Zwia

zki z geometria

6.1 Pier´scie´n ilorazowy noetherowskiego sa_,noetheowskie.

6.2 Pier´scienie sko´nczenie generowane nad noetherowskim sa_,noetherowskie.

6.3 k dowolne cia lo, k ⊂ A pier´scie´n zawieraja_,cy k = k-algebra. Je´sli A jest sko´nczenie generowany, to dla ka˙zdego idea lu maksymalnego m iloraz A/m jest cia lem zawieraja_,cym k i sko´nczenie geberowana_, k-algebra_,. (Bardzo wa˙zna uwaga bez dowodu: Wtedy A/m jest algebraicznym rozszerzeniem k.)

6.4 Tw Hilberta o zerach Nullstellensatz (cz I). Gdy k = k to idea ly maksymalne w A = k[x₁, x₂, . . . x_n] sa_,postaci (x_n− a_n, x₁− a_n, . . . , x_n− a_n) dla (a₁, a₂, . . . , a_n) ∈ kⁿ

{Idea ly maksymalne w A} = kⁿ Oznaczenie: zbi´or ida l´ow maksymalnych SpecM ax A.

6.5 Je´sli A = k[x₁, x₂, . . . x_n]/I, I = (f₁, f₂, . . . , f_m), to

{Idea ly maksymalne} = X, gdzie

X = {(a₁, a₂, . . . , a_n) ∈ kⁿ| ∀j = 1, 2, . . . , m f_j(a₁, a₂, . . . , a_n) = 0}.

6.6 Uwaga: do definicji zbioru X nie sa_, potrzebne generatory algebry A. Za chwile_, zdefiniujemy topologie_,w X.

6.7 Topologia Zariskiego w kⁿ: zbiory domknie_,te = zbiory algebraiczne (tzn opisane sko´nczonymi uk ladami r´owna´n wielomianowych). Zbiory otwarte w je_,zyku idea l´ow

U (I) = {(m ∈ SpecM ax A | I 6⊂ m}, gdzie I idea l. Baza topologii

U (f ) = {(m ∈ SpecM ax A | f 6∈ m}, gdzie f ∈ A.

6.8 Twierdzenie Hilberta o zerach Nullstellensatz: Dla X ⊂ kⁿ niech I(X) = {f ∈ k[x₁, x₂, . . . , x_n] : ∀a ∈ X f (a) = 0}

(to jest idea l) oraz dla E ⊂ k[x₁, x₂, . . . , x_n] niech V (E) zbi´or zer:

V (E) = {(a1, a2, . . . , an) ∈ kⁿ| ∀f ∈ E f (a₁, a2, . . . , an) = 0}.

Mamy

I(V (E)) =p

(E), X = V (I(X)) , gdzie X oznacza domknie_,cie w topologi Zariskiego.

6.9 Zbiory algebraiczne mo˙zna rozk lada´c na sk ladowe:

– V (xy) = V (x) ∪ V (y) suma osi, bo (xy) = (x) ∩ (y)

– V (x²y, x²z) = V (x²) ∪ V (y, z) suma prostej y = z = 0 i podw´ojnej p laszczyzny, bo (x²y, x²z) = (x²) ∩ (y, z)

– V (xy, x²) = V (x) ∪ V (x², xy, y²) suma osi i wielokrotnego punktu (ukryta sk ladowa), bo (xy, x²) = (x) ∩ (x², xy, y²)

– V (xy, x²) = V (x) ∪ V (x², xy, y³) inny rozk lad poprzedniego idea lu.

Tez mamy (xy, x²) = (x) ∩ (x², xy, y³)

6.10 Idea l prymarny: ab ∈ I, b 6∈ I to aⁿ∈ I dla penego n (jedyne dzielniki zera w R/I to nilpotenty).

6.11 I prymarny, wtedy√

I pierwszy

Rozk lad idea lu w pier´scieniach noetherowskich - Rozk lad prymarny [np R. Sharp: Steps in Commutative Algebra, roz. 4, Atiyah-MacDonald, roz 4]

6.12 R noetherowski, to ka˙zdy idea l dopuszcza przedstawienie I =T Q_i, gdzie Q_inierozk ladalny (Q_i nie da sie_,przedstawi´c jako przecie_,cie wie_,kszych idea l´ow).

6.13 Twierdzenie: R noetherowski, ka˙zdy Q nierozk ladalny idea l jest prymarny. (tbc) Tu sa_,pliki z ksia_,˙zkami: . . . aweber/zadania/algebra/pdf/

7 Rozk lad prymarny, cia la

7.1 V (I) ∪ V (J ) = V (I · J ) = V (I ∩ J ), zatem maja_,c przedstawienie idea lu I =\

Q_i otrzymujemy rozk lad

V (I) =[

V (Q_i).

Je´sli idea ly Q_i sa_,nierozk ladalne, to V (Q_i) sa_,zbiorami nierozk ladalnymi. Udowodnimy, ˙ze idea ly Q_i sa_, prymarne, zatem P_i=√

Q_i sa_,idea lami pierwszymi. Te idea ly sa_,nazywane stowarzyszonymi idea lami pierwszymi (poka˙zemy, ˙ze dla nieskracalnych rozk lad´ow ass(I) nie zale˙zy od rozk ladu). Mamy

V (I) = [

P ∈ass(I)

V (P ).

W tym rozk ladzie moga_,sie_,pojawi´c P ⊂ P⁰ (tzn V (P ) ⊃ V (P⁰)) wie_,c wystarczy bra´c w rozk ladzie V (I) tylko minimalne idea ly stowarzyszone.

7.2 Zbi´or (I : b) = {x ∈ R | bx ∈ I} jest ida lem. Dla I prymarnego – p(I : b) =√

I gdy b 6∈ I – (I : b) = R gdy b ∈ I

7.3 Twierdzenie: R noetherowski, ka˙zdy nierozk ladalny idea l Q jest prymarny. Dow: Cia_,g · · · ⊂ (Q : aⁿ) ⊂ (Q : aⁿ⁺¹) ⊂ . . . stabilizuje sie_,. Za l´o˙zmy, ˙ze (Q : aⁿ) = (Q : aⁿ⁺¹). Dowodzimy Q = (Q + (aⁿ)) ∩ (Q + (b)). Wtedy skoro b 6∈ Q, to Q + (b) 6= Q, wie_,c Q = Q + (aⁿ), czyli aⁿ∈ Q.

7.4 Niech P be_,dzie idea lem pierwszym. M´owimy, ˙ze Q jest idea lem P -prymarnym, je´sli √

P = Q.

Lemat: Przecie_,cie idea l´ow P -prymarnych jest idea lem P -prymarnym.

7.5 M´owimy, ˙ze rozk lad I =T Q_i jest minimalny, je´sli 1) wszystkie Pi =√

Qi sa_,r´o˙zne, 2) dla ka˙zdego i mamy T

j6=iQj 6⊂ Q_i (rozk lad nieskracalny)

Ka˙zdy rozk lad I na idea ly prymarne mo˙zna przerobi´c na rozk lad minimalny.

7.6 Twierdzenie: je´sli I =T Q_ibe_,dzie nieskracalnym rozk ladem na idea ly prymarne, to zbi´or idea l´ow pierwszych √

Q_i jest jednoznacznie wyznaczony: P = √

Q_i dla pewnego i wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje b ∈ R taki, ˙ze P =p(Q_i : b).

7.7 (bez dowodu) Niech Pi ⊂ ass(I) be_,dzie minimalnym stowarzyszonym idea lem, wtedy Qi w rozk ladzie minimalnym nie zale˙zy od rozk ladu.

Cia la

7.8 Dla ka˙zdego wielomianu f ∈ K[x] istnieje cia lo L oraz w lo˙zenie K ,→ L, takie, ˙ze f ma pierwiastek w L. W by´c mo˙ze wie_,kszym ciele f rozk lada sie_,w L na czynniki liniowe.

7.9 Dane rozszerzenie cia la K ⊂ L. Naste_,puja_,ce warunki sa_,r´ownowa˙zne:

1) istnieje 0 6= f ∈ K[x] taki, ˙ze f (a) = 0 (element a jest algebraiczny nad K) 2) dimKK[a] < ∞

3) K[a] = K(a) (tzn podpier´scie´n K[a] jest cia lem).

7.10 Niech a algebraiczny nad K. Naste_,puja_,ce liczby sa_,r´owne:

1) stopie´n wielomianu minimalnego dla a: (f jest minimalny je´sli (f ) = {g ∈ K[x] | g(a) = 0}) 2) dim_KK[a]

7.11 ´Cwiczenie: Niech a, b ∈ L ⊃ K be_,da_, algebraiczne nad K. Wtedy ich suma i iloczyn sa_, algebraiczne nad K.

7.12 Rozszerzenie algebraiczne K ⊂ L. Def: ka˙zdy element a ∈ L jest algebraiczny.

7.13 Twierdzenie: Rozszerzenie algebraiczne rozszerenia algebraicznego jest algebraiczne.

Dw: K ⊂ L ⊂ M wystarczy za lo˙zy´c, ˙ze L = K[a0, a1, . . . an], M = L[b]. Wtedy dimKM = dimLM · dimKL < ∞.

8 Algebraiczne domknie

cie cia la, modu ly

8.1 Niech K ⊂ L. Grupa automorfizm´ow L sta lych na K oznaczana jest Gal(L, K). Permutuje pierwiastki wielomian´ow f ∈ K[x].

8.2 Przyk lady: - K =Q, L = Q(√

2), Gal(L, K) =Z2

- K =Q, L = Q(ξ), ξⁿ= 1, pierwiastek pierwotny Gal(L, K) =Z^∗_n

- K = k(σ1, σ2, . . . , σn), L = k(x1, x2, . . . , xn), gdzie σi to elementarna funkcja symetryczna od xi (ze wzor´ow Viete’a), Gal(L, K) = Σn.

- Gal(Q(i,⁴√

2)) = D8

- Gal(_Fpⁿ,_Fp) =_Zn - Gal(_Fp,_Fp) =_Z^∧

8.3 K ⊂ L ⊂ M . Dla podgrupy H < Gal(M, K) zbi´or punkt´ow sta lych M^H jest cia lem. Dla podcia la L ⊂ M zbi´or element´ow grupy GL sta lych na L jest podgrupa_,.

– L ⊂ M^GL – H ⊂ G_M^H

Patrz teoria Galois.

8.4 Konstrukcja cia la algebraicznie domknie_,tego zawieraja_,cego dane: ([B-B, Elementy algebry roz 4]): bierzemy jakikolwiek cia_,g cia l K ⊂ K1 ⊂ K₂ ⊂ . . . , taki, ˙ze ka˙zdy wielomian z K_i[x] ma pierwiastek w Ki+1. Wtedy S K_i jest algebraicznie domknie_,te.

8.5 Konstrukcja oszcze_,dniejsza: je´sli K ⊂ L jest rozszerzenim algebraicznym i ka˙zdy wielomian f ∈ K[x] dodatniego stopnia rozk lada sie_,na czynniki liniowe w L[x], to L jest algebraicznie domknie_,te.

Dow: Niech f ∈ L[x] be_,dzie wielomianiem dodatniego stopnia. Istnieje wie_,ksze cia lo M ⊃ L, w kt´orym f ma pierwiastek b. Niech L(b) ⊂ M be_,dzie podcia lem M generowanym przez L i b. Wtedy

K ⊂ L(b) jest rozszerzeniem algebraicznym (bo jest z lo˙zeniem rozszerze´n algebraicznych). Zatem istnieje wielomian g ∈ K[x], taki, ˙ze g(b) = 0. Ale w ka˙zdy wielomian z K[x] rozk lada sie_,w L[x] na czynniki liniowe. Zatem b ∈ L.

8.6 Dane K ⊂ eK, gdzie eK jest algebraicznie domknie_,te. Wtedy zbi´or element´ow algebraicznych nad K jest cia lem algebraicznie domknie_,tym i algebraicznym rozszerzeniem K. To jest domknie_,cie algebraiczne K. Jest wyznaczone jednoznacznie z dok ladno´scia_,do izomorfizmu.

8.7 Modu ly nad pier´scieniem: przyk lady – wolny Rⁿ

– idea l (to sa_,dok ladnie podmodu ly R¹) – R/I

– dla R = k: przestrze´n liniowa nad k – dla R =Z-modu l to grupa abelowa

– dla R = k, k[x]-modu l to przestrze´n liniowa nad k wraz z endomorfizmem.

8.8 Operacje na modu lach

– suma prosta sko´nczona = produkt sko´nczony – suma prosta niesko´nczona 6= produkt niesko´nczony – modu l ilorazowy

– ja_,dro, koja_,dro – iloczyn tensorowy

– operacje zmiany pier´scienia bazowego

8.9 Klasyfikacja sko´nczenie generowanych modu l´ow nad pier´scieniem DIG

M ' R^r⊕

N

M

i=1

R/(p^k_iⁱ)

gdzie pi ∈ R element pierwszy, k_i ∈_N.

(W przypadku gdy M = R/I, I =T(a), Q p^k_iⁱ z tw chi´nskiego o resztach mamy teze_,.) 8.10 Wnioski:

– Tw Jordana (dla R = k[x]), bo p_i = (x − a_i), sk ladnik wolny odpada, bo zak ladamy dim M < ∞ – Tw o klasyfikacji sko´nczenie generowanych grup abelowych (dla R =_Z), bo p_i to liczby pierwsze.

8.11 Dla pier´scieni noetherowskich mamy rozk lad prymarnego podmodu lu w module sko´nczenie gen- erowanym. Jest to uog´olnienie przypadku I ⊂ M = R.