Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Pitagorasa
W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwa- dratowi przeciwprostokątnej.
PRZYPROSTOKĄTNA
PRZYPROSTOKĄTNA PRZECIWPROSTOKĄTNA
90◦
a
b c
90◦
Przy naszych oznaczeniach można zapisać równość a2+b2 =c2, gdzie a, b – to przy- prostokątne, zaś c – przeciwprostokątna.
Uwaga!
Przeciwprostokątna jest zawsze najdłuższym bokiem w trójkącie prostokąt- nym.
PRZYKŁAD:
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa oblicz długość nieznanego boku trójkąta:
x
8 10
90◦
Przyprostokątne na naszym rysunku mają długości x oraz 8.
Przeciwprostokątna (najdłuższy bok) ma długość 10.
Możemy więc zapisać:
x2+ 82 = 102 x2+ 64 = 100
Po przeniesieniu 64 na drugą stronę równości mamy:
x2 = 100− 64 x2 = 36
Teraz musimy znaleźć taką liczbę x, która po podniesieniu do kwadratu wynosi 36.
oczywiście należy przypomnieć sobie jakie są kolejne kwadraty liczb naturalnych, czyli 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, . . .
I otrzymujemy x = 6
Trzeci bok trójkąta ma więc długość 6.
1
ZADANIA:
1. Zapisz twierdzenie Pitagorasa dla trójkątów z poniższych rysunków i wyznacz długości brakujących boków:
a) wyznacz x, jeśli
12
5 x
90◦
b) wyznacz t, jeśli
t
5
3 90◦
c) wyznacz w, jeśli
9
w 15
90◦
d) wyznacz z, jeśli
z
13
5 90◦
2. Wiedząc, że boki prostokąta mają długości 12 i 15 wyznacz długość jego prze- kątnej.
3. Wiedząc, że boki prostokąta mają długości 3 i 4 wyznacz długość jego przekąt- nej.
4. Wiedząc, że krótszy bok prostokąta ma długość 6, a przeciwprostokątna ma długość 10, wyznacz długość dłuższego boku prostokąta.
5. Wiedząc, że jeden z boków prostokąta ma długość 12, a przeciwprostokątna ma długość 13, wyznacz długość drugiego boku prostokąta.
2
