Prawdopodobieństwo geometryczne

Prawdopodobieństwo geometryczne

Joanna JASZUŃSKA

93

Słynnym przykładem jest tzw. igła Buffona, z którą związana jest ciekawa metoda eksperymentalnego przybliżania wartości liczby π. Więcej na ten temat w tym numerze Delty na stronie 15.

Rys. 1

wyniki doświadczenia losowego dają się zinterpretować jako punkty pewnego obszaru i każdy wynik jest jednakowo prawdopodobny, to prawdopodobieństwo określonego zdarzenia można wyznaczyć jako stosunek miary (pola, objętości etc.) odpowiadającej mu części obszaru do miary całości.

Trzeba uważać na pewne trudności, widoczne np. w paradoksie Bertranda, w którym na to samo pytanie udziela się trzech różnych odpowiedzi. Można o nim przeczytać np.

w artykule Paradoksy rachunku prawdopodobieństwa w Delcie nr 4/1992, dostępnym na stronie deltami.edu.pl.

1.Pod domem Gucia zatrzymują się tramwaje numer 1 i 2, każdy z nich kursuje

Rys. 2

co 10 minut. Gucio codziennie o przypadkowej porze pomiędzy 17⁰⁰a 18⁰⁰ przychodzi na przystanek i wsiada w pierwszy tramwaj, który przyjedzie.

a) Tramwajem 1 dojeżdża do cioci, a tramwajem 2 – do wujka. Czy układ ten jest sprawiedliwy, tzn. czy Gucio porównywalnie często odwiedza ciocię i wujka?

b) Z jakim prawdopodobieństwem Gucio będzie jutro czekał najwyżej 3 minuty?

2.Maja i Gucio jeżdżą do pracy z tego samego przystanku tramwajem kursującym co 10 minut od 7⁰⁰. Maja przyjdzie jutro o przypadkowej porze pomiędzy 7⁰⁰a 8⁰⁰ i wsiądzie w pierwszy tramwaj, który przyjedzie. Gucio postąpi tak samo. Z jakim prawdopodobieństwem spotkają się w tramwaju?

3.Maja jutro o przypadkowej porze pomiędzy 13⁰⁰a 14⁰⁰przyjdzie do baru

Rys. 3

Karaluch i wyjdzie po 15 minutach, ale nie później niż o 14⁰⁰. Gucio postąpi tak samo. Z jakim prawdopodobieństwem spotkają się?

4.Patyk o długości 1 złamano w dwóch przypadkowych miejscach. Jakie jest

Rys. 4

prawdopodobieństwo, że z otrzymanych trzech części da się zbudować trójkąt?

Rozwiązania

R1. (a) Nie musi być sprawiedliwy. Jeśli np. tramwaj 2 przyjeżdża zawsze minutę po tramwaju 1 (rys. 1), to tylko przez tę minutę z każdych dziesięciu najbliższym nadjeżdżającym tramwajem jest 2, czyli Gucio odwiedza wujka średnio raz na dziesięć dni. 

(b) Rysunek 2 ilustruje możliwe czasy oczekiwania na tramwaje: 1 – oś pozioma i 2 – oś pionowa. Czas oczekiwania do 3 minut oznaczono kolorem.

Jego prawdopodobieństwo to stosunek pola kolorowego do pola całości, czyli 51/100. 

R2. Rysunek 3 ilustruje możliwe godziny przyjścia Mai (oś pozioma), Gucia (oś pionowa) oraz ich spotkania (kolorowy obszar). Szukane prawdopodobieństwo to stosunek pola kolorowego obszaru do pola całego kwadratu, czyli 1/6.  R3. Rozwiązanie jest analogiczne jak w poprzednim zadaniu (rys. 4), tym razem prawdopodobieństwo jest równe 7/16. 

R4. Oznaczmy długości odpowiednio lewej i środkowej części przez a i b, wówczas 0 < a, b < 1 oraz a + b < 1, a trzeci fragment ma długość 1 − a − b.

Trójkąt da się zbudować, gdy zachodzą nierówności: b + (1 − a − b) > a, a + (1 − a − b) > b oraz a + b > 1 − a − b, czyli 1/2 > a, 1/2 > b oraz a + b > 1/2. Odpowiada to kolorowemu obszarowi na rysunku 5, a szukane prawdopodobieństwo to stosunek jego pola do pola całej figury zadanej warunkami 0 < a, b < 1 oraz a + b < 1, czyli 1/4. 

Zadanie domowe

5.Maja w piątek o przypadkowej porze pomiędzy 20⁰⁰a 21⁰⁰przyjdzie

Rys. 5

do kawiarni, Gucio postąpi tak samo. Maja wyjdzie po 20 minutach, ale nie później niż o 21⁰⁰; Gucio zostanie do 21⁰⁰. Z jakim prawdopodobieństwem spotkają się?

25