Statystyka matematyczna
Statystyki dostateczne – teoria
Rozważamy model statystyczny (X , {Pθ, θ ∈ Θ}). Najczęściej mamy do czynienia z pró- bą prostą n-elementową i wówczas X = Xn, gdzie X to zbiór możliwych wyników pojedyn- czego losowania, a Pθ to iloczyn rozkładów n pojedynczych prób.
Definicja: Statystyką nazywamy odwzorowanie T : X → Rk, k ∈ N. (Czyli statystyka to po prostu pewna funkcja próby o wartościach w Rk).
Definicja: Statystyka T jest dostateczna, jeżeli dla każdej wartości t tej statystyki jej roz- kład warunkowy Pθ(· | T = t) nie zależy od θ.
Kryterium faktoryzacji: Statystyka T jest dostateczna wtedy i tylko wtedy, gdy gęstość rozkładu prawdopodobieństwa próby X1, . . . , Xn można przedstawić w postaci
fθ(x1, . . . , xn) = gθ(T (x1, . . . , xn))h(x1, . . . , xn),
czyli w postaci iloczynu funkcji h zależnej od wartości próby, ale niezależnej od parametru θ i funkcji gθ zależnej od parametru θ i zależnej od próby, ale tylko poprzez wartość staty- styki T .
Uwaga:
• Statystyki dostateczne mają następujące zastosowanie praktyczne: zamiast brać pod uwagę całą próbę, tzn. uwzględniać wszystkie wylosowane wartości oraz ich kolejność, możemy ograniczyć się do informacji zawartej w wartości statystyki; jeśli statysty- ka jest dostateczna, to jej wartość jest wystarczającą (dostateczną) informacją do wnioskowania o wartości nieznanego parametru.
• Dla danej rodziny rozkładów może istnieć kilka statystyk dostatecznych. Np. ca- ła próba jest zawsze statystyką dostateczną. Najczęściej statystyką dostateczną jest również statystyka porządkowa, czyli próba uporządkowana od wartości najmniej- szej do największej. Powstaje problem jak wybrać statystykę, która będzie zawierała minimalną ilość informacji wystarczającą do wyznaczenia wartości nieznanego pa- rametru.
Definicja: Statystykę dostateczną S nazywamy minimalną statystyką dostateczną, jeżeli dla każdej statystyki dostatecznej T istnieje funkcja h taka, że S = h(T ) (czyli S powstaje jako pewna funkcja każdej innej statystyki dostatecznej).
(Na podstawie: Ryszard Zieliński, Siedem wykładów wprowadzających do statystyki ma- tematycznej, PWN, Warszawa, 1990)
