a) Y X DXDY Y X Cov EY EY Y D DY EX EX X D DX p y EY p x EX EY EX EXY Y X Cov p y EY p x EX p x x EXY i j j i i i i j j i i i i j ij j i

Zadanie 1. _a)

Y X

0 1 2

-1 0.1 0.1 0.25 0.45

1 0.05 0.25 0 0.3

3 0.1 0 0.15 0.25

0.25 0.35 0.4

DXDY Y X Cov

EY EY

Y D DY

EX EX

X D DX

p y EY

p x EX

EY EX EXY Y

X Cov

p y EY

p x EX

p x x EXY

i

j j i

i i i

j j i

i i

i j

ij j i

) , (

) (

) (

95 . 1 4 . 0

* 2 35 . 0

* 1 25 . 0

* 0

3 25 . 0

* 3 3 . 0

* 1 45 . 0

* ) 1 (

14 , 0 )

, (

15 . 1

6 . 0 25 . 0

* 3 3 . 0

* 1 45 . 0

* 1

55 . 0 9 . 0 0 0 0 25 . 0 0 5 . 0 1 . 0 0

2 2

2

2 2

2

2 2

2 2

1 2 2

2 2

2 3

1 2 2

2

1 3

1

=

−

=

=

−

=

=

= +

+

=

=

= +

+

−

=

=

−

=

⋅

−

=

=

=

= +

+

−

=

=

= + + + + + +

−

−

=

=

∑

∑

∑

∑

∑∑

=

•

=

•

=

•

=

•

ρ

b) E(3X +Y²)=3EX +EY² =3⋅0,6+1,95=3,75

Zadanie 2.

Gestosci brzegowe

( ) 





 − ≤ ≤

=

przeciwnie 0

1 1

2 dla 3 2

x x

x

f_X ( )





 ≤ ≤

=

przeciwnie 0

2 0

2 dla

1y y

y f_Y

Gestosc X z caki: ∫ x ydy

2

0 2

4

3 = ²

2 3x

Gestosc Y z caki: ∫ x ydx

− 1

1 2

4

3 = y

2 1

Można zauważy, że X i Y są niezależne, stąd ρ=0 lub wykonać rachunek:

0 )

, (

4 0 ) 3

, ( )

(

3 4 2

) 1 ( )

, ( )

(

2 0 ) 3

( )

, ( )

(

1

1 2

0 2 3

2

0 1

1 2

=

−

=

=

=

=

 =



 



= 

=

=

 =



 



= 

=

=

∫ ∫

∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

∫

∫ ∫ ∫

−

∞

∞

−

∞

∞

−

∞

∞

−

∞

∞

−

∞

∞

−

−

∞

∞

−

∞

∞

−

∞

∞

−

EXEY EXY

Y X Cov

dy y x dx dxdy y x xyf XY

E

dy y y dy y yf dy dx y x yf Y

E

dx x x dx x xf dxdy y x xf X

E

Y X

0 ρ =

Zadanie 3.



 ≤ ≤

= 0 przeciwnie

1 0

gdy ) 4

(

3 x

x x f_X







 − ≤ ≤

=

przeciwnie 0

2 0

12 gdy 3 2 ) (

3

y y y

f_Y

15 8 12

3 ) 2

( )

(

5 4 4

) ( )

(

2

0

4 1

0 4

∫

∫

∫

∫

 =







 −

=

=

=

=

=

∞

∞

−

∞

∞

−

y dy y dy

y yf Y

E

dx x dx x xf X

E

Y X

15 8 5 4 3 ) 2 , (

3 2 2

) , ( )

(

2

0 3 1

0

⋅

−

=

=

=

= ∫ ∫^∞ ∫ ∫

∞

−

∞

∞

−

Y X Cov

dy y x dx dxdy y x xyf XY

E

x

Zadanie 4.

Z = 2X-4Y, T=3Y

Mozna udowodnic z tw. na wykladzie:

aZ+bT = 2aX - 4aY + 3bY = (2a)X + (-4a+3b)Y ma roklad normalny, bo X i Y maja rozklad normalny.

To jest ogólnie znany fakt, ze dowolna kombinacja zmiennych normalnych ma równiez rozklad normalny.

Stad (Z,T) ma 2-wym. rozklad normalny.

Teraz jego parametry

EZ = 2EX-4EY = 0 ET = 3EY = 0

VarZ = 4VarX + 16* VarY = 20 (bo niezalezne) VarT = 9* VarY = 9

Cov(Z,T) = E(ZT) = 6*E(XY) -12*E(Y^2) =-12 (bo EXY = 0 z niezalaznosci) stad wsp. korelacji = -12/(3*sqrt(20)) = -2/sqrt(5)

Zatem (Z,T) ~ N (0,0, sqrt(20), 3, -2sqrt(5)/5 )