Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji

Indukcja matematyczna

1 Zasada indukcji

Rozpatrzmy najpierw następujący przykład.

Przykład 1 Oblicz sumę 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1).

Dyskusja. Widzimy, że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest 2n − 1 = 1, czyli suma składa się tylko z jednego składnika: 1. Jeśli wprowadzimy oznaczenie

S_n= 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1),

to możemy napisać: S₁ = 1. Widać, że S₂ = 1 + 3 = 4, S₃ = 1 + 3 + 5 = 9. Można policzyć, że S₄ = 16, S₅ = 25, a nawet S₆= 36. Widzimy już, że powinno być S_n= n².

Czy można to jakoś uzasadnić? Trzeba się przyjrzeć, w jaki sposób otrzymujemy kolejne S_n. Na przykład, jeśli mamy już obliczone S₆ = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36, to S₇ = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 nie będziemy liczyli od początku, tylko wykorzystamy oczywistą zależność S7 = S₆+ 13 = 36 + 13 = 49. Podobnie S₈ = S₇+ 15 = 49 + 15 = 64 i tak dalej.

Zwróćmy uwagę na to, co należy dodać do S_n, żeby otrzymać S_n+1. Otóż S7 = S₆+ (2 · 7 − 1) = 6²+ 2 · 6 + 1 = (6 + 1)²= 7² oraz

S8 = S₇+ (2 · 8 − 1) = 7²+ 2 · 7 + 1 = (7 + 1)²= 8².

I tu dopiero mamy pewność, że można to ciągnąć dalej i zawsze będzie S_n= n². Nasza pewność bierze się stąd, że jeśli S_n= n², to

S_n+1 = S_n+ (2 · (n + 1) − 1) = n²+ 2n + 1 = (n + 1)².

Ten ostatni rachunek pokazuje, że dla każdego n zachodzi implikacja (wynikanie):

Sn= n² ⇒ S_n+1= (n + 1)². Oznacza to, że prawdziwe są następujące implikacje:

S₁ = 1² ⇒ S₂= 2², S₂ = 2²⇒ S₃ = 3², S₃ = 3² ⇒ S₄= 4², . . .

Jeśli zatem sprawdzimy, że S₁ = 1², to z tego będzie wynikała równość S₂ = 2², a z tego z kolei będzie wynikało, że S₃ = 3², i tak dalej dla kolejnych liczb naturalnych.

Podsumujmy nasze obserwacje. Jeśli chcemy udowodnić równość S_n = n² dla dowolnego naturalnego n> 1, to wystarczy sprawdzić dwie rzeczy:

(I) S₁= 1².

(II) Dla każdego naturalnego n> 1 zachodzi implikacja Sn= n² ⇒ S_n+1= (n + 1)².

Pytanie 2 (a) Przypuśćmy, że sprawdziliśmy pewien wzór dla n = 2 i udowodniliśmy, że dla dowolnego naturalnego n, z prawdziwości tego wzoru dla liczby n wynika jego prawdziwość dla liczby 2n. Dla jakich n możemy ten wzór uważać za udowodniony?

(b) Wiadomo, że do pewnego zbioru A należy liczba 3. Wiadomo również, że (dla dowolnej liczby naturalnej n) jeśli n należy do zbioru A, to n² należy do zbioru A. Jakie liczby „muszą” należeć do zbioru A?

Ułóż kilka pytań podobnych do postawionych wyżej i znajdź na nie odpowiedzi.

Zapamiętajmy, że jeśli chcemy udowodnić twierdzenie T (n) dla każdego naturalnego n> 1, to możemy się posłużyć metodą indukcji matematycznej. Dowód tą metodą składa się z dwóch elementów – bazy indukcji i kroku indukcyjnego.

(I) Baza indukcji: T (1).

(II) Krok indukcyjny: ∀_n>1(T (n) ⇒ T (n + 1)), gdzie symbol ∀_n>1oznacza „dla każdego n> 1”.

Pytanie 3 Co oznacza zapis ∀_n>1(T (n) ⇒ T (n+1)), a co oznacza zapis (∀_n>1T (n)) ⇒ T (n+1).

Na czym polega różnica między tymi zdaniami?

Zadanie 4 Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n > 1 zachodzą równości:

(a) 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + . . . + n · (n + 1) = n·(n+1)·(n+2)

3 ,

(b) _1·2¹ +_2·3¹ +_3·4¹ + . . . +_n·n+1¹ = _n+1ⁿ , (c) 1³+ 2³+ 3³+ . . . + n³= (ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ )², (d) 1²+ 3²+ 5²+ . . . + (2n − 1)²= ⁿ⁽⁴ⁿ₃²⁻¹⁾, (e) 1 + q + q²+ . . . + qⁿ⁻¹= ^1−q_1−qⁿ, gdzie q 6= 1.

Czasami twierdzenie ma sens i jest prawdziwe również dla n = 0. Wówczas za bazę indukcji możemy przyjąć n = 0, ale wtedy krok indukcyjny trzeba udowodnić dla dowolnego naturalnego n > 0. Schemat dowodu wygląda więc następująco:

(I) Baza indukcji: T (0).

(II) Krok indukcyjny: ∀_n>0(T (n) ⇒ T (n + 1)).

Zadanie 5 Niech n będzie dowolną liczbą naturalną. Wykaż, że:

(a) liczba 2²ⁿ⁺¹+ 3n + 7 jest podzielna przez 9, (b) liczba 7ⁿ⁺²+ 8²ⁿ⁺¹ jest podzielna przez 57, (c) liczba 2ⁿ⁺²· 3ⁿ+ 5n − 4 jest podzielna przez 25, (d) liczba 3³ⁿ⁺²+ 5 · 2³ⁿ⁺¹ jest podzielna przez 19, (e) liczba 5⁵ⁿ⁺¹+ 4⁵ⁿ⁺²+ 3⁵ⁿ jest podzielna przez 11.

2 Mocna wersja zasady indukcji

Pytanie 6 (a) Wiadomo, że twierdzenie T (n) jest prawdziwe dla n = 3 i n = 5. Ponadto, dla dowolnego naturalnego n, z prawdziwości twierdzeń T (n) i T (n + 2) wynika prawdziwość twierdzenia T (n + 4). Dla jakich n twierdzenie T (n) jest prawdziwe?

(b) Do zbioru A należą liczby 10, 11 i 12. Ponadto, dla dowolnej liczby naturalnej n, jeśli n, n + 1, n + 2 ∈ A, to n + 3 ∈ A. Jakie liczby na pewno należą do zbioru A?

Rozważmy następującą sytuację. Pewne twierdzenie T (n) jest prawdziwe dla n = 0 i n = 1.

Ponadto, dla dowolnego naturalnego n, z prawdziwości twierdzeń T (n) i T (n + 1) wynika praw- dziwość twierdzenia T (n + 2). Wówczas twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnego naturalnego n.

Według takiego schematu będzie przebiegał dowód indukcyjny w następnym zadaniu. Za- piszmy ten schemat symbolicznie.

(I) Baza indukcji: T (0) ∧ T (1).

(II) Krok indukcyjny: ∀_n>0(T (n) ∧ T (n + 1) ⇒ T (n + 2)).

Zadanie 7 Ciąg (xn) spełnia warunki: x₁ = 1, x₂ = 3, x_n+2 = 2x_n+1+ x_n dla n = 1, 2, 3, . . . Wykaż, że

xn= (1 +√

2)ⁿ+ (1 −√ 2)ⁿ 2

dla n = 1, 2, 3, . . .

Następne zadanie jest podobne, ale zamiast o ciągu, mówimy w nim o funkcji z N do N.

Zadanie 8 Funkcja f : N → N jest określona następująco:

f (0) = 2, f (1) = 5, f (n + 2) = 5f (n + 1) − 6f (n) dla każdego n ∈ N.

Udowodnij, że f (n) = 2ⁿ+ 3ⁿ dla każdego n.

Jaki schemat rozumowania należy zastosować w następującym zadaniu?

Zadanie 9 Ciąg (a_n) określają następujące warunki:

a0 = 2, a1 = 3, a2= 6, an= (n + 4)a_n−1− 4na_n−2+ 4(n − 2)a_n−3 dla n> 3.

Udowodnij, że a_n= n! + 2ⁿ dla każdego n.

W zadaniu 11 zastosujemy taki schemat dowodu:

(I) Baza indukcji: T (2).

(II) Krok indukcyjny: ∀_n>2(T (2) ∧ . . . ∧ T (n − 1) ⇒ T (n)).

Pytanie 10 Dlaczego w punkcie (II) jest „n > 2”, a nie „n > 2”?

Zadanie 11 Dowieść, że dowolną liczbę naturalną większą od 1 można przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych. (Jeśli n jest liczbą pierwszą, to iloczyn ten składa się tylko z jednego czynnika n.)

W pozostałych dwóch zadaniach należy udowodnić, że ciąg lub funkcja są jednoznacznie określone przez pewne warunki.

Zadanie 12 Dane są liczby naturalne a, b, p, q. Udowodnij, że istnieje dokładnie jeden ciąg liczb naturalnych (x_n) spełniający warunki: x₀= a, x₁= b, x_n+2= px_n+1+ qx_n dla n = 0, 1, 2, . . . Zadanie 13 Dane są liczby naturalne a0, a1, . . . , ak−1 oraz funkcja g: N^k → N. Udowodnij, że istnieje dokładnie jedna funkcja f : N → N taka, że f (n) = an dla n = 0, 1, . . . , k − 1 oraz f (n + k) = g(a_n, a_n+1, . . . , a_n+k−1) dla n ∈ N.

Rozwiązania, wskazówki, odpowiedzi

2 Odpowiedź. (a) Dla n = 2^k, gdzie k = 1, 2, 3, . . . (b) Liczby postaci 3^2k, gdzie k = 0, 1, 2, . . .

3 Odpowiedź. Zapis ∀_n>1(T (n) ⇒ T (n + 1)) to skrócona forma zapisu (?) (T (1) ⇒ T (2)) ∧ (T (2) ⇒ T (3)) ∧ (T (3) ⇒ T (4)) ∧ . . . ,

a zapis (∀_n>1T (n)) ⇒ T (n + 1) to skrócona forma zapisu

(??) (T (1) ∧ T (2) ∧ T (3) ∧ . . .) ⇒ T (n + 1).

Jeśli udowodnimy prawdziwość zdania (?), to wystarczy sprawdzić, że zachodzi T (1), żeby wywnioskować stąd prawdziwość twierdzeń T (2), T (3), T (4) i tak dalej.

Zdanie (??) jest w oczywisty sposób prawdziwe, jeśli za n wstawimy jakąkolwiek liczbę na- turalną. Jednak to zdanie kompletnie do niczego się nie przydaje. Dlatego w kroku indukcyjnym nie wolno pisać: „Załóżmy, że dla każdego naturalnego n twierdzenie jest prawdziwe.”

4 (a) Rozwiązanie.

(I) Baza indukcji.

Dla n = 1 równość jest oczywista:

1 · 2 = 1 · 2 · 3 3 . (II) Krok indukcyjny.

Niech n będzie dowolną liczbą naturalną. Załóżmy, że dana w zadaniu równość zachodzi dla n:

1 · 2 + . . . + n · (n + 1) = n · (n + 1) · (n + 2)

3 .

Wówczas dla n + 1 mamy:

1 · 2 + . . . + n · (n + 1) + (n + 1) · (n + 2) = n · (n + 1) · (n + 2)

3 + (n + 1) · (n + 2) =

= (n + 1) · (n + 2) ·

n 3 + 1



= (n + 1) · (n + 2) · (n + 3)

3 ,

czyli dla n + 1 równość jest prawdziwa.

Na mocy zasady indukcji matematycznej równość

1 · 2 + 2 · 3 + . . . + n · (n + 1) = n · (n + 1) · (n + 2) 3

zachodzi dla dowolnego naturalnego n> 1.

5 (a) Rozwiązanie. Dla n = 0 mamy liczbę 2^2·0+1 + 3 · 0 + 7 = 9, która jest, oczywiście, podzielna przez 9.

Niech n będzie dowolną liczbą naturalną. Załóżmy, że dla n twierdzenie jest prawdziwe, czyli liczba 2²ⁿ⁺¹+ 3n + 7 jest podzielna przez 9. Wówczas

2^2(n+1)+1+ 3(n + 1) + 7 = 2²ⁿ⁺³+ 3n + 3 + 7 = 4 · 2²ⁿ⁺¹+ 3n + 10 = 4 · (2²ⁿ⁺¹+ 3n + 7) − 9n − 18.

Liczby 9n i 18 są podzielne przez 9, liczba 2²ⁿ⁺¹+ 3n + 7 też (z założenia indukcyjnego), więc liczba 2^2(n+1)+1 + 3(n + 1) + 7 również jest podzielna przez 9, czyli dla n + 1 twierdzenie jest prawdziwe.

Na mocy indukcji matematycznej liczba 2²ⁿ⁺¹+ 3n + 7 jest podzielna przez 9 dla dowolnego naturalnego n.

6 Odpowiedź. (a) Dla n = 3 + 2k, gdzie k = 0, 1, 2, . . . (b) Liczby naturalne większe lub równe 10.

9 Rozwiązanie. Mamy

a0= 0! + 2⁰, a1= 1! + 2¹, a2= 2! + 2², więc dla n = 0, 1, 2 twierdzenie jest prawdziwe.

Niech n będzie dowolną liczbą naturalną. Załóżmy, że

an= n! + 2ⁿ, an+1= (n + 1)! + 2ⁿ⁺¹ i an+2 = (n + 2)! + 2ⁿ⁺². Wówczas dla n + 3 mamy

a_n+3 = (n + 7)a_n+2− 4(n + 3)a_n+1+ 4(n + 1)a_n=

= (n + 7)((n + 2)! + 2ⁿ⁺²) − 4(n + 3)((n + 1)! + 2ⁿ⁺¹) + 4(n + 1)(n! + 2ⁿ) =

= tu jest trochę rachunków = (n + 3)! + 2ⁿ⁺³, czyli dla n + 3 twierdzenie jest prawdziwe.

Na mocy indukcji wzór a_n= n! + 2ⁿ zachodzi dla dowolnego naturalnego n.

11 Rozwiązanie. Oczywiście n = 2 jest liczbą pierwszą, czyli iloczynem jednej liczby pierwszej – samej siebie.

Niech n będzie dowolną liczbą naturalną większą od 2. Załóżmy, że każdą liczbę naturalną mniejszą od n można przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych. Pokażemy, że n też można. Jesli n jest liczbą pierwszą, to teza dla n zachodzi. Jeśli n jest liczbą złożoną, to można ją przedstawić w postaci iloczynu dwóch liczb od niej mniejszych, ale większych od 1: n = k · l, 1 < k, l < n. Na mocy założenia zarówno k, jak i l, jest iloczynem liczb pierwszych: k = p₁·. . .·p_i, l = q₁· . . . · q_j, zatem n = k · l też, oczywiście można tak przedstawić: n = p₁· . . . · p_i· q₁· . . . · q_j, co kończy dowód kroku indukcyjnego.

13 Wskazówka. Pokaż indukcyjnie, że dla każdego m ∈ N istnieje dokładnie jedna funkcja f_m: {0, 1, . . . , m + k} → N taka, że fm(n) = a_n dla n = 0, 1, . . . , k − 1 oraz f_m(n + k) = g(a_n, a_n+1, . . . , a_n+k−1) dla n = 0, 1, . . . , m.

Piotr Jędrzejewicz, Ćwiczenia ze wstępu do matematyki dla informatyków, I rok informatyki, jesień 2002.

Indukcja matematyczna, wersja trzecia, 12 II 2003.