Sur la solution générale de l’équation fonctionnelle<p(x)-<p[i(x)) =

A N N A LES SO C IETA T IS M ATHEM AT1CAE PO LO N AE Series I : COMME N T A T IO N ES M A TH EM ATICAE X V I I I (1974) R O C ZN IK I PO LS K IE G O T O W A R Z Y S T W A M ATEM ATYCZNEGO

Séria I : P R A C E M ATEM ATYCZN E X V I I I (1974)

M arek C ezary Z dun (Katowice)

Sur la solution générale de l’équation fonctionnelle

<p(x)-<p[i(x)) = о

Envisageons l ’équation fonctionnelle

( 1 ) 9>(*Ы /И ) = 0

où cp est nne fonction inconnue et сре Ф(В) = {q> : <p : R -> R}, et la fonction / est strictement croissante dans l’espace de nombres réels R sur R.

Si la fonction y vérifie l’équation ( 1 ) et 8 = у~'(0) alors nous avons :

(2) 8 u f~ 1(8) = R .

La solution de l ’équation (1) se réduit à la determination de tous les ensembles 8 <= R vérifiant la condition ( ² ).

L emme 1. P our chaque ensemble 8 <= R vérifiant la condition (2), il existe un ensemble m inim al (au sens de Vinclusion) S 0 a S vérifiant la condition ( 2 ).

D é m o n s t r a t i o n . Soit M la famille de tous les sous-ensembles 8 de R vérifiant la condition ( 2 ), et soit SS une chaîne arbitraire contenue daus 0t. Nous allons démontrer, que SP est bornée inférieurement. Soit

$ 0 = P) 8, il minorise chaque élément de la chaîne JP. Il faut prouver que $ 0 appartient à la famille 0t. Pour ce but prenons un x e R arbitraire.

Si X€ 80, alors il existe 8 e JP tel que x 4 8. Pour chaque 8" e SP et 8" c= 8 x 4 alors f(x ) e 8", d’où il résulte que f(x ) e U 8" = Q 8" = 80. En

s''eS s &

sej?

vertu du lemme de Kuratowski-Zorn la thèse du lemme s’ensuit.

On trouvera des ensembles minimaux vérifiant ( ² ). Chaque ensemble qui contient un ensemble vérifiant ( 2 ) aussi vérifie cette condition.

On sait que la fonction / strictement croissante sur R et telle que

f(R ) = R est continue. Soit K = {x e R : f(x ) = x). Il est évident d’après

la continuité de / que l ’ensemble K est fermé, ainsi donc R \ K peut être

représenté dans la forme R \ K = U où l j sont des intervalles disjoints

1 2 4 М. С. Z d u n

ouverts et A est un certain sous-ensemble d’ensemble des nombre naturels.

D ’après la continuité de la fonction / nous avons pour chaque j e A

(3) æ < f{ æ )

où

(4) x > f ( x )

pour chaque x e l j .

Supposons que l’inégalité (3) a lieu dans l’intervale I j. Comme f(R )

= R pour chaque point xe Ij la suite f n(x) des itérations de la fonction / en x est strictement croissante et f n(x) tend au bout droit de l ’intervalle

OO

I j, quand n -> oo (г). Ceci implique que { J f n[(æ 0, f { x 0))] = I j. Le cas

— OO

de l ’inégalité (4) est pareil.

Dans chaque intervalle I j on peut construire séparément les solutions de l’équation (1). Pour donner la solution générale de l ’équation (1) il suffit donc de donner la solution générale de ( 1 ) sur Ij pour chaque j e A car les solutions dans les autres intervalles I j étant indépendantes peuvent être construites d’une manière analogue pour chaque j e A. En vertu de ( ¹ ) <p{x) ^{= 0} pour chaque x e K . Soit

=

On a évidemment l’identité S = U S jU K . Pour désigner l ’ensemble S minimal vérifiant

je A

la condition ( 2 ) il suffit de désigner tous les ensembles minimaux Sj vérifiant les conditions:

S jV jf-^ S ) = I j .

Le lemme 1 implique l’existence de tels ensembles Sj minimaux pour chaque j e A.

Pour simplifier la notation nous pourrons supposer que <pe Ф(1) où Ф(1) = {(p : y : I -> R }, et que f ( I ) = I . Puis nous allons considérer l ’équation ( 1 ) resserré à l’intervalle I.

Soit S с I un ensemble vérifiant la condition

(5) £ u / - ] (£) = I

et désignons S' = I \ S. L ’égalité (5) implique

( ⁶ )

4 S => f(x )e S

Il s’ensuit

(7) x i S => /- 1 (æ)€ S .

En effet, si x 4 S et / 1 (x) 4 S en vertu de ( 6 ) on aurait x = /(/~ 3 (x)) e S, ce qui est contradictoire. La condition (7) implique (5). En effet, supposons

С) M. K u c z m a , Functional equations in a single variable, Monografie Matema-

tyczne 46 (PWN Warszawa 1968), p. 17, théorème 0.2.

Solution générale V équation fonctionnelle 1 2 5

qu’il existe un tel x e I , que x i 8 et x-4f ~ 1(8) et désignons f{x ) = z, alors z i 8 et /- 1 ( 2 ) 4 8, mais cela contredit (7).

D ’ici résulte la remarque suivante:

D é m a r q u e 1. Les conditions (5), ( 6 ) et (7) sont équivalentes.

L

2 . P our que Vensemble 8 vérifiant la condition (5) soit un ensemble m inimal il fau t et il suffit qu'il remplit la condition suivante:

( 8 ) y e S ^ f - 1( y ) i 8 où f(y ) 4 8 .

D é m o n s t r a t i o n . On a l ’identité f ~ } {8') = I \ f ~ 1(8 ). Le fait que 8 est l’ensemble minimal remplissant la condition (5) signifia aussi que S' est un ensemble maximal vérifiant

(9) S ' n f- ' iS ' ) = 0 .

En vertu de (9) pour chaque y e l on aura l ’égalité'

(10) (S‘u { y } ) n f - ' ( S ’ u {y }) = ( й п Г ‘ ( 8 ' ) ) и ( { Г ( , ) } п 8 | En effet, la part gauche de (10) est égale

( S ' n f - ' f S ' ) ) и {{y} n / - I ( S ' ) ) и ( { / - ’ ( y ) } n S ' ) u ( { y } n { f~ 1 ( < / ) } )

mais selon (9) et (3) le premier et dernier élément de la réunion susdite sont les ensembles vides.

Supposons 8 un ensemble minimal vérifiant (5), alors pour chaque y e S l’ensemble {8'u {y })n if~ 1(S , 'u{y}) n ’est pas vide. On a en.vertu de ( ¹⁰ ) l’impliquation ( ⁸ ).

Par contre, si l’ensemble 8 remplit les conditions (5) et ( ⁸ ), alors d’après ( ^{1 0} ) pour chaque ye 8 l’ensemble (8r и {y}) n ^{/ -1} (8' и {y}) n ’est pas vide. Donc 8' est l’ensemble maximal vérifiant (9), où 8 est l’ensemble minimal vérifiant la condition (5).

P

1. Chaque ensemble m inim al 8 vérifiant la condition (5)

00

peut être représenté dans la form 8 = U A n, où

“ 00

(11) A n = f { C n_1v B * - 1) pour n ^ l ,

( 1 2 ) A n = f ~ l {Cn+1vB™+l) pour - 1 ,

(13) A 0 = S n ( x 0, f { x Q)),

où Cn = ^ f n(x0), f n+1{x0))\A n, et B\ et B 2 sont tels ensembles que B°, B\ cz A 0, et B * et B * sont disjoints, ain si que

(14) B * -1 <=/(On_2) pour n ^ 2,

(15) B %+1 czf~'(C n+2) pour n ^ - 2 ,

où xQ est le point arbitraire de Vintervalle I.

126

D é m o n s t r a t i o n . Soit

(16) Л = < Г Ы Г ‘ М ^ « , » = ⁰ , ± ¹ , ± ² , . . .

00 00

Il est évident que U A n = 8 puisque, U ( f n(œ0) , f n+1(x„)) = I . Il

— OO —00

s’agit de prouver que la suite A n remplit les rapports (11), (12), (14), (15).

D ’abord nous allons démontrer cela dans le cas de n = 1.

Soit

(17) в ; = { ® * ^ 0, / ( * > € « } ,

(18) (*)< » }

D ’après ( ⁸ ) B°xn B 2 = 0 . Nous allons démontrer que A x = f( C 0u B x).

Supposons que X €f{C 0\jB\), alors f ~ 1(x)e C

\

B\. Si f~ 1(x )e C 0, alors f ~ 1( x ) i 8 et en vertu de ( 6 ) x e S. Si f~ 1{ x ) e B \1 alors d’après (17) x —

= /(/- ¹ (ж))е S. En vertu des inclusions C0, B x c= ( x 0,f(x )) on a f(G 0uB°x) c </(®o), >(*«)) alors

(19) f ( C 0v jB \ )cz A x.

Supposons que x e A x et x 4f(G 0uB°x). Nous avons alors f ~ l {x)

€ ^ x 0, f ( x o)) et f ~ 1( x ) 4C0uB°1, ainsi f ~ 1( x ) 4C0, donc f ~ l {x)* A 0 <= 8.

En vertu de (17) il résulte que/_ ¹ (a?)€ B x, donc Xef(B°x), mais c’est incom­

patible avec l’hypothèse de la proposition. Donc

(20) A x c f( C 0u B j) .

En vertu de (19) et (20) nous avons A x = f(G 0uB°x). Dans le cas de n = — ¹ la démonstration sera analogue.

Fixons ² . D ’après ( ⁶ ) f(C n_x) <= A n ainsi l ’ensemble A n peut être représenté dans la forme A n — f(C n_x)u C où C <=. 8 et C n f(C n_x) = 0 . Soit B ™~1 = / ~ г(С). Alors nous avons A n — f(C n_xu В х~г). On a

( 2 1 ) B n x~l c S .

Supposons qu’il existe un tel x que x e B x et x i 8. Alors f { x ) e f ( B x~1)

= C cz S et x i A n_x d’où resuite que x e C n_x. Ainsi donc /(^)e/((7n_ 1) ce qui est incompatible avec C n f(G n_ x) — 0 . Donc il en résulte (21).

Enfin, nous allons démontrer que B x~l f(C n_2). Soit x tel que x e B x~l et x i f { G n_2). И s’ensuit f( x ) e G cz 8 et /- 1 (æ)€ A n_2 c= 8 ; selon ( 2 1 ) x e 8, mais cela contredit ( 8 ). Ainsi a lieu (14).

Pour n ^ — 2 la démonstration sera analogue.

Voila la proposition inverse.

00

P

2 . Chaque ensemble 8 sous la form e 8

U A n où:

Solution générale Véquation fonctionnelle 1 2 7

1 ° x0 est le point arbitraire de Vintervalle I,

2 ° A 0 est un sous-ensemble arbitraire de Vintervalle f ( x 0)), 3° A n pour n Ф 0 sont des ensembles définis p a r (11) et ( 1 2 ), où, 4° B\, B l sont des sous-ensembles arbitraires de Vensemble A Q tels que В ° п В °2 = ⁰ ,

5° B ”, Б ” pour n Ф 0 sont des sous-ensembles arbitraires vérifiant les conditions (14) et (15),

c’est un ensemble m inim al vérifiant la condition (5).

D é m o n s t r a t i o n : En tenant compte dn lemme 2 il s’agit de prouver que l ’ensemble 8 défini plus haut vérifie les conditions (5) et ( 8 ). En vertu de (11) et (12) A n cz < / > „ ),

Supposons qu’au contraire la condition (5) n’est pas rempli alors il existe un xe I tel que x 4 8 et x 4f ~ 1(S) et un n tel que x e </”(*„),f + 1 (*o)), ainsi donc x j A n et f(x)<{A n+1. Si n > 0 , la condition ( 1 1 ) implique A n+1

— /(Оии £ ”), ainsi f{x ) 4f{C n), alors x e A n a 8. Mais cela contredit l’hypo­

thèse de la proposition. Si n < — 1 , en vertu de ( 1 2 ) A n = /~г{Сп+1 u 5 ”+1), ainsi f(x ) 4 Cn+1, alors f ( x ) e A n+1, mais cela est encore incompatible avec l’hypothèse, d’où resuite (5).

L ’ensemble 8 défini dans la proposition 2 vérifie la condition ( 8 ).

En effet, soit xe S et f _1(x)e 8 et f( x ) e 8, alors il existe un n entier tel que x e A n. Il en résulte que f(x )€ A n+l et f ~ 1(x)e A n_\. Si n = 0, les con­

ditions ( 1 1 ) et ( 1 2 ) impliquent x e C 0u B ° et х е С 0и В 1, ainsi x e B ^ n B l mais cela est contradictoire, car = 0 . Pour n > 1 selon (11) f(x )

* f( C nv B * ) d’où résulte que Car x e A n il s’ensuit que x e B ?, par contre d’après (14) ooef(Gn_j), donc f~ l (x)e Сп_г d’où résulte que

/“

8. On parvient ainsi à la contradiction avec l’hypothèse de la

proposition. Pour n < —1 en vertu de (12) / ^ (^ « / ^ (C ^ u l? ”), donc xe СпиВ%. Comme x e A n, x e B ”. La condition (15) entraîne que f(x ) e Cn+l d’où f(x ) 4 8 ce qui contredit l ’hypothèse de la proposition. Donc il s’ensuit la condition ( 8 ).

Comme une conclusion direct des propositions 1 et 2 on obtient le théorème suivant.

P

3 . L a solution générale de Véquation (1 ) sur Vintervalle I , où la fonction f est stictement croissante dans I et telle q u e f( I) = I est de la form e:

<p{x) = ⁰ ,

<p0{x),

X e 8 , X e I \ 8 ,

oo

où est une fonction arbitraire sur Vensemble I \ 8, 8 = U A n les ensembles

— OO

A n étant défini p a r les conditions 1°, 2°, 3°, 4° et 5° de la proposition 2.

1 2 8 М. С. Z d u n

La construction des ensembles minimals vérifiant la condition (2) est nécessaire pour déterminer des telles conditions initiales pour l ’équation ( 1 ), pour que la solution de l’équation vérifiante ces conditions soit unique.

C orollaire 1 . S i la fonction f est strictement croissante sur I telle

OO

que f ( I ) — I , Vensemble S est donné par la form ule S = {_) A n les ensembles A n étant definis p a r les conditions l ° - 5 ° de la proposition 2 et cpQ est une fonction arbitraire sur Vensemble I \ S , alors il existe exactement une solution

de Véquation ( ¹ ) sur Vintervalle I telle que <p{x) — p 0(x) pour xe I \ S .

C orollaire 2. Si la fonction f est strictement croissante sur B et f{ B ) = B , alors la solution générale de Véquation (1) sur B est de la form e

<p{x) =

0 ,

X € ^

Xe K , ой (pj est une solution arbitraire de Véquation ( 1 ) sur I j.

Cette travaille a obtenu la troisième prix au Concours. Nommée de

J . Marcinkiewicz en 1970.