oznaczają ilość sposobów podziału zbioru n-elemntowego na k nie- pustych podzbiorów (podzbiorowe liczby Stirlinga). Proszę pokazać, że spełniają one następującą rekurencję:

ZESTAW 10:

1. Liczby  n k



oznaczają ilość sposobów podziału zbioru n-elemntowego na k nie- pustych podzbiorów (podzbiorowe liczby Stirlinga). Proszę pokazać, że spełniają one następującą rekurencję:

 n k



= k  n − 1 k



+  n − 1 k − 1



2. Liczby  n k



oznaczają ilość sposobów rozmieszczenia n obiektów w k niepustych cyklach (cykliczne liczby Stirlinga). Proszę pokazać, że spełniają one następującą rekurencję:

 n k



= (n − 1)  n − 1 k



+  n − 1 k − 1



3. Proszę obliczyć  −1 k



negując górny indeks.

4. Proszę znaleźć zwartą postać sumy:

m

X

k=0

 m k



 n k



5. Proszę udowodnić tożsamość X

k

 m − r + s k

  n + r − s n − k

  r + k m + n



=

 r m

  s n



, całkowite m, n ≥ 0.

Wskazówka: Podstawić

 r + k m + n



= P

j

 r

m + n − j

  k j



6. Proszę znaleźć zwartą postać sumy:

m

X

j=1

(−1)

 r j



X

k=1

 −j + rk + s m − j

 .

Wskazówka: Zanegować górny indeks w drugim współczynniku dwumianowym.

7. Proszę obliczyć

X

k

 n k

 k!

(n + 1 + k)! ,

gdzie n jest nieujemną liczbą całkowitą.