istnieje pomysłowy dowód G. Herglotza opierający się na następujących dwóch wzorach całkowych:

S.

(Kraków)

O postaci wektorowej pewnych twierdzeń całkowych Wśród wielu dowodów twierdzenia zwanego „Vierscheitelsatz”

istnieje pomysłowy dowód G. Herglotza opierający się na następujących dwóch wzorach całkowych:

gdzie К oznacza zamkniętą krzywą płaską klasy 0 3, s luk krzywej, x (algebraiczną) krzywiznę krzywej, a

(2) Xi = Xi(s) (i = 1, 2)

są parametrycznymi równaniami krzywej K, gdy s jest parametrem.

Fakt istnienia dwu analogicznych wzorów (1) nasunął mi przypuszcze­

nie, że wzory (1) są tylko analitycznym wyrazem pewnego jednego wzoru całkowego wektorowego.

Istotnie tak jest. Mianowicie udowodnimy następujące twierdze­

nie, z którego odnośne twierdzenie związane z wzorami (1) będzie tylko prostym wnioskiem.

Tw i e r d z e n i e.

Niech będzie dana płaska zamknięta krzywa К klasy

0 2. 8 parametry żujemy ją za pomocą luku s liczonego od jakiegoś punktu p i niech (2) będą jej równaniami. Odpowiednie równanie w postaci wekto­

rowej niech będzie

(3) r — r(s).

Parametr s dyktuje na krzywej К określony zwrot. Oznaczmy przez t oraz n jednostkowy wektor styczny i normalny do K. Ponadto niech a i fi ozna­

czają dwie dowolne stale oraz niech

(4) v(s) = at(s)-\- fin(s).

Możemy powiedzieć, że pole wektorowe (4) jest „ sztywnie” związane z rucho­

mym układem (t, n) związanym z krzywą K. Twierdzimy, że wówczas zacho­

dzi związek

(5) J xv(s)ds = O.

к

106 S. Gołąb

D o wód. Ze względu na stałość współczynników a i /? wystarczy wykazać wzory

( 6 )

xt(s)ds = O, xn(s)ds = O.

Dowód wzorów (6) jest bardzo prosty. Z równań Freneta mamy bowiem

czyli

i podobnie

dt dn

--- = ХП, ---- = — xt,

ds ds

xtds dn

- / ds ds = O

/ xnds — <£ — ds = O,

J ds ’

a więc twierdzenie zostało udowodnione.

Jeśli teraz założymy, że krzywa К jest klasy G3, wówczas całkując przez części otrzymujemy

Г dx r r dr г

ф---- rds = fxr]p - — Фx ---- ds = — ф xtds = O

J ds 1 Jp J ds J

czyli

c■ dx

(7) i ds rds - O

i wzór ten jest właśnie wektorową formą wzorów (1).

Powstaje pytanie: w jakiej mierze można wzory (6) uogólnić? Zaj­

mijmy się na przykład wzorem

(8) j xnds — O.

к

Analogiczne rozważania będą stosowały się i do pierwszego ze wzorów (6). Jest rzeczą jasną, że jeśli krzywa zamknięta К będzie klasy Cx, nato­

miast tylko kawałkami gładką, jeśli idzie o klasę C2 regularności (to zna­

czy złożoną ze skończonej ilości łuków klasy C2), to wówczas wzór (8)

utrzyma swą ważność. Czy jednak wzór (8) zachowa się, jeśli o krzywej

К założymy jedynie, że jest kawałkami klasy <72, mając skończoną ilość

punktów narożnych (z jednostronnymi stycznymi)? Okazuje się, że

wówczas wzór (8) przestaje już być słuszny i musi być zastąpiony nastę­

pującym wzorem ogólniejszym (podobnie jak wzór Gaussa-Bonneta dla krzywych zamkniętych kawałkami gładkich):

m

(9) j" xnds-j- E Vi = °>

К i =

1

gdzie m oznacza ilość punktów narożnych w i krzywej K. Natomiast wektor (który możemy zaczepić w wierzchołku w i) określony jest w sposób następujący.. M ech odpowiednio ~ti i oznaczają lewo- i prawostronny wektor jednostkowy styczny w narożu Wi skierowany w kierunku rosnącego parametru s (obiegu krzywej K ) i niech one mają odpowiednio współrzędne

(10) ~Pi), +М +щ, +Pi) (i = 1, ..., m).

W takim razie wektor vi ma współrzędne

(11) «’i i — щ {~ Р г

+

⁺

= 1 , . . . , т ) , gdzie współczynnik щ określony jest za pomocą wzoru

(

) przy czym

(13)

щ

l + ( а г + (*г + Pi+ Pi)

?

ег = Sgn

+Pi ’

U waga 1. Kierunek wektora jest równoległy do dwusiecznej kąta między wektorami oraz — “ t*. Długość wektora jest równa podwójnemu sinusowi połowy kąta między wektorami ~ti oraz +^, wreszcie zwrot określony jest znakiem e* wzoru; geometryczne określe­

nie tego zwrotu byłoby bardziej skomplikowane.

U waga 2. Mianownik wyrażenia podpierwiastkowego we wzorze (12) może być zerem, co może się zdarzyć wtedy i tylko wtedy, gdy

" * г = - +*г.

W tym przypadku wektor vt należy zidentyfikować z wektorem 2 tt . O wierzchołku Wi będziemy wówczas mówili, że ma ostrze.

U w a ga 3. Można wykazać, że zwrot wektorów vi jest niezależny od przebiegu krzywej K. Istotnie, przy zmianie obiegu (s* — —s) jest

-** i + /* - f

•'г — H ? •'i — H •

108 S. Gołąb

Sumy А + +/?г> cti++ai zmienią znak. Moduł щ nie ulegnie zmia­

nie. Równocześnie

4 = sgn ft

o< - ‘ A — 4 i wektor щ pozostanie niezmieniony.

Dowód. Wystarczy przeprowadzić dowód w przypadku, gdy krzywa К ma jedno naroże bądź ostrze. Indukcja matematyczna (względem m) pozwoli wówczas wysnuć wniosek co do słuszności wzoru (4) w ogólnym przypadku skończonej ilości naroży. Weźmy najpierw pod uwagę przy­

padek, gdy krzywa ma jeden wierzchołek nie będący ostrzem. Przyj­

mijmy, że narożem tym jest początek układu i oś x skierujmy wzdłuż wektora

(14) u = t +

gdzie ~t i +t są odpowiednio jednostkowymi wektorami jednostronnie stycznymi w narożu. W takim razie wektory ~t i +ł będą miały współ­

rzędne

(15) +<U, -JO ,

gdzie

(16) Я > 0, fi Ф 0, Я2 + /г2 = 1.

Równanie krzywej К w otoczeniu punktu O da się napisać w postaci у = /(#), gdzie funkcja / określona jest dla \x\ < <50 (<50 pewna liczba dodatnia), ma ciągłą pochodną drugiego rzędu, w samym punkcie x = 0 nie ma pochodnej, ale ma pochodną lewostronną i prawostronną odpo­

wiednio równą /1(0) = де/Д, /1(0) = —///Я, przy czym istnieją również jednostronne granice f"(x), gdy a ? 0 (oczywiście na ogół różne mię­

dzy sobą).

Zadajmy sobie dostatecznie małą dodatnią liczbę d < ó0. Oznaczmy 2/i = /( — <*), 2/2 = /(<*)

i weźmy pod uwagę dowolną funkcję Ф(х) określoną i klasy C2 w zam­

kniętym przedziale [ — <9, + ó] oraz spełniającą warunki Ф ( - д ) = У г , Ф ( * ) = У н Ф' ( - д ) = f ' ( - d ) , Ф' ( д) =Г( д) .

Oznaczmy przez К* krzywą powstałą z К przez odrzucenie z niej łuku

у — f(x) w przedziale [ —<5, + ó] i zastąpienie go łukiem krzywej у — Ф{х)

skierowanym w kierunku rosnących wartości x. Dla krzywej K* będą spełnione założenia twierdzenia ze str. 105, a więc mamy

(17) j xnds = O.

к*

Obliczmy teraz wektor

(18) v* = f xnds,

кф

gdzie К ф oznacza łuk krzywej у = Ф(х). Otóż

(19) v* = tb- t a,

jeśli przez b oznaczymy punkt krzywej К o współrzędnych (<5, y 2), przez a punkt krzywej К o współrzędnych ( — 6 , y t). Ze względu na założe­

nia o krzywej K, mamy lim f = +ł, lim f = t. Otrzymujemy więc

b -> 0 ' a -> 0

(20) limi?*

+ł — ~t.

Oznaczmy przez K° łuk otwarty krzywej К od b do a. W takim razie

J xnds = J xnds-\- j xnds-\- j xnds,

К g O a0 Ob

j xnds = J xnds-\-v* — O.

к* Ko

Odejmując stronami powyższe równości otrzymujemy

\ xnds = \ xndsĄ- Г xnds — v*.

К a0 Ob

Ale ze względu na ciągłość krzywizny

zarówno na łuku aO jak i na łuku Ob, mamy

lim Г xnds — lim Г xnds = О,

«5-^0 aO <5->°0Ь

со wraz z (20) prowadzi do wyniku J xnds = — к

Ażeby udowodnić nasze twierdzenie, wystarczy wykazać, że

(21) v =

+ t - t .

n o S. Gołąb

Otóż wektor v według wzorów (11)-(13) oraz na podstawie wzorów (15) będzie miał współrzędne

(

, 2coA), gdzie co = e V

— Д

+ А

— /г2), e = sgn( — 21ц) = —sgn/u.

Ponieważ na mocy (16) jest A = Vl

więc

2 c o A = — 2 ( s g n ła ) A V / 2 / c 2 / 2 A 2 = — 2 s g n [л2 = — 2 ц .

Z drugiej strony, wektor +t — ~t ma na podstawie (15) współrzędne (

, —

/л), a więc równość (

) została dowiedziona.

Pozostaje nam przeprowadzić dowód wzoru (9) w przypadku, gdy krzywa К ma ostrze. Przyjmiemy początek O w ostrzu, oś x skierujemy zgodnie z wektorem +t. Na krzywej К obieramy znów dwa punkty a i & po obu „stronach” ostrza O i zastępujemy sumę łuków aÓĄ-Ob łukiem К krzywej klasy C% mającej а, Ъ za punkty końcowe oraz

w punktach а, Ъ wektory styczne zgodne z we­

ktorami ta i tb. W myśl twierdzenia oraz uwa­

gi

należy wykazać, że jest v = 2~t.

Eozumowaniem podobnym do poprzednie­

go wykazuje się, że v == lim

—lim ł„ = +ł t.

Alp, jest +ł = — ł i tym samym dowód został zakończony.

Jak zauważył A. Bielecki, znalezienie wektora v pochodzącego od ostrza krzywej К może być sprowadzone do omówionego przypadku naroża. Wystarczy krzywą K, mającą w punkcie ą ostrze, „uzupełnić”

do krzywej К przez „dosztukowanie” w punkcie q podwójnej pętli (z których każda ma naroże prostokątne), jak pokazuje rysunek.

Przyczynek v pochodzący od podwójnej pętli łatwo obliczyć, a krzywa К będzie już gładka (C2).

Uogólnienie twierdzenia (

) na przestrzeń trój луу miar ową (rolę krzywej К przejmuje zamknięta powierzchnia 8, rolę wektora n — jednostkowy wektor normalny do powierzchni, rolę czynnika skalar­

nego к — krzywizna Gaussa G lub krzywizna średnia H) jest już znacz­

nie bardziej skomplikowane. Odnośne rezultaty referowałem w jesieni 1952 roku na Seminarium Geometrii Eóżniczkowej Instytutu Matematycznego PAN oraz na posiedzeniu Tow. Mat. w Lublinie 25 kwietnia 1953 roku.

Sprawa uogólnienia odpowiednich wzorów na powierzchnie jedynie

kawałkami gładkie, a więc mające krawędzie i naroża, będzie tematem

późniejszej publikacji wspólnej z A. Bieleckim.

С. Го л о м б (Краков)

О В Е К ТО Р Н О Й ФОРМЕ Н Е К О Т О Р Ы Х И Н Т Е Г Р А Л Ь Н Ы Х ТЕОРЕМ

РЕЗЮМЕ

Автор показывает, что две интегральные формулы (1) просто вытекают из одной формулы (5), имеющей векторный вид, причём векторное поле v опре­

делено формулой (4). Автор даёт дальше обощение формулы (5) на кривые, кото­

рые только кусочно-гладки (т. е. класса 0 2). Это обобщение содержится в формуле (9), где векторы определены формулами (11), (12), (13). Обобщение на замкну­

тые поверхности значительно затруднительнее и будет предметом дальнейшей публикации.

8. Go ł ą b (Kraków)

ON TH E VE CTO R FO R M OF C E R T A IN IN T E G R A L T H E O R E M S

S U M M A R Y

(

The author shows that two integral formulas (1) follow directly from one inte­

gral formula (5) haying a vector form, the vector field v being defined by means of formula (4). The author then gives a generalization of formula (5) to curves which are ’ ’smooth” (i. e., of class 0 2) only piece-wise. This generalization is contained in formula (9) where the vectors Vi are defined by formulas (11), (12), (13). The generalization to closed surfaces presents a far greater difficulty and will be the subject of a later publication.