Statystyka i eksploracja danych 4. Statystyki dostateczne
Ćw. 4.1 Łączny rozkład zmiennych X i Y dany jest tabelką:
X Y 1 3
0 0, 2 0, 3 2 0, 1 0, 4
Wyznacz rozkład warunkowy zmiennej X pod warunkiem Y oraz E(X | Y ).
Ćw. 4.2 Rzucamy dwiema kostkami. Niech U oznacza minimum, a V maksimum otrzy- manych liczb. Wyznacz P (U ¬ 3 | V = 4) oraz E(U | V ).
Ćw. 4.3 Gęstość łączna wektora (X, Y ) dana jest wzorem f(x, y) = 1
41I(0,2)(x)1I(0,2)(x − y).
Wyznacz fY|X(y | x), FY|X(y | x), P (|Y | < 1 | X = 1) i E(Y | X).
Ćw. 4.4 Niech zmienne losowe U i V mają gęstość łączną
f(u, v) = e−v, 0 < u < v < ∞.
Wyznacz fU|V(u | v), fV|U(v | u) oraz E(U | V ).
Ćw. 4.5 (Z., Zad. 2. str. 31) Niech X1, . . . , Xnbędzie próbą z rozkładu Poissona o średniej θ > 0. Wyznacz rozkład warunkowy pod warunkiem, że T = t, gdzie T = Pni=1Xi. Wykaż, że T jest statystyką dostateczną.
Ćw. 4.6 (Z., Zad. 4. str. 31 i Zad. 8 str. 32) Wyznacz statystykę dostateczną z próby X1, . . . , Xndla rodziny rozkładów {U(θ −12, θ+12), θ ∈ R}. Sprawdź, czy wyznaczona statystyka jest minimalna i zupełna.
Ćw. 4.7 Wykaż, że rodzina rozkładów logarytmicznie normalnych, tj. rozkładów o gęsto- ściach
f(x) = 1
√2πσxe−(ln x−a)22σ2 1I(0,∞)(x), a∈ R, σ > 0,
jest rodziną wykładniczą. Wyznacz minimalną i zupełną statystykę dostateczną dla tej rodziny rozkładów. Znajdź estymator nieobciążony minimalnej wariancji parame- tru a.
Ćw. 4.8 Niech X1, . . . , Xn będzie próbą z rozkładu E(λ). Rozważmy dwa estymatory parametru θ = 1λ:
T = nX(1), S = X1+ . . . + Xn
n .
Wykaż, że oba są estymatorami nieobciążonymi. Który z nich jest estymatorem o mniejszej wariancji? Czy jest to estymator nieobciążony minimalnej wariancji?
Ćw. 4.9 (Z., Przykład 1. str. 35) Wyznacz estymator nieobciążony minimalnej wariancji parametru θ(1 − θ) rozkładu dwupunktowego Pθ(X = 1) = θ = 1 − Pθ(X = 0) na podstawie próby X1, . . . , Xn z tego rozkładu.
