Warunki konieczne i dostateczne na moduły w kongruencjin

Warunki konieczne i dostateczne na moduły w kongruencji

n—1

'Z

rn_1 = — 1 (mod

r=l

I. Małe twierdzenie Fermata mówi, że jeżeli (1) p jest liczbą, pierwszą, większą od 1,

(2) ( a , p ) = l ,

to

(3) av~l == 1 (modp).

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Fermata nie jest prawdziwe.

Jeśli dla określonej liczby naturalnej p > 1 będziemy rozpatrywać zbiór liczb całkowitych {«} spełniających kongruencję (3), to wprawdzie z za­

łożenia (3) wynika (2), ale nie koniecznie (1).

Można podać przykłady liczb złożonych p , dla których kongruencja (3) jest spełniona dla każdej liczby całkowitej a, pierwszej względem n, [1].

Do takich liczb należy na przykład n — 561 = 3*11 -17 lub n = 1105 =

= 5-13-17.

S. Sispanow [2] wykazał, że zbiór liczb jn}, które spełniają kongru­

encję а = 1 (mod w) dla każdej liczby całkowitej a, pierwszej wzglę­

dem n, składa się z liczb pierwszych i z liczb (zwanych pseudopierwszymi), spełniających następujące warunki: n — p 1p 2. . . p k, gdzie fc > 2 oraz рг- (dla i — 1, 2, . . . , k) są różnymi liczbami pierwszymi nieparzystymi, oraz (pi—l)|(w —1).

Z twierdzenia Fermata wynika, że Jeśli p jest liczbą pierwszą, to

p-i

(4) V rp~l == —1 (m odp).

r=1

Idąc analogiczną drogą jak Sispanow zajmiemy się zbiorem {n\ liczb, które spełniają kongruencję

W——1

(5) = —l ( modw) .

r = l

Jest rzeczą oczywistą, że w skład zbioru {%} wchodzą liczby pierwsze.

Warunki konieczne i dostateczne na moduły kongruencji 173 Wykażemy, że w skład zbioru {n } mogą, wchodzić jeszcze liczby pseudopierwsze, jeśli spełniają, dodatkowy warunek.

Istnienie takich liczb pseudopierwszych, spełniających ten warunek, jest jednak wątpliwe. Wykażemy mianowicie, że jeśli takie liczby istnieją, to muszą być większe od liczby

К = 3-5-7 *11 -13 \17 *19 -23 -29 = 3234846615.

II.

(6) П = p 1p 2p s- . . ps,

gdzie pi są różnymi czynnikami pierwszymi, nie mniejszymi od liczby 3, (7) (pi—l )\ (n—1) dla « = 1 , 2 , . . . , * ,

(8) ^ n f p i 1 (modw).

i = i

III.

doczna w przypadku * = 1, tj. gdy rozważany moduł n jest liczbą pierwszą.

W dalszych rozważaniach założymy, że są spełnione założenia (6) i (7) oraz że s > 1, czyli że mamy do czynienia z liczbami pseudopierw- szymi. Wtedy

« — i

Z1- 1 = (pi - 1 )nlpi (modp^ ,

r = 1

71— 1

JT гп- г == ■ nfpi (modPi),

r = 1

8 71— 1 8

{ ( n i p ^ z гПг~1) = - (m° d n )-

i—1 7-=l i=l

Można łatwo sprawdzić, że dla к naturalnego

s s

£ (VlVi ? = nlpĄk(mo&n).

i = i i = i

Zatem

S 71—1 S

r*"1 =. - [ ] ? n/pĄ* (modw).

1 = 1 r = 1 1 = 1

(x) Dla n — 2 kongruencja (5) jest banalnie spełniona.

Ponieważ (^ ( niPi)j n) — b więc

г' = 1

8

n—1 s

(9) У r71- 1 == — £ n l Vi (modw).

r= 1 i = l

Wystarczy przyjąć założenie (8), a kongruencja (5) będzie spełniona, c. n. d.

IV.

ków (6), (7) i (8), wystarczy wykazać, że n musi być liczbą pseudopierw- szą lub pierwszą. Zakładamy, że spełniona jest kongruencja (5). Dowo­

dzimy najpierw kilku lematów pomocniczych.

Le m a t 1 . Poza banalnym przypadkiem n — 2 , dla którego kongruencja

( 5 ) jest spełniona, moduł n musi być liczbą nieparzystą.

Istotnie, gdyby było przeciwne, tj. gdyby liczba (>?— 1) była niepa­

rzysta, to zachodziłyby kongruencje

(n —k)71^ = ( —k)71” 1 (modw).

Sumując je stronami dla к = 1,2 , . .. , a — 1, otrzymalibyśmy n—1

A rn~‘ = <

/1—1

_-j j»— 1 1

W'—*—Z r=l

n—1

T= 1 r*= 1

czyli 2 У P1-'1 = 0 (mod??) lub wobec <(1 0),

1

-2 se O (modw).

Ostatnia kongruencja jest możliwa tylko dla n — 2 . Dla innych pa­

rzystych modułów jest ona niemożliwa.

Le m a t 2 . I)la każdego dzielnika pierwszego nieparzystego zachodzi

kongruencja

(1 0) njpi = 1 (mod ^ ) .

Przyjmijmy, że liczba n ma czynnik pierwszy p^. Wtedy oczywiście także

n—1

J ? P* " 1 = — 1 (modp*).

r = l

Wiemy z teorii pierwiastków pierwotnych, że istnieje liczba g będąca pierwiastkiem pierwotnym względem modułu pierwszego p . Zatem zbiór

Warunki konieczne i dostateczne na moduły kongruencji 175 A \g, g2, . .., gr>i 1 1 reprezentuje same różne reszty względem p*, 'Zbiór И 1 jest zatem identyczny ze zbiorem reszt B [ l , 2, 3 , . . . , (Vi~ 1)]•

Identyczne są przeto również zbiory reszt względem modułu pi A ' f/”- 1»»'-1»], B' f i ”- 1, 2”- 1,

Otrzymujemy dalej

П —1

tt- 1

X

r»-> = |i»-> + 2*-1 +

- l ) " - 1! H/P4 (mortp4)

v ~ \

oraz wobec równoważności zbiorów |A'} i {B'},

n^—1

X

(modpi),

r = l n ~ l

У rn~1~ [ g n~1(/n~1^Pi~1)lgn~1—l]n lp i (modpi).

1

Korzystając z założenia mamy

J¥l—1 m

— qf i - Dm- i ) j — = _ i (m odpi).

<7 —1 P i

Ze względu na to, że ( g, Pi ) = 1, zachodzi także g(n-i)(Pi-i) „ Q (modpi),

co w konsekwencji — ze względu na poprzednio otrzymaną kongruencję — pociąga za sobą

= o (modpi).

Wtedy

gn~l (#(п~1)(р<~1) — l)j{gn~l —i) - ^ - 1+ / (n"1) + . . . + ^ ' 1)CPi_I) =

•= l n_1+2ft“l + ... + (p<—l)w _1 (modp{)

= ( P i - 1 ) (modp*).

Dalszą konsekwencją jest

(Рг 1)njPi ~ — 1 (modp j , czyli njpt = 1 (modp4), c. n. d.

Wynik otrzymany w kongruencji (10) możemy interpretować także w ten sposób, że liczba n ma tylko czynniki pierwsze w pierwszej potędze n ⁼ р хр г . . . p s .

Lemat 3. Zachodzi kongruencja

n — ¹

У njpi == 1 (modn).

i - 1

Istotnie, rozważana suma daje na podstawie (10) resztę 1 względem każdego modułu ze zbioru С( рг , р 2, . . . , p s). A zatem na podstawie zna­

nych własności kongruencji musi dawać resztę 1 względem iloczynu tych modułów, czyli względem n, c. n. d.

Le m a t 1. Każda liczba m pierwsza względem n spełnia kongruencję

(1 1) mn~l = 1 (mod/г).

Istotnie, ponieważ liczba mn~l należy do każdego zbioru {5'} utwo­

rzonego dla poszczególnego czynnika pierwszego p i , więc z kongruencji mw _1 == 1 (modpi ) dla wszystkich wartości i wynika kongruencja (1 1).

Le m a t 5. (pi —l ) \ {n—l) dla i = 1, 2, . . . , s.

Jeżeli (r, pi) = 1 , to rn~l = 1 (modpi) oraz rVi~l = 1 (modp*). Jeżeli założymy jeszcze, że r jest pierwiastkiem pierwotnym względem modułu Pi, to (pi—l ) \ ( n - l ) , c. n. d.

.Udowodnione lematy 1, 2, 3, 4 dają łącznie dowód konieczności.

Wobec uwagi na końcu dowodu wystarczalności, dowód lematu 3 nie był konieczny.

У.

Istnienie liczb spełniających warunki

Udowodnimy najpierw

Le m a t. Jeżeli spełniona jest kongruencja (8 ) , to

czyli suma nasza nie może dać reszty 1 względem modułu n. Dla s niepa­

rzystego suma

1 dla s parzystych,

2 dla s nieparzystych.

Istotnie, gdyby te nierówności nie zachodziły, to s

dla s parzystych.

S

^ n/pi = 2nk-\-l

jest nieparzysta; przyjmując к — 1, mamy sprzeczność 8

Warunki konieczne i dostateczne na moduły hongruencji 177

Przekonujemy się, że

8 9

i — l 1

Stąd wniosek: Dla Mezb n mniejszych od

Tc = 3-5-7-1.1-13-17-19-23-29 = 3234846615 kongruencję

?Ł —1

rn _ 1 = — 1 (modn)

r = l

mogą spełniać tylko liczby pierwsze.

\

Prace cytowane

[1] P. B achm an, U ber Fermats „kleinen” Archiy der Mathematik und Physik 21, str. 185-187.

[2] Ś. S isp an ov, Bolletino di Matematica 14 (1941), str. 99-106.

А. Чарнота (Ченстохова)

НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ МОДУЛЕЙ В СРАВНЕНИИ j V ' 1 = - 1 (mod»)

г-=1

Р Е З ЮМ Е

Эти условия следующие:

(1) п = р г р 2 . . . р , ,

причем р ( — простые множители ^ 3,

(2) п - 1 = (р1- 1 ) ( р г- 1 ) . . . ( Р , ~ 1 ) к ,

9

(3) n/pt = 1 (mod»).

i-1

Неизвестно, имеются ли, кроме простых nncej, числа удовлетворяющие этим условиям. В статье приведено условия, которым должны удовлетворят модули » и доказано, что непростые модули должны удовлетворять неравенству

» > 3 234846615.

Roczniki Р, Т. У, - Prace Matematyczne TT 12

A. Cz a r n o t a (Częstochowa)

THE NECESSARY AND SUFFICIENT CONDITIONS FOR THE MODULES OF THE CONGRUENCE J^fV " 1 == - 1 (modw)

r = l

SUMMARY The modules in question are:

(1) n = P i p 2__p, where p f are different prime factors, not smaller than 3, (2) nt —1 = (Pi—1)(P.—1) ••• (Р,—1)*:»

S

(3) nj pf гг 1 (mod»).

»=i

It is not known whether, besides prime numbers, there exist composite numbers satisfying these conditions. The paper gives conditions which must he satisfied by the modules n and shows that composite modules must satisfy the inequality n > 3 234 846 615.