´Scie· zki w grafach. Grafy acykliczne i spójne

´Scie· zki w grafach. Grafy acykliczne i spójne

´Scie·zk ¾alub drog ¾aw gra…e [digra…e] G nazywamy dowolny ci ¾ag d = (a0; k₁; a₁; : : : ; k_n; a_n), gdzie n 2 N [ f0g, aⁱ 2 V^G, ki 2 E^G oraz ai 1; a_i s ¾a ko´ncami ki [ ai 1 jest pocz ¾atkiem, za´s ai

ko´ncem ki]. Piszemy wtedy d = a0k₁a₁: : : k_na_noraz mówimy, ·ze d jest ´scie·zk ¾a za₀ doa_nlub

´scie·zk ¾a ÷¾acz ¾ac ¾a a₀ z a_n. Wierzcho÷ek a0 nazywamy pocz ¾atkiem, za´s an ko´ncem ´scie·zki d. Je·zeli pocz ¾atek ´scie·zki pokrywa si ¾e z jej ko´ncem, to ´scie·zk¾e nazywamy zamkni ¾et ¾a. W przeciwnym razie mówimy, ·ze ´scie·zka jest otwarta. Liczb ¾e n nazywamy d÷ugo´sci ¾a ´scie·zki i oznaczamy l (d). ´Scie·zk¾e bez kraw¾edzi (d÷ugo´sci 0) nazywamy trywialn ¾a. Podgraf z÷o·zony ze wszystkich wierzcho÷ków i kraw¾edzi ´scie·zki nazywamy grafem ´scie·zki. Ka·zd ¾a ´scie·zk¾e postaci a_ik_i+1a_i+1: : : k_ja_j dla 0 i j n nazywamy pod´scie·zk ¾a ´scie·zki d. Je·zeli koniec ´scie·zki d1

jest pocz ¾atkiem ´scie·zki d2, tzn. d1 = ak₁: : : k_nb, d2 = bl₁: : : l_mc, to ´scie·zk¾e ak1: : : k_nbl₁: : : l_mc nazywamy sum ¾a ´scie·zekd₁ i d2 oraz oznaczamy d1d₂, ad1d₂club ad1bd₂c.

Je·zeli d = a0k₁a₁: : : k_na_n = (a₀; k₁; a₁; : : : ; k_n; a_n) jest ´scie·zk ¾a w gra…e nieskierowanym G, to ci ¾ag (an; k_n; : : : ; a₁; k₁; a₀) jest równie·z ´scie·zk ¾a. ´Scie·zk¾e t ¾e nazywamy ´scie·zk ¾a przeciwn ¾a do d. W gra…e skierowanym ci ¾ag (an; k_n; : : : ; a₁; k₁; a₀) mo·ze nie by´c ´scie·zk ¾a.

Znaj ¾ac pocz ¾atek (lub koniec) ´scie·zki oraz ci ¾ag jej kraw¾edzi, potra…my wyznaczy´c pozosta÷e wierzcho÷ki na tej ´scie·zce. W zapisie d = a0k1a1: : : knan mo·zemy wi ¾ec, nie trac ¾ac jednoz- naczno´sci, pomin ¾a´c wszystkie wierzcho÷ki, oprócz skrajnych, czyli napisa´c d = a0k₁k₂: : : k_na_n. Pomini ¾ecie równie·z pocz ¾atku i ko´nca ´scie·zki mo·ze prowadzi´c do niejednoznaczno´sci (w grafach nieskierowanych). B ¾edziemy jednak stosowa´c zapis k1k₂: : : k_n na oznaczenie dowolnej ´scie·zki o takim ci ¾agu kraw¾edzi. Równie·z ci ¾ag wierzcho÷ków nie musi jednoznaczie wyznacza´c ´scie·zki (je´sli zawiera ona kraw¾edzie wielokrotne). B ¾edziemy jednak pisa´c a0a₁: : : a_n, oznaczaj ¾ac tak dowoln ¾a ´scie·zk¾e o takim ci ¾agu wierzcho÷ków.

d₁ = a- ´scie·zka d÷ugo´sci 0 (trywialna),

d₂ = bk₂ck₃b = bk₂k₃b - ´scie·zka zamkni ¾eta d÷ugo´sci 2; zapisy k2k₃ i bcb s ¾a niejednoznaczne, k₂k₃ oznacza ´scie·zk¾e bk2k₃b lub ck2k₃c, natomiast bcb oznacza ´scie·zk¾e bk2k₂b, bk2k₃b, bk3k₃b lub bk3k₂b,

d₃ = bk₁ak₆dk₅dk₅dk₆a = bk₁k₆k₅k₅k₆a = k₁k₆k₅k₅k₆ = baddda- ´scie·zka d÷ugo´sci 5 (otwarta),

1

- graf ´scie·zki d3,

d₄ = ak₆dk₅dk₅d - pod´scie·zka ´scie·zki d3,

d₅ = dk₅dk₅dk₆a - ´scie·zka przeciwna do ´scie·zki d4.

ak₁bk₂ak₄c = ak₁k₂k₄c = k₁k₂k₄ = abac - ´scie·zka d÷ugo´sci 3 (otwarta), ck4ak2bk1a - nie jest ´scie·zk ¾a (c nie jest pocz ¾atkiem k4).

Niech d = a0k₁a₁: : : k_na₀ b ¾edzie ´scie·zk ¾a zamkni ¾et ¾a oraz 0 t n 1. ´Scie·zk¾e zamkni ¾et ¾a zaczynaj ¾ac ¾a si ¾e w at i przechodz ¾ac ¾a przez kraw¾edzie i wierzcho÷ki w tej samej kolejno´sci jak w d, tj. ´scie·zk¾e postaci

d = ae _tk_t+1: : : a_{n 1}k_na₀: : : k_ta_t

b ¾edziemy nazywa´c równ ¾a ´scie·zce d i pisa´c ed = d. W gra…e nieskierowanym z ostatniego przyk÷adu mamy np.

ak₁bk₇dk₆a = bk₇dk₆ak₁b = dk₆ak₁bk₇d:

Uwaga 1. Powy·zsza umowa pozwala nam nazywa´c równymi´scie·zki (ci ¾agi), które formalnie równe nie s ¾a. Aby unikn ¾a´c takiej sytuacji nale·za÷oby ´scie·zk ¾e zde…niowa´c jako klas ¾e abstrakcji relacji równowa·zno´sci w zbiorze ci ¾agów postaci (a0; k₁; a₁; : : : ; k_n; a_n) spe÷niaj ¾acych odpowied- nie warunki.

W÷asno´s´c 1. Niech G b ¾edzie grafem [digrafem], V0 V_G, a 2 V⁰ oraz b 2 V^Gn V⁰. Dowolna

´scie·zka ÷¾acz ¾aca a z b zawiera kraw ¾ed´z, której jeden koniec nale·zy do V0, a drugi do VGn V⁰ [pocz ¾atek nale·zy do V0, a koniec do VGn V⁰].

Cwiczenie 1.´ Udowodni´c w÷asno´s´c 1.

Liczba ´scie·zek d÷ugo´sci 1 ÷¾acz ¾acych wierzcho÷ek a z wierzcho÷kiem b w gra…e [digra…e] jest równa liczbie kraw¾edzi ÷¾acz ¾acych te wierzcho÷ki [biegn ¾acych od a do b]. Zatem wyraz mij

macierzy s ¾asiedztwa jest równy liczbie ´scie·zek d÷ugo´sci 1 ÷¾acz ¾acych ai z aj.

Twierdzenie 1. Niech M = [mij]_{i;j n} b ¾edzie macierz ¾a s ¾asiedztwa grafu (nieskierowanego lub skierowanego) G o wierzcho÷kach a1; a₂; : : : ; a_n. Dla dowolnej liczby naturalnej k, wyraz tij

macierz M^k jest równy ilo´sci ´scie·zek d÷ugo´sci k ÷¾acz ¾acych ai z aj.

Dowód. Przeprowadzimy dowód przez indukcj ¾e ze wzgl ¾edu na k. Dla k = 1 warunek wynika z uwagi przed twierdzeniem. Oznaczmy przez m^(k)_ij liczb ¾e ´scie·zek d÷ugo´sci k ÷¾acz ¾acych ai z aj.

Przypu´s´cmy, ·ze dla pewnej liczby k 1 zachodzi M^k = h

m^(k)_ij i

i;j n (za÷o·zenie indukcyjne).

Musimy pokaza´c, ·ze M^k+1 =h

m^(k+1)_ij i

i;j n (teza indukcyjna).

Obliczymy m^(k+1)_ij (przy ustalonych i; j). Niech lr oznacza ilo´s´c ´scie·zek d÷ugo´sci k + 1

÷¾acz ¾acych ai z aj takich, ·ze przedostatnim wierzcho÷kiem jest ar. Wtedy, oczywi´scie m^(k+1)_ij = l₁+ : : : + l_n:

m^(k)_ir ´scie·zek d÷ugo´sci k mrj´scie·zek d÷ugo´sci 1 Z drugiej strony lr = m^(k)_ir m_rj, czyli

m^(k+1)_ij = Xn

r=1

l_r = Xn

r=1

m^(k)_ir m_rj:

Ostatnia suma jest (i; j)-tym wyrazem iloczynu M^k M, czyli M^k+1 = M^kM =h

m^(k+1)_ij i

i;j n: Z zasady indukcji matematycznej wynika teza twierdzenia.

Obliczymy ilo´s´c ´scie·zek d÷ugo´sci 4 mi ¾edzy wierzcho÷kami grafu skierowanego

M =

2 64

0 2 1 0 0 0 1 1 2

3

75 ; M² = 2 64

0 2 1 0 0 0 1 1 2 3 75

2 64

0 2 1 0 0 0 1 1 2 3 75 =

2 64

1 1 2 0 0 0 2 4 5 3 75 ;

M⁴ = M² M² = 2 64

1 1 2 0 0 0 2 4 5 3 75

2 64

1 1 2 0 0 0 2 4 5 3 75 =

2 64

5 9 12

0 0 0

12 22 29 3 75 :

Liczba ´scie·zek d÷ugo´sci 4 wynosi a1 a¹ : 5; a₁ a² : 9; a₁ a³ : 12; itd.

Cwiczenie 2.´ Wypisa´c wszystkie ´scie·zki d÷ugo´sci 4 z a1 do a1 i z a1 do a2 w poprzednim przyk÷adzie.

Cwiczenie 3.´ Znale´z´c liczb ¾e´scie·zek d÷ugo´sci 4 oraz 5 ÷¾acz ¾acych wierzcho÷ek a z wierzcho÷kami grafu skierowanego

Cwiczenie 4.´ W gra…e pe÷nym K5 znale´z´c liczb ¾e ´scie·zek d÷ugo´sci 4 oraz 5 mi ¾edzy (1) Ró·znymi wierzcho÷kami.

(2) Tym samym wierzcho÷kiem.

Cwiczenie 5.´ Niech A = 2 66 66 64

0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 3 77 77 75

. Przy pomocy grafów obliczy´c A⁶ i A⁷.

Niech d b ¾edzie ´scie·zk ¾a w gra…e (skierowanym lub nieskierowanym). Mówimy, ·ze d jest

´scie·zk ¾a prost ¾a je·zeli nie zawiera powtarzaj ¾acych si ¾e kraw¾edzi,

´scie·zk ¾a bez powtarzaj ¾acych si ¾e wierzcho÷kówje·zeli nie zawiera powtarzaj ¾acych si ¾e wierzcho÷ków, poza by´c mo·ze pocz ¾atkiem i ko´ncem.

cyklem je·zeli jest nietrywialn ¾a, zamkni ¾et ¾a ´scie·zk ¾a prost ¾a bez powtarzaj ¾acych si ¾e wierzcho÷ków.

ak₁bk₃ck₄c - ´scie·zka prosta, w której powtarza si ¾e wierzcho÷ek c, ak₁bk₃ck₅a; ak₁bk₂a; ck₄c - cykle,

ak₅ck₅a- ´scie·zka zamkni ¾eta bez powtarzaj ¾acych si ¾e wierzcho÷ków, która nie jest ´scie·zk ¾a prost ¾a.

Graf G (skierowany lub nieskierowany) nazywamy acyklicznym je´sli nie zawiera cykli (czyli nie da si ¾e w nim utworzy´c cyklu). Graf acykliczny nieskierowany jest równie·z nazywany lasem, a graf acykliczny skierowany dagiem (directed acyclic graph). ´Scie·zk¾e p w gra…e G

nazywamy acykliczn ¾a je·zeli graf Gp tej ´scie·zki jest acykliczny.

W gra…e G ´scie·zka p = abcecf c jest acykliczna, bo jej graf

jest acykliczny. Natomiast ´scie·zka q = abecdcb nie jest acykliczna, bo graf

zawiera cykl becb. Zauwa·zmy, ·ze ·zadna pod´scie·zka ´scie·zki q nie jest cyklem.

Polska terminologia w tej cz ¾e´sci teorii grafów jest skrajnie niejednolita. Na okre´slenie´scie·zki bywaj ¾a u·zywane, oprócz terminu droga, równie·z terminy trasa, marszruta; szlak i ÷a´ncuch.

Terminy droga, ´scie·zka i ´scie·zka prosta bywaj ¾a u·zywane w odmiennym znaczeniu ni·z na naszym wyk÷adzie. Równie·z de…nicja cyklu, nazywanego te·z obwodem, mo·ze by´c inna ni·z na wyk÷adzie. Istniej ¾a te·z formalne ró·znice w de…nicjach niektórych poj ¾e´c. ´Scie·zka jest cz ¾esto de…niowana jako para (K; L), gdzie K jest ci ¾agiem wierzcho÷ków, za´s L ci ¾agiem kraw¾edzi spe÷niaj ¾acych odpowiednie warunki.

Twierdzenie 2. (1) W ka·zdym gra…e skierowanym dowolna ´scie·zka bez powtarzaj ¾acych si ¾e wierzcho÷ków jest prosta.

(2) W ka·zdym gra…e nieskierowanym dowolna ´scie·zka otwarta bez powtarzaj ¾acych si ¾e wierzcho÷ków jest prosta.

(3) W ka·zdym gra…e nieskierowanym dowolna ´scie·zka zamkni ¾eta bez powtarzaj ¾acych si ¾e wierzcho÷ków d÷ugo´sci n 3 jest prosta.

Dowód. Niech d = a0k₁a₁: : : k_na_nb ¾edzie ´scie·zk ¾a bez powtarzaj ¾acych si ¾e wierzcho÷ków. B ¾edziemy dowodzi´c, ·ze w d nie powtarzaj ¾a si ¾e kraw¾edzie (przy odpowiednich za÷o·zeniach).

Ad. (1) Poniewa·z wierzcho÷ki a0; a₁; : : : ; a_{n 1} s ¾a ró·zne, wi ¾ec ·zadne dwie kraw¾edzie na tej

´scie·zce nie maj ¾a tego samego pocz ¾atku, czyli s ¾a ró·zne.

Ad (2) Poniewa·z wierzcho÷ki a0; a₁; : : : ; a_ns ¾a ró·zne, wi ¾ec ·zadne dwie kraw¾edzie na tej ´scie·zce nie maj ¾a tego samego zbioru ko´nców, czyli s ¾a ró·zne.

Ad (3) Mamy a0 = a_n i n 3. W ´scie·zkach d⁰ = a₀k₁a₁: : : k_{n 1}a_{n 1} oraz d⁰⁰= a₁k₂a₂: : : k_na_n nie powtarzaj ¾a si ¾e wierzcho÷ki, a wi ¾ec na podstawie (2) nie powtarzaj ¾a si ¾e te·z kraw¾edzie.

Przypu´s´cmy nie wprost, ·ze d nie jest cyklem. Zatem w d musz ¾a powtarza´c si ¾e kraw¾edzie i wobec poprzednich rozwa·za´n mamy k1 = k_n. St ¾ad fa⁰; a₁g = fa^{n 1}; a₀g i w konsekwencji

a₁ = a_{n 1}, co jest sprzeczne z za÷o·zeniem (bo n 1 6= 1). Otrzymana sprzeczno´s´c ko´nczy dowód.

Z twierdzenia 2 wynika, ·ze je·zeli w ´scie·zce nie powtarzaj ¾a si ¾e wierzcho÷ki, to nie pow- tarzaj ¾a si ¾e te·z kraw¾edzie (z wyj ¾atkiem sytuacji gdy mamy ´scie·zk¾e zamkni ¾et ¾a d÷ugo´sci 2 w gra…e nieskierowanym). Mo·zna bez trudu udowodni´c, ·ze jedyn ¾a ´scie·zk ¾a zamkni ¾et ¾a, w której wierzcho÷ki nie powtarzaj ¾a si ¾e, natomiast kraw¾edzie si ¾e powtarzaj ¾a jest ´scie·zka postaci akbka

.

Twierdzenie 3. Je·zeli d jest´scie·zk ¾a o najmniejszej d÷ugo´sci ÷¾acz ¾ac ¾a dwa ustalone wierzcho÷ki grafu G (nieskierowanego lub skierowanego), to d jest ´scie·zk ¾a prost ¾a bez powtarzaj ¾acych si ¾e wierzcho÷ków.

Dowód. ´Scie·zk ¾a o najmniejszej d÷ugo´sci ÷¾acz ¾ac ¾a wierzcho÷ek a ze sob ¾a jest ´scie·zka trywialna d = a, która spe÷nia tez ¾e twierdzenia. Mo·zemy wi ¾ec ograniczy´c rozwa·zania do ´scie·zek ÷¾acz ¾a- cych ró·zne wierzcho÷ki. Niech d = a0k1a1: : : knan b ¾edzie ´scie·zk ¾a o najmniejszej d÷ugo´sci

÷¾acz ¾ac ¾a wierzcho÷ki a0 6= aⁿ:Przypu´s´cmy nie wprost, ·ze d nie nie spe÷nia tezy twierdzenia. Na mocy twierdzenia 2, w d musz ¾a powtarza´c si ¾e wierzcho÷ki, czyli istniej ¾a liczby 0 i < j n takie, ·ze ai = a_j

Zatem d⁰ = a₀: : : k_ia_ik_j+1: : : k_na_n jest ´scie·zk ¾a ÷¾acz ¾ac ¾a a0 z an d÷ugo´sci l (d⁰) = n (j i) < n = l (d) :

Jest to sprzeczne z de…nicj ¾a d. Otrzymana sprzeczno´s´c ko´nczy dowód.

Z twierdzenia 3 wynika

Twierdzenie 4. Je·zeli w gra…e (nieskierowanym lub skierowanym) istnieje ´scie·zka ÷¾acz ¾aca ustalone wierzcho÷ki, to istneje te·z´scie·zka prosta bez powtarzaj ¾acych si ¾e wierzcho÷ków ÷¾acz ¾aca te wierzcho÷ki.

Cwiczenie 6.´ Udowodni´c twierdzenie 4.

Twierdzenie 5. ´Scie·zka ÷¾acz ¾aca ró·zne wierzcho÷ki grafu (nieskierowanego lub skierowanego) jest ´scie·zk ¾a bez powtarzaj ¾acych si ¾e wierzcho÷ków wtedy i tylko wtedy, gdy jest acykliczn ¾a

´scie·zk ¾a prost ¾a.

Dowód. Niech d = a0k₁a₁: : : k_na_n b ¾edzie ´scie·zk ¾a ÷¾acz ¾ac ¾a ró·zne wierzcho÷ki (a0 6= aⁿ).

") " Przypu´s´cmy nie wprost, ·ze w ´scie·zce d nie powtarzaj ¾a si ¾e wierzcho÷ki, ale d nie jest acykliczn ¾a ´scie·zk ¾a prost ¾a. Poniewa·z w d nie powtarzaj ¾a si ¾e wierzcho÷ki, wi ¾ec

(0.1) deg_G

da₀ = deg_G

da_n = 1 i deg_G

da_i = 2 dla 1 i n 1:

Z twierdzenia 2 wynika, ·ze ´scie·zka d jest prosta, a wi ¾ec nie mo·ze by´c acykliczna.

Niech ed b ¾edzie cyklem w gra…e Gd oraz at wierzcho÷kiem cyklu ed o najmniejszym indeksie. Poniewa·z wszystkie wierzcho÷ki nale·z ¾ace do edmaj ¾a stopie´n 2, wi ¾ec a0 2 e=d i w konsekwencji t > 0. Wierzcho÷ek at nale·zy do cyklu i jest po÷¾aczony kraw¾edzi ¾a z wierzcho÷kiem at 1, który do cyklu nie nale·zy. Zatem

deg_G

da_t 3,

co jest sprzeczne z (0.1). Otrzymana sprzeczno´s´c ko´nczy pierwsz ¾a cz ¾e´s´c dowodu.

"( " Przypu´s´cmy nie wprost, ·ze d jest acykliczn ¾a ´scie·zk ¾a prost ¾a, która zawiera powtarzaj ¾ace si ¾e wierzcho÷ki. Spo´sród wszystkich powtarzaj ¾acych si ¾e wierzcho÷ków wybierzmy takie a_i = a_j, dla których j i > 0 jest najmniejsze. Wtedy wierzcho÷ki ai; a_i+1; : : : ; a_{j 1} s ¾a ró·zne, czyli aia_i+1; : : : a_{j 1}a_j jest cyklem. Przeczy to acykliczno´sci d. Otrzymana sprzeczno´s´c ko´nczy dowód.

Niech d = a0k₁a₁: : : k_na_nb ¾edzie zamkni ¾et ¾a ´scie·zk ¾a prost ¾a (a0 = a_n) w gra…e nieskierowanym lub skierowanym G. Usuwaj ¾ac z d kraw¾ed´z ki = a_{i 1}a_idostajemy´scie·zk¾e prost ¾a ai: : : a₀: : : a_{i 1}

÷¾acz ¾ac ¾a aiz ai 1w Gnfkⁱg. W przypadku grafu nieskierowanego istnieje te·z ´scie·zka przeciwna a_{i 1}: : : a₀: : : a_i ÷¾acz ¾aca wierzcho÷ek ai 1 z ai.

Powy·zsze uwagi mo·zna zapisa´c w postaci u·zytecznej w÷asno´sci.

W÷asno´s´c 2. Je·zeli k = ab jest kraw ¾edzi ¾a zamkni ¾etej´scie·zki prostej w gra…e (nieskierowanym lub skierowanym) G, to w G n fkg istnieje ´scie·zka prosta ÷¾acz ¾aca b z a .

Twierdzenie 6. Je·zeli kraw ¾ed´z k nale·zy do zamkni ¾etej´scie·zki prostej w gra…e (nieskierowanym lub skierowanym), to k nale·zy do jakiego´s cyklu w tym gra…e.

Dowód. Niech k b ¾edzie kraw¾edzi ¾a zamkni ¾etej ´scie·zki prostej d. Je·zeli k jest p ¾etl ¾a, czyli k = aa, to k nale·zy do cyklu aka. Mo·zemy wi ¾ec za÷o·zy´c, ·ze k = ab ÷¾aczy ró·zne wierzcho÷ki. Usuwaj ¾ac ze ´scie·zki d kraw¾ed´z k dostajemy ´scie·zk¾e prost ¾a d⁰ ÷¾acz ¾ac ¾a b z a w gra…e Gnfkg. Z twierdzenia 4 wynika, ·ze w G n fkg istnieje ´scie·zka prosta bez powtarzaj ¾acych si ¾e wierzcho÷ków d⁰⁰ ÷¾acz ¾aca

te wierzcho÷ki. Do÷¾aczaj ¾ac kraw¾ed´z k do ´scie·zki d⁰⁰ dostajemy szukany cykl w G

d d⁰ d⁰⁰ Cykl zawieraj ¾acy k

Wniosek 1. Graf acykliczny (nieskierowany lub skierowany) nie zawiera nietrywialnych, zamkni ¾etych ´scie·zek prostych.

Kolejne twierdzenia w tym rozdziale b ¾ed ¾a dotyczy÷y grafów nieskierowanych.

Twierdzenie 7. Dowolne wierzcho÷ki acyklicznego grafu nieskierowanego mo·zna po÷¾aczy´c co najwy·zej jedn ¾a ´scie·zk ¾a prost ¾a.

Dowód. Rozwa·zmy najpierw po÷¾aczenie dowolnego wierzcho÷ka a z samym sob ¾a. Oczywi´scie

´scie·zka trywialna d = a jest prosta. Gdyby istnia÷a nietrywialna ´scie·zka prosta z a do a, to na podstawie twierdzenia 6 graf zawiera÷by cykl. Jest to sprzeczne z acykliczno´sci ¾a i dowodzi tezy twierdzenia w tym przypadku.

Aby zako´nczy´c dowód wystarczy pokaza´c, ·ze dla dowolnych ró·znych wierzcho÷ków istnieje co najwy·zej jedna ´scie·zka prosta je ÷¾acz ¾aca. Przypu´s´cmy, ·ze tak nie jest, tzn. istniej ¾a wierzcho÷ki, które mo·zna po÷¾aczy´c kilkoma ´scie·zkami prostymi. W´sród wszystkich par wierzcho÷ków o tej w÷asno´sci wybierzmy t ¾e, która posiada najkrótsze po÷¾aczenie. Wierzcho÷ki te oznaczmy a i b, za´s najkrótsz ¾a ´scie·zk¾e prost ¾a mi ¾edzy nimi przez d = ak1a₁: : : a_{n 1}k_nb. Niech d⁰ b ¾edzie jak ¾akolwiek inn ¾a ´scie·zk ¾a prost ¾a z a do b. Rozwa·zmy przypadki.

(1) ´Scie·zki d i d⁰ nie maj ¾a wspólnych kraw¾edzi.

×¾acz ¾ac d i d⁰ (d⁰ przechodzimy od ko´nca) dostajemy nietrywialn ¾a zamkni ¾et ¾a ´scie·zk¾e prost ¾a, co na podstawie wniosku 1 jest sprzeczne z acykliczno´sci ¾a.

(2) d = akb i k 2 d⁰.

Wida´c, ·ze d⁰ = a : : : akb : : : b lub d⁰ = a : : : bka : : : b, czyli w G istnieje nietrywialna zamkni ¾eta ´scie·zka prosta. Tak jak poprzednio dostajemy sprzeczno´s´c z acykliczno´sci ¾a.

(3) ´Scie·zki d i d⁰ maj ¾a wspóln ¾a kraw¾ed´z oraz l (d) 2.

Istnieje wierzcho÷ek ai nale·z ¾acy do d⁰, którego indeks spe÷nia warunek 1 i n 1.

Poniewa·z d 6= d⁰, wi ¾ec przynajmniej jedn ¾a z par wierzcho÷ków (a; ai), (ai; b) mo·zna po÷¾aczy´c kilkoma ´scie·zkami prostymi. Mo·zemy przyj ¾a´c, ·ze jest ni ¾a para (a; ai) (w przeciwnym razie dowód analogiczny). ´Scie·zka prosta ak1a₁: : : k_ia_i jest krótsza ni·z d (bo i < n), co jest sprzeczne z minimalno´sci ¾a d.

We wszystkich przypadkach otrzymali´smy sprzeczno´s´c. Wynika st ¾ad, ·ze pocz ¾atkowe przy- puszczenie by÷o fa÷szywe, czyli twierdzenie jest prawdziwe.

Cwiczenie 7.´ Poda´c przyk÷ad acyklicznego grafu skierowanego, w którym istnieje kilka´scie·zek prostych ÷¾acz ¾acych pewne wierzcho÷ki tego grafu.

Cwiczenie 8.´ Udowodni´c, ·ze je·zeli w gra…e G dwa ró·zne cykle zawieraj ¾a kraw ¾ed´z k, to isnieje w tym gra…e cykl nie zawieraj ¾acy k.

Mówimy, ·ze wierzcho÷ek b jest osi ¾agalnyz wierzcho÷ka a w gra…e nieskierowanym G, je·zeli istnieje w G ´scie·zka z a do b. Kraw¾ed´z nazywamy osi ¾agaln ¾az wierzcho÷ka a, je·zeli osi ¾agalne s ¾a jej ko´nce. Graf nieskierowany nazywamy spójnym je·zeli dowolne dwa wierzcho÷ki mo·zna po÷¾aczy´c ´scie·zk ¾a (czyli dowolny wierzcho÷ek jest osi ¾agalny z ka·zdego innego). Jest oczywiste, ze relacja osi ¾· agalno´sci:

a b, b jest osi ¾agalny z a

jest relacj ¾a równowa·zno´sci. Jej klasy abstrakcji nazywamy sk÷adowymi grafu. Dok÷adniej, dla dowolnego wierzcho÷ka a grafu nieskierowanego G sk÷adow ¾a zawieraj ¾ac ¾a a nazywamy podgraf Ga z÷o·zony ze wszystkich wierzcho÷ków i wszystkich kraw¾edzi osi ¾agalnych z a.

Twierdzenie 8. Sk÷adowa Ga jest najwi ¾ekszym spójnym podgrafem zawieraj ¾acym a.

Dowód. Sk÷adowa Gajest spójna, bo dowolne wierzcho÷ki mo·zna po÷¾aczy´c´scie·zk ¾a przechodz ¾ac ¾a przez a. Niech G⁰ b ¾edzie spójnym podgrafem grafu G zawieraj ¾acym a. Poka·zemy, ·ze

V_G0 V_Ga i E_G0 E_Ga:

We´zmy dowolny wierzcho÷ek b 2 V^G0. Ze spójno´sci G⁰ wynika, ·ze b jest osi ¾agalny z a w gra…e G⁰ (a wi ¾ec równie·z w G), czyli b 2 V^Ga. Z dowolno´sci b dostajemy inkluzj ¾e VG⁰ V_Ga. Niech, z kolei, k 2 E^G0. Ko´nce k s ¾a osi ¾agalne z a i w konsekwencji k 2 E^Ga. Dowodzi to inkluzji E_G0 E_Ga, co ko´nczy dowód twierdzenia.

Kraw¾ed´z k grafu spójnego G nazywamy mostem je·zeli graf G n fkg jest niespójny.

Graf spójny. Mostami s ¾a k5; k6; k7 Graf niespójny o 5 sk÷adowych.

Twierdzenie 9. Dla dowolnej kraw ¾edzi k grafu spójnego G nast ¾epuj ¾ace warunki s ¾a równowa·zne (1) k nie jest mostem,

(2) k jest kraw ¾edzi ¾a pewnego cyklu,

(3) k jest kraw ¾edzi ¾a pewnej zamkni ¾etej ´scie·zki prostej.

Dowód. Zauwa·zmy, ·ze je·zeli k jest p ¾etl ¾a lub kraw¾edzi ¾a wielokrotn ¾a, to wszystkie trzy warunki s ¾a spe÷nione. Mo·zemy wi ¾ec za÷o·zy´c, ·ze k jest jedyn ¾a kraw¾edzi ¾a ÷¾acz ¾ac ¾a ró·zne wierzcho÷ki a; b.

(1)) (2) Za÷ó·zmy, ·ze k nie jest mostem, czyli graf G n fkg jest spójny. Istnieje wi¾ec w nim

´scie·zka ÷¾acz ¾aca a z b. Z twierdzenia 4 wynika, ·ze w G n fkg istnieje ´scie·zka prosta bez powtarzaj ¾acych si ¾e wierzcho÷ków z a do b. Uzupe÷niaj ¾ac j ¾a o kraw¾ed´z k dostajemy cykl zawieraj ¾acy k.

(2)) (1) Za÷ó·zmy, ·ze k jest kraw¾edzi ¾a pewnego cyklu. Usuwaj ¾ac k z tego cyklu, dostajemy

´scie·zki d1; d₂ ÷¾acz ¾ace ko´nce kraw¾edzi k i nie zawieraj ¾ace tej kraw¾edzi (porównaj w÷as- no´s´c 2). Je·zeli wi ¾ec ´scie·zka mi ¾edzy wierzcho÷kami grafu G zawiera kraw¾ed´z k, to mo·zemy j ¾a zmody…kowa´c zast ¾epuj ¾ac k jedn ¾a ze ´scie·zek d1; d₂. Otrzymujemy w ten sposób´scie·zk¾e nie zawieraj ¾ac ¾a kraw¾edzi k, czyli ´scie·zk¾e w Gnfkg. Dowodzi to spójno´sci Gn fkg.

(2)) (3) Oczywiste.

(3)) (2) Wynika z twierdzenia 6.

Wierzcho÷ki stopnia 1 w gra…e nieskierowanym nazywamy li´s´cmi.

W÷asno´s´c 3. Nietrywialny las zawiera przynajmniej dwa li´scie.

Cwiczenie 9.´ Udowodni´c w÷asno´s´c 3.

Cwiczenie 10.´ Z w÷asno´sci 3 wywnioskowa´c, ·ze graf nieskierowany, w którym wszystkie wierzcho÷ki maj ¾a stopie´n wi ¾ekszy ni·z 1, zawiera cykl.

Cwiczenie 11.´ Pokaza´c, ·ze usuni ¾ecie kraw ¾edzi z grafu mo·ze zwi ¾ekszy´c liczb ¾e sk÷adowych nie wi ¾ecej ni·z o jedn ¾a.

Cwiczenie 12.´ (1) Pokaza´c, ·ze je·zeli graf prosty o n wierzcho÷kach ma wi ¾ecej ni·z^{(n 1)(n 2)}₂ kraw ¾edzi, to jest spójny.

(2) Dla dowolnego n 2 znale´z´c niespójny graf prosty o n wierzcho÷kach oraz ^{(n 1)(n 2)}₂ kraw ¾edziach.

Cwiczenie 13.´ Udowodni´c, ·ze ka·zdy graf acykliczny o przynajmniej dwóch wierzcho÷kach jest dwudzielny.

Cwiczenie 14.´ Udowodni´c, ·ze w gra…e dwudzielnym ka·zda ´scie·zka zamkni ¾eta ma d÷ugo´s´c parzyst ¾a.

Cwiczenie 15.´ Udowodni´c, ·ze je·zeli w gra…e niepustym G ka·zdy cykl ma d÷ugo´s´c parzyst ¾a, to G jest grafem dwudzielnym.

Zde…niujemy teraz dwa rodzaje grafów, potrzebne w dalszych rozdzia÷ach. Graf prosty nazywamy cyklicznym je·zeli istnieje w nim cykl zawieraj ¾acy wszystkie wierzcho÷ki i wszys- tkie kraw¾edzie grafu. Graf cykliczny o n wierzcho÷kach oznaczamy Cn. Graf prosty, w którym istnieje otwarta ´scie·zka bez powtarzaj ¾acych si ¾e wierzcho÷ków zawieraj ¾aca wszystkie wierz- cho÷ki i wszystkie kraw¾edzie grafu nazywamy liniowym. Graf liniowy o n wierzcho÷kach oznaczamy Pn.

Cwiczenie 16.´ Udowodni´c, ·ze

(1) Spójny graf prosty jest cykliczny wtedy i tylko wtedy, gdy jest regularny stopnia 2.

(2) Graf jest liniowy wtedy i tylko wtedy, gdy mo·zna go uzyska´c z grafu cyklicznego przez usuni ¾ecie jednej kraw ¾edzi.

(3) Spójny graf prosty jest liniowy wtedy i tylko wtedy, gdy istniej ¾a wierzcho÷ki (ró·zne) a; b takie, ·ze deg a = deg b = 1 oraz deg v = 2 dla v =2 fa; bg.

Rozdzia÷zako´nczymy kilkoma uwagami o spójno´sci w grafach skierowanych. Niech G b ¾edzie grafem skierowanym. Mówimy, ·ze wierzcho÷ek b jest osi ¾agalnyz wierzcho÷ka a, je·zeli istnieje w G ´scie·zka z a do b. Rozwa·zmy warunki

(S1) Dowolne dwa wierzcho÷ki mo·zna po÷¾aczy´c ´scie·zk ¾a (czyli dowolny wierzcho÷ek jest os- i ¾agalny z ka·zdego innego).

(S2) Dla dowolnej pary wierzcho÷ków istnieje ´scie·zka ÷¾acz ¾aca jeden z nich z drugim.

(S3) Szkielet digrafu G jest grafem spójnym.

Jest oczywiste, ·ze

(S1) ) (S2) ) (S3).

Poni·zsze przyk÷ady pokazuj ¾a, ·ze nie zachodz ¾a wynikania przeciwne.

G₁ G₂ G₃

Wida´c, ·ze

G₁ spe÷nia (S1),

G₂ spe÷nia (S2), ale nie spe÷nia (S1), bo nie istnieje ´scie·zka z c do a,

G₃ spe÷nia (S3), ale nie spe÷nia (S2), bo nie istnieje ani ´scie·zka z b do c, ani z c do b.

Digrafy spe÷niaj ¾ace (S1) s ¾a nazywane silnie spójnymi, za´s spe÷niaj ¾ace (S3) spójnymi lub s÷abo spójnymi.