Wykład IX Podstawy fizyki kwantowej

1

Wykład IX Podstawy fizyki kwantowej

Oscylator harmoniczny

Rozważamy jednowymiarowy problem cząstki w potencjale harmonicznym

2 2

2 ) 1

(x m x

V   , gdzie  jest klasyczną częstością oscylacji. Rozwiązujemy następujące równanie Schrödingera

) ( )

2 ( 1 2

2 2 2

2 2

x E x x dx m

d

m    



 



  

.

Wprowadzamy nową zmienną zax, dobierając parametr a tak, aby równanie Schrödingera przyjęło postać



 





 



 



 ^{2 2 2}₂  ² ₂²  2_{2 2} 0

) 2 (

1

2 a

z m a E

m z dz

a d

m 

   ,

 

 











E a m

a z z mE a m dz

d 2

, 0

) 2 (

2 2 2 4 2

2 2

2

2     



 



   ,

Jeśli z² 

2 2 2

2 ²

) ( 0

) (

z

e C z z

dz z

d     ^



 



   

Rozwiązania szukamy w formie ( ) ² ( )

2

z H e z

z

 

2 2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

) ( )

2 ( ) ( )

( )

(

) ) (

( )

(

2 2

2 2

2 2

dz z H e d

dz z ze dH

z H e z z H e dz z

d

dz z e dH z H e z dz z

d

z z

z z

z z

































0 ) ( 1 2

0 )

( ₂

2 2 2

2

2 ²

 



 



   



 



 



   ^ H z

dz z d dz e d z

dz z

d   ^z 

Wykażemy, że H(z) jest wielomianem, zwanym wielomianem Hermite’a

0 )

2 (

2

2  



 



  z z

dz

d  

) ( )

( ) (

2 2 2 2

2 2 2

2

2

2 2

2 2

z z e z C e z C e C dz z

d

e z C dz z

d

z z

z z





























0 ) ( ) 1 ( ) ( 2 )

(     

 z zH z H z

H 

2

Wykład IX cd. Podstawy fizyki kwantowej

) (z

H zapisujemy w postaci szeregu potęgowego ^



k k kz a z

H( ) . Aby funkcja

) (z

H była nieosobliwa w z0, żądamy k0.

0 )

1 ( 2

) 1 ( 0

) ( ) 1 ( ) ( 2 ) (

0 0dla 0,1

2 









    







 

 



  

 k

k k k

k k

k

kz ka z a z

a k k z

H z

H z z

H  _{   } 

Zaczynając sumowanie pierwszego szeregu od k 2 dostajemy



( 2)( 1) ( 2 1)



0

0

2    







 

k

k k

k k a z

a k

k 

Żądając zachodzenia równania dla dowolnego z, dostajemy

0 ) 1 2

( )

1 )(

2

(k k a_k2   k a_k   _k

k k

k a

a k k k

a k 2

) 1 )(

2 (

1 2

2 1

 







 

Porównajmy to z rozwinięciem funkcji e^z2:

)!

2 / (

1 )!

2 / (

! _{0,2,4... 0,2,4...}

0 2

2

a k z

k a z n

e z _k

k

k k k

k

n n

z 











^  











k k k

k a

a k k

a k 2

1 2 /

1 )!

1 2 / (

1

2 1

 

 

 

Widzimy, że jeśli szereg ^



k k kz a z

H( ) nie obrywa się, to funkcja H(z)

zachowuje się jak funkcja e^z2. Sprawiałoby to, że funkcja falowa ( ) ² ( )

2

z H e z

z

 

zachowywałaby się jak funkcja ²

z2

e , co jest niefizyczne i przeczy znalezionemu już rozwiązaniu dla z² . A zatem szereg ^



k k kz a z

H( ) musi się obrywać, czyli H(z) musi być wielomianem stopnia n tzn.





 ⁿ

k k k

n z a z

H

0

)

( .

Podstawiając ten wielomian do równania H(z)2zH(z)(1)H(z)0 i żądając spełnienia równania dla każdego z dostajemy

0 ) 1 2

( )

1 )(

2

(k k a_k2   k a_k  .

Dla kn mamy (2n1)a_n 0, co daje 2n10  2n1

3

Wykład IX cd. Podstawy fizyki kwantowej

Ponieważ

 

 E

2 , mamy

Energia oscylatora jest skwantowana, co jest skutkiem żądania znikania funkcji falowej dla x.

Równanie na wielomian H_n(z) przyjmuje postać

Jest to równanie na tzw. wielomiany Hermite’a dane wzorem

2

) 2

1 ( )

( _n ^z

n z n

n e

dz e d z

H   ^

Wielomiany Hermite’a są tak unormowane, że spełniają relację

! 2 )

( )

(z H z e ² n

H

dz _{n m} ^z ^nm  ⁿ









Funkcje falowe są postaci

)

! ( ) 2

( ²

2 2

ax H n e

x a _n

x a

n n

 

  ,

gdzie



 a m





2 4 / 1

0

2

) (

x m

m e x





 _ ^



 









2 4 / 3

1

2

) 2 (

x m

e m x

x

 

   ^



 



 

Energia stanu podstawowego, zwana „energią drgań zerowych”, E₀ /2 jest różna od zera, ponieważ spoczywanie na dnie potencjału wymagałoby doskonałej lokalizacji cząstki w punkcie x0. Energia drgań zerowych pojawia się więc jako kompromis między lokalizacją cząstki w przestrzeni położeń i w przestrzeni pędów. Aby się o tym przekonać, rozłóżmy ₀(x) na stany własne pędu, czyli obliczmy transformatę Fouriera ₀(x).

0 ) ( 2 ) ( 2 )

(    

 z zH z nH z

H_{n n n}

2 4 ) (

2 ) (

1 ) (

2 2

1 0







 z z H

z z H

z H







 

 

 2

n 1 E_n

4

Wykład IX cd. Podstawy fizyki kwantowej











 

 ^{ikx ikx m x} e ^mk

e m e m dx

x e

dx

k ²

4 / 1 2

4 / 1

0 0

2 2

2 )

( )

~ (   ^



 





 







 



 



 



 







 

Całkę fourierowską wykonujemy następująco:

a k t

a k a

ik

a ik

t a

k

a x ik a t a k a x ik a ax

ikx e

e a a dt e e

a dt e e

dx e

e

dx ⁴

2 4

2 4

2 4

2

2 2

2

2 2

2 2

2  







 









 











 



 



 

 







  



^{    }

Rozkład położenia i rozkład wektora falowego w stanie podstawowym oscylatora są rozkładami Gaussa





2

2 0( )

x m

m e x





   ^ , przy czym



^





1 ) ( ²

0 x dx

oraz

 

  e ^mk k m

2

2 )

~ ( ²

0

 ^

 , przy czym



^





1 )

~ ( 2

2 0 k dk

 .

Ponieważ wektor falowy k wiąże się z pędem p poprzez relacjępk, rozkład pędu ma postać

 _



  e ^mp p m

2

2 )

~ ( ²

0

  , przy czym



^





1 )

~ ( 2

2

0 p

dp 



Szerokości rozkładów położenia i pędu wynoszą:

2 , 2

2





   

 _{p x p}

x

m

m    

 

A więc iloczyn szerokości rozkładów położenia i pędu przyjmuje najmniejszą możliwą wartość dopuszczalną przez zasadę nieoznaczoności.

Dygresja matematyczna – rozkład Gaussa

2 2

2

2 ) 1

( ^





x

e x

P  ^ ,



^





1 ) (x P

dx ,











 dxxP(x) 0

x ,



^{x x}



^{2 x2 x 2 x2 dx x P x2 ( ) 2}



    



 ^.