06DRAP - Prawdopodobieństwo geometryczne Deﬁnicja. 1.

(1)

06DRAP - Prawdopodobieństwo geometryczne

Definicja. 1. Przestrzeń probabilistyczna to trójka (Ω, F , P), gdzie Ω– zbiór zdarzeń elementarnych,

F – σ–ciało zdarzeń (podzbiorów Ω),

P – funkcja prawdopodobieństwa/miara probabilistyczna/prawdopodobieństwo.

Przestrzeń probabilistyczna z prawdopodobieństwem geometrycznym

• Ω – zbiór borelowski w Rⁿ o dodatniej mierze;

• F – podzbiory borelowskie w Ω (B(Ω));

• P – dana wzorem P(A) = ^λ(A)_λ(Ω), gdzie λ oznacza miarę Lebesgue’a w przestrzeni Rⁿ.

A Zadania na ćwiczenia

W kolejnych zadaniach podaj zawsze przestrzeń probabilistyczną.

Zadanie A.1. Z przedziału [0; 2] wybieramy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że a. wybrana liczba jest liczbą wymierną.

b. wybrana liczba jest liczbą niewymierną.

Zadanie A.2. Z kwadratu [0; 2] × [0; 2] wybieramy losowo jeden punkt. Oblicz prawdopodobieństwozdarzenia, że a. obie współrzędne tego punktu są sobie równe?

b. pierwsza współrzędna tego punktu jest mniejsza od 1?

c. przynajmniej jedna współrzędna tego punktu jest mniejsza od 1?

d. iloczyn współrzędnych tego punktu jest mniejszy od 2?

Zadanie A.3. Pociąg PKP „Losowy Wicher” ma przyjechać na stację Poznań Główny o godzinie 12.00. Gosia nie chce się spóźnić na pociąg, więc przychodzi na peron w losowym momencie między 11.00 a 12.00. PKP działa jak działa, więc pociąg przyjeżdża w losowym momencie między 12.00 a 13.00. Wyznacz prawdopodobieństwo zdarzenia, że

a. Gosia czekała na pociąg dokładnie 15 minut (przyszła dokładnie 15 minut przed przyjazdem pociągu).

b. Gosia czekała na pociąg co najmniej 15 minut?

Zadanie A.4. Z przedziału [0, 1] wybrano losowo 2 punkty, które podzieliły go na 3 odcinki. Jaka jest szansa, że z tych odcinków da się skonstruować trójkąt.

Zadanie A.5 (Paradoks Bertranda). Na okręgu o promieniu 1 skonstruowano losowo cięciwę AB. Jaka jest szansa, że zajdzie zdarzenie C – wylosowana cięciwa jest dłuższa niż bok trójkąta równobocznego wpisanego w ten okrąg? Wyznacz P (C) przyjmując za zdarzenia elementarne:

a. wybór kąta środkowego α, opartego na cięciwie AB.

b. odległość środka skonstruowanej cięciwy od środka okręgu.

c. wybór dowolnego punktu wewnątrz koła (wybór środka cięciwy).

Zadanie A.6. a. Czy istnieje przestrzeń probabilistyczna, w której P ({ω}) = 0 dla wszystkich ω ∈ Ω?

b. Czy z faktu, że P (A) = 0 wynika, że A = ∅?

c. Czy z faktu, że P (A) = 1 wynika, że A = Ω?

d. Czy z faktu, że P (A ∪ B) = P (A) + P (B) wynika, że A ∩ B = ∅.

Zadanie A.7. a. Podaj przykład takiego ciągu zdarzeń A₁, A₂, . . ., w którym dla każdego i = 1, 2, . . . P (Ai) = 1, ale A_i6= Ω.

b. Wykaż, że jesli P(Aⁿ) = 1 dla n = 1, 2, . . . , to również P (T∞

n=1An) = 1.

1

(2)

B Zadania domowe

ZADANIA PODSTAWOWE

Zadanie B.1. Dany jest trójkąt o wierzchołkach (0, −2), (0, 2), (2, 0). Losujemy z niego jeden punkt. Oblicz prawdopodo- bieństwonastępujących zdarzeń:

• A - pierwsza współrzędna otrzymanego punktu jest większa od 1,

• B - druga współrzędna otrzymanego punktu jest dodatnia,

• C - obie współrzędne otrzymanego punktu są mniejsze od 1.

Zadanie B.2. Drut metalowy o długości 20 cm zgięto w losowo wybranym punkcie. Dłuższą z powstałych części zgięto jeszcze w dwóch miejscach w taki sposób, że powstała prostokątna ramka. Oblicz prawdopodobieństwo, że pole otrzymanej ramki nie przekracza 21 cm².

Zadanie B.3. Ania i Basia umówiły się w restauracji między 16:00 a 17:00. Zakładamy, że każda z nich przychodzi w losowym momencie z podanego przedziału. Jakie jest prawdopodobieństwo, że się spotkają, jeśli Ania na Basię czeka co najwyżej 10 minut (a potem wychodzi) a Basia na Anię czeka do 17.00 ?

Zadanie B.4. Z odcinka [0, 8] wybrano dwa punkty. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że środek odcinka, który tworzą te dwa punkty jest zawarty w odcinku [2, 4].

ZADANIA DLA TYCH, KTÓRZY MIELI PROBLEM Z PODSTAWOWYMI

Zadanie B.5. W kwadracie z brzegiem o boku 1 wybrano jeden punkt. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że znajduje się on

a. na pewnej przekątnej?

b. w wierzchołku kwadratu?

c. w odległości co najwyżej 1/2 od środka kwadratu?

Zadanie B.6. Wybieramy losowo dwie liczby z przedziału [0, 5]. Oblicz prawdopodobieństwonastępujących zdarzeń:

• A - minimum z otrzymanych liczb jest mniejsze od 2,

• B - druga liczba jest większa od pierwszej o co najwyżej 1,

• C - obie liczby są większe od 3.

Zadanie B.7. Alojzy i Beniamin umówili się na spotkanie między 17:20, a 17:50. Oznaczmy zdarzenia:

• A - Alojzy przyjdzie przed 17:45,

• B - Beniamin przyjdzie co najwyżej 10 minut po Alojzym Oblicz P (A) i P (B).

Zadanie B.8. Liczby rzeczywiste s i t wybieramy losowo z przedziału (0, 3). Oblicz prawdopodobieństwo, że a. st = 3;

b. st > 3 c. s²− 1 ¬ t.

Zadanie B.9. Współczynniki a, b równania kwadratowego x²+ 2ax + b = 0 wybrano losowo z przedziału [−1, 1]. Wyznacz prawdopodobieństwo, że

a) równanie ma jeden (podwójny) pierwiastek rzeczywisty;

b) pierwiastki tego równania są rzeczywiste;

c) iloczyn pierwiastków tego równania jest liczbą rzeczywistą dodatnią.

Zadanie B.10. Na odcinku o długości 10 wybrano losowo dwa punkty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że odległość między nimi jest większa niż 3 ?

Zadanie B.11. W koło wpisany jest kwadrat. Oblicz prawdopodobieństwo, że punkt rzucony losowo na koło znajdzie się wewnątrz kwadratu.

2

(3)

C Zadania dla chętnych

Zadanie C.1. (Zadanie 3b)§1.7 ) Na odcinku AB umieszczono losowo dwa punkty L i M. Oblicz prawdopodobieństwo, że z L jest bliżej do M niż do A.

Zadanie C.2. Na okręgu umieszczono losowo trzy punkty A, B, C. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trójkąt ABC jest rozwartokątny?

Zadanie C.3. Liczbę rzeczywistą x wybrano losowo z odcinka [0, 1). Jakie jest prawdopodobieństwo, że w jej rozwinięciu dziesiętnym

a. pierwsza cyfra po przecinku jest różna od 1 ?

b. ani pierwsza cyfra po przecinku, ani druga, nie jest równa 1?

Zadanie C.4. Zadanie 4.§1.7

Zadanie C.5. Z kwadratu jednostkowego wybrano losowo punkt (x, y). Wyznaczyć funkcje:

a. f1(a) = P (min(x, 1/2) ¬ a);

b. f2(a) = P (max(x, 1/3) ¬ a);

c. f3(a) = P (min(x, y) ¬ a);

d. f4(a) = P (min(x, y) ¬ a);

UWAGA: Spójrz na to zadanie jeszcze raz, gdy będziemy omawiać dystrybuanty zmiennych losowych.

3

(4)

Odpowiedzi do niektórych zadań

B.1 P (A) = ¹4, P (B) = ¹2, P (C) = ⁵8

B.2 3 5 B.3 47/72 B.4 3/8 B.5 a) 0

b) 0 c) π/4

B.6 P (A) = ¹⁶25, P (B) = ¹⁷25, P (C) = 25⁹

B.7 P (A) = ⁵6, P (B) = ⁷9

B.8 a) 0 b) ^{3(1+ln 3)}₉ c) ¹⁴₂₇ B.9 (a) 0 (b) 2

3 (c) 1 2 B.10 49/100

B.11 _π²

4