Iterowane układy funkcyjne X — przestrzeń metryczna
(w szczególności X ⊂ R lub X ⊂ C ' R2).
Rodzinę odwzorowań {fi : X → X}ki=1 nazywamy itero- wanym układem funkcyjnym (ang. IFS – iterated function system).
Domknięty zbiór ∅ 6= A∗ ⊂ X nazywamy globalnym atraktorem układu {fi}ki=1, gdy przyciąga wszystkie tra- jektorie
x0 7−→ ffi1 i1(x0) = x1 7−→ ffi2 i2(x1) = x2 7−→ . . .
(At) xn = fin(fin−1(. . . (fi2(fi1(x0))) . . .)) −→n→∞ A∗, i1, i2, . . . ∈ {1, . . . , k},
i A∗ jest minimalny ze względu na własność (At) tzn.
każdy zbiór domknięty ∅ 6= A# ⊂ X przyciągający trajek- torie xn n→∞−→ A#, zawiera w sobie A∗.
Przykład. f : X → X – układ dynamiczny,
P – orbita okresowa przyciągająca wszystkie trajektorie
⇒ P – atraktor globalny IFS-u {f : X → X}.
Poniżej X = [0, 1], {f1, f2 : X → X}.
Przykład. f1(x) = 13 x, f2(x) = 14 x.
Ponieważ |fi(x)| 6 12 · |x|, więc
|xn| = |fin(fin−1(. . . (fi2(fi1(x0))) . . .))| 6 6 1
2 · |fin−1(fin−2(. . . (fi2(fi1(x0))) . . .))| 6 6
1 2
2
· |fin−2(. . . (fi2(fi1(x0))) . . .)| 6 6
1 2
n
· |x0| −→n→∞ 0, czyli A∗ = {0}.
Znacznie wygodniej jest śledzić nie ewolucję punktów (po- jedyncze trajektorie), lecz ewolucję zbiorów („globalny ob- raz wszystkich trajektorii”). Tak też czynimy w dalszych przykładach. Od strony formalnej podejście to wymaga jed- nak bardziej szczegółowych wyjaśnień, gdyż dla dowolnych (niezwartych) układów prowadzi do tzw. globalnego atrak- tora maksymalnego, a nie minimalnego.
Przykład. f1(x) = 13 x, f2(x) = 23 x + 13. Mamy
f1([0, 1]) = 0, 13,
f2([0, 1]) = 0, 23 + 13 = 13, 1
⇒ f1([0, 1]) ∪ f2([0, 1]) =
0, 1 3
∪
1 3, 1
= [0, 1]
⇒ A∗ = [0, 1].
0 13 1
0 1
À
JJ JJ
JJ^
f1 f2
Wniosek: Atraktor nie musi być ani punktem stałym ani orbitą okresową.
Ogólnie atraktor może być „dziwnym” zbiorem np. eks- tremalnie niespójnym zwartym zbiorem mocy continuum albo stanowić krzywą nieskończonej długości leżącą w ogra- niczonym obszarze.
Przykład (pył Cantora). f1(x) = 13 x, f2(x) = 13 x + 23. f1([0, 1]) = 0, 13, f2([0, 1]) = 0, 13 + 23 = 23, 1,
[0, 1] f7−→1∪f2 0, 13 ∪ 23, 1 f7−→1∪f2
f1∪f2
7−→ 0, 19 ∪ 29, 13 ∪ 23, 79 ∪ 89, 1 7−→ . . . .
0 19 29 13 23 79 89 1
0 13 23 1
0 1
JJ JJJ^
À
À
JJ JJJ^
À
JJ JJ
JJ^
f2
f1 f1 f2
f1 f2
stanpo 2 iteracjach stanpo 1 iteracji
W konsekwencji [!!]
A∗ =
∞X
i=1di · 3−i : di ∈ {0, 2}
— zbiór trójkowy Cantora.
Ćwiczenie: Zbadać układ {fi : [0, 1] → [0, 1]}2i=1, f1(x) = 13 x, f2(x) = 1 − 13 x.
Przykład (dywan Sierpińskiego).
X = [0, 1]2, fij : X → X, fij(x, y) =
1
3x + i 3, 1
3 y + j 3
, (i, j) ∈ {0, 1, 2}2 \ {(1, 1)}.
fij-
00 10 20
01 21
02 12 22
Po trzykrotnym zadziałaniu IFS-u na punkty kwadratu:
Twierdzenie 1 (kontraktywny IFS)
X — metryczna zupełna, fi — kontrakcje (i = 1, . . . , k),
∃L<1∀x,y∈X |fi(x) − fi(y)| 6 L · |x − y|,
| · | oznacza odległość w X. Wówczas IFS {fi : X → X}ki=1 posiada globalny atraktor.
Dowód. (Szkic, gdy X jest zwarta.)
Φ : 2X → 2X — tzw. operator Hutchinsona-Barnsleya,
∀ A ⊂ X Φ(A) = [k
i=1 fi(A).
Kładziemy
A0 = X,
A1 = Φ(A0) = Φ(X), A2 = Φ(A1) = Φ2(X),
. . . . An = Φ(An−1) = Φn(X).
Mamy
A0 = X ⊃ Φ(X) = A1,
An ⊃ An−1 ⇒ An+1 = Φ(An) ⊃ Φ(A[!] n−1) = An. [!] fi(An) ⊃ fi(An−1).
Dzięki zwartości X:
A∗ = ∞\
n=0An
jest niepusty, zwarty oraz stanowi globalny atraktor IFS-u {f1, . . . , fk}.
Zwartość powoduje, że choć trajektorie nie są zbież- ne, to ich podciągi są zbieżne, a trajektorie łącznie są przyciągane. Nieco trudniej przekonać się, że zbiór A∗ jest istotnie najmniejszym zbiorem przyciągającym wszyst- kie trajektorie (minimalność). £
Uwaga:
1. W szczególności powyższe twierdzenie dotyczy zwartego odcinka [0, 1] i kwadratu [0, 1]2.
2. Wszystkie dotychczas rozważone IFS-y miały stałą kontr- akcji co najwyżej L = 23.
3. IFS jako jednorodny schemat generowania wielu frak- tali (np. śnieżynki Kocha) został zaproponowany przez Hutchinsona w 1981. W dowodzie twierdzenia o istnie- niu atraktora Hutchinson zastosował metodę wzorowaną na dynamice symbolicznej. Jako niezależną „ciekawost- kę” podał też dowód oparty na twierdzeniu Banacha o punkcie stałym.
4. Różne warianty powyższego twierdzenia z różnymi do- wodami były odkrywane od dawna choć formułowano je przy użyciu odmiennej terminologii: np. Strother w 1953, Ponomariew w 1963, Williams ok.1970 (wszyscy przed słynną książką Mandelbrota!).
5. Przedstawiona metoda dowodu nawiązuje do twierdze- nia Knastera-Tarskiego o punkcie stałym. Twierdzenie tego typu (twierdzenie Tarskiego-Kantorowicza) zosta- ło użyte do IFS-ów po raz pierwszy najprawdopodob- niej dopiero w 1985 przez S.Hayashiego, choć w 1984 ukazała się praca z informatyki teoretycznej autorstwa Soto-Andrade i Varela na temat „obiektów końcowych rekursji”. Ok.1928 Knaster zreferował swój wynik doty- czący przekrojów rodzin zbiorów. Miał to być sposób na szybki dowód twierdzenia Cantora-Bernsteina o porów- nywaniu liczb kardynalnych.
Twierdzenie Knastera powstałe z myślą o dowodzie twier- dzenia Cantora na temat liczb kardynalnych pozwala udo- wodnić istnienie w IFS-ach takich atraktorów jak pył Can- tora. Historia zatacza koło???
Przykład (uciekające trajektorie).
X = [0, ∞), f1(x) = 2x, f2(x) = 3x.
f1(0) = 0 = f2(0) ⇒
fin(fin−1(. . . (fi2(fi1(0))) . . .)) = 0 −→n→∞ 0.
x0 > 0, i1, i2, . . . , in ∈ {1, 2} ⇒
fin(fin−1(. . . (fi2(fi1(x0))) . . .)) > 2n · |x0| −→n→∞ ∞ ⇒ dowolny zbiór {0} ∪ [a, ∞), a > 0, przyciąga wszystkie trajektorie.
Ale
{0} = \
a>0{0} ∪ [a, ∞) nie przyciąga wszystkich trajektorii.
Brak minimalnego zbioru przyciągającego (=globalnego atraktora).
Baseny Newtona
g : C → C, f (z) = z − g(z) g0(z). Zespolony schemat Newtona-Raphsona:
(NR) zn+1 = zn − g(zn)
g0(zn) = f (zn) = fn(z0).
Przykład (√3 1).
g(z) = z3 − 1 ⇒ g0(z) = 3z2, f (z) = 2z3 + 1 3z2 . Miejsca zerowe:
g−1(0) = {εk, k = 0, 1, 2} = {1, ε, − ε}, gdzie ε = cos π3 + i sin π3.
Przypomnijmy: Basf(u) = {z ∈ C : zn = fn(z) −→n→∞ u}.
Basf(1), Basf(ε), Basf(− ε) — baseny Newtona.
Ciągi (NR) startujące z basenu Basf(εk) są przyciągane przez pierwiastek z jedynki εk.
J(f ) = C \ S2k=0 Basf(εk) — zbiór Julii odwzorowania f , oddziela baseny.
Baseny Newtona √3
1 zobrazowane programem Fractint.
„Zoom na węzeł”. „Zoom na ramię”.
Zagadka: które ramię zostało powiększone?
Odpowiedź (lokalizacja na lewym obrazku): lewe górne ramię (górny „warkocz” w „warkoczu”). Choć sądząc po rozkładzie basenów równie dobrze mogło to być górne lub dolne ramię (po obrocie obrazu).
Funkcja logistyczna Model Malthusa
xn+1 = r · xn
⇔ xn = rn · x0, r – przyrost naturalny,
xn – liczebność lub gęstość populacji.
r > 1 ⇒ xn n→∞−→ ∞ (eksplozja demograficzna).
Model Verhulsta (logistyczny) xn+1 = r · xn(1 − xn), (0, 4] 3 r – przyrost naturalny,
[0, 1] 3 xn – gęstość populacji.
f : [0, 1] → [0, 1], f (x) = r · x (1 − x)
⇒ f0(x) = r · (1 − 2x), Fix(f ) = 0, 1 − 1r ∩ [0, 1].
Punkty stałe
r obserwacje stabilność
punktów stałych
(0, 1) |f (x)| 6 r · |x| · |1 − x| 6 r,
|fn(x)| 6 rn n→∞−→ 0
{0} – atraktor, przyciąga wszystkie trajektorie
1 f (x) = x · (1 − x) 6 x,
(fn(x))∞n=0 – malejący i ograniczony
{0} – atraktor, przyciąga wszystkie trajektorie
(1, 3) f0(0) = r > 1,
f01 − 1r = |2 − r| < 1
{0} – repeler,
n1 − 1ro – atraktor
3
x > 1 − 1r ⇒ f (x) < x, x < 1 − 1r ⇒ f (x) > x, (fn(x))∞n=0 – monotoniczny
{0} – repeler,
n1 − 1ro – atraktor
(3, 4] f01 − 1r = |2 − r| > 1 {0} – repeler,n 1 − 1ro – repeler
Przy r = 3 oba punkty stałe przestają być stabilne
— pojawia się przyciągająca orbita 2-okresowa.
W r = 3 mamy do czynienia z
bifurkacją podwojenia okresu.
Bifurkacja — zmiana jakościowa w zachowaniu układu dynamicznego przy zmianie któregoś z parametrów tego układu.
W teorii układów dynamicznych (w szczególności równań różniczkowych) wyróżnia się kilka odmian bifurkacji.
W naszej sytuacji wraz ze zmianą parametru r pojawiają się orbity okresowe...
Punkty dwuokresowe
Fix(f2) \ Fix(f ) = {p1, p2},
p1,2 = r + 1 ∓ √
r2 − 2 r − 3
2r .
r obserwacje stabilność
punktów stałych (3, 1 +√
6) |f0(p1) · f0(p2)| = |r2 − 2 r − 4| < 1 {p1, p2} – atraktor
1 +√
6 dist(f (x), P ) < dist(x, P )
∀ x ≈ P
P = {p1, p2} – atraktor
(1 +√
6, 4] |f0(p1) · f0(p2)| > 1 {p1, p2} – repeler
Pojawiają się dalsze podwojenia okresu.
1 + √
6 = r1 < r2 < . . . < rn < . . . < limn→∞rn = r∗ < 4.
r ∈ (rn−1, rn)
niestabilne orbity 2k-okresowe, k = 0, 1, . . . , (n − 2),
stabilne orbity 2n−1-okresowe,
brak orbit 2n-okresowych i wyższych r = rn punkt podwojenia okresu
r ∈ (rn, rn+1)
niestabilne orbity 2k-okresowe, k = 0, 1, . . . , (n − 1),
stabilne orbity 2n-okresowe, brak orbit 2n+1-okresowych i wyższych
Obserwujemy bifurkację podwojenia okresu (ang. period doubling bifurcation).
Odstępy rn+1 − rn pomiędzy kolejnymi bifurkacjami spełniają:
n→∞lim
rn − rn−1
rn+1 − rn = δ ≈ 4, 6992 (tzw. stała Feigenbauma).
Ze wzrostem r kolejne orbity tracą stabilność i pojawiają się nowe orbity stabilne. Ilustruje to „drzewo figowe”.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4
Diagram Feigenbauma.
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
3.5 3.52 3.54 3.56 3.58 3.6 3.62 3.64
„Zoom na gałęzie drzewa”.
Wreszcie dla pewnego r < 4 pojawiają się orbity 3-okresowe.
Twierdzenie 2 (Szarkowskiego)
Uporządkujmy liczby naturalne następująco:
1 ≺ 2 ≺ 22 ≺ 23 ≺ . . . ≺ 2m . . . . . . ≺ 2k · (2n − 1) ≺ . . . ≺ 2 · 3 ≺ . . .
. . . ≺ (2n − 1) ≺ . . . ≺ . . . ≺ 5 ≺ 3.
R ⊃ J – przedział domknięty, f : J → J – ciągłe.
f posiada punkt okresowy o okresie minimalnym τ1, τ2 ≺ τ1 ⇒
f – posiada punkt okresowy o okresie minimalnym τ2.
Zatem dla r bliskich 4 odwzorowanie logistyczne posiada punkty okresowe o wszystkich możliwych okresach. Ale to jeszcze nie chaos.
Dopiero
f (x) = 4 · x · (1 − x)(przekształcenie Ulama) zachowuje się naprawdę chaotycznie.
Ale co to znaczy chaos?
Definicja (Devaney).
f : J → J – chaotyczne, gdy
• posiada gęstą trajektorię:
∃x0 ∈ J ∀ε > 0 ∀y ∈ J ∃n xn = fn(x0) ∈ [y − ε, y + ε],
• ma gęsty zbiór punktów okresowych:
∀ε > 0 ∀y ∈ J ∃x ∈ [y − ε, y + ε] ∃τ fτ(x) = x.
Innymi słowy pewna trajektoria „nawiedza wszystkie oto- czenia”, choć trajektorie okresowe są powszechne.
Odwzorowania chaotyczne są czułe na zmianę warunków początkowych: trajektorie startujące blisko siebie po kilku iteracjach przestają być skorelowane.
Poniżej przedstawiamy efekt „motylich skrzydeł” dla f (x) = 4 · x (1 − x), xn+1 = f (xn).
n xn xn xn xn xn 0 .09 .095 .1 .101 .1011 1 .3276 .3439 .36 .3632 .3635 2 .8811 .9025 .9216 .9251 .9255 3 .4190 .3519 .2890 .2770 .2758 4 .9738 .9122 .8219 .8011 .7990 5 .1022 .3202 .5854 .6373 .6424 6 .3670 .8708 .9708 .9246 .9189 7 .9292 .4502 .1133 .2788 .2980 8 .2630 .9901 .4020 .8042 .8368 9 .7753 .0393 .9616 .6298 .5463
Zastosowania chaosu
Przykład (generator losowy Ulama)
x0 – ziarno (ang. seed),
f : [0, 1] → [0, 1] – przekształcenie chaotyczne,
xn+1 = f (xn), (xn)Nn=0 – ciąg liczb pseudolosowych.
50 liczb {0, . . . , 9} wylosowanych przez:
• standardowy generator Maple’a:
0, 9, 4, 5, 3, 9, 1, 1, 5, 9, 6, 3, 0, 3, 6, 7, 3, 3, 6, 8, 8, 8, 6, 1, 4, 3, 2, 2, 7, 5, 0, 6, 3, 7, 1, 8, 1, 9, 9, 3, 5, 2, 0, 9, 7, 8, 4, 8, 2, 6.
• pierwsze cyfry po przecinku punktów trajektorii f (x) = 4 x (1 − x) startującej z x0 = 0.095:
0, 3, 9, 3, 9, 3, 8, 4, 9, 0, 1, 5, 9, 0, 0, 0, 1, 5, 9, 0, 2, 8, 5, 9, 1, 5, 9, 0, 0, 0, 3, 8, 4, 9, 0, 0, 2, 8, 6, 9, 1, 6, 9, 2, 6, 8, 3, 9, 2, 7.
Problem: Rozkład częstości wpadania trajektorii do po- szczególnych przedziałów jest nierównomierny – powyżej otrzymaliśmy dużo liczb ”0” i ”9”.
Rozw.: Znana jest gęstość rozkładu
%(x) = 1/π √
x − x2.
Generator można ujednostajnić, albo użyć odwzorowania
„namiotowego”, które ma jednostajny rozkład i jest sprzę- żone z logistycznym:
T : [0, 1] → [0, 1], T (x) =
2x, x ∈ 0, 12, 2 (1 − x), x ∈ 12, 1, Sprzężenie oznacza w szczególności, że oba odwzorowania mają jednakowo złożoną strukturę trajektorii.
Problem: Znamy jawny wzór na trajektorie xn = 1 − cos(2n arc cos(1 − 2 x0))
2 .
Rozw.: Formuła ta nie jest zbyt użyteczna i wcale nie umoż- łiwia oczywistej predykcji dalszych wartości liczb losowych:
czułość na zmiany warunków początkowych nie zezwala na jakiekolwiek przybliżenia wartości funkcji trygonometryc- nych.
Kryptografia chaotyczna (Crandall) f (x) = 4 x (1 − x),
(0, 1) 3 x0 – utajniona wiadomość, f (x) = y – równanie kwadratowe, więc dla y istnieją dwa rozwiązania x;
x1 = f−1(x0) – wybieramy Lewe/Prawe rozw. x1, . . .
xn = f−1(xn−1) – wybieramy Lewe/Prawe rozw. xn
— odczytujemy wiadomość xn;
ciąg S1S2. . . Sn, Si ∈ {L, P } stanowi klucz długości n bi- tów.
Problem (degeneracja chaosu): Każde odwzorowanie – na- wet chaotyczne – po obcięciu do zbioru skończonego jest okresowe (przynajmniej od pewnego miejsca). Do jakiego stopnia zdyskretyzowany chaos zachowuje złożoność dyna- miki?
Odp.: ??? (brak wiarygodnej i użytecznej definicji chaosu na przestrzeni dyskretnej).
Problem: Jeżeli komputer dokonuje zaokrągleń (np. w trak- cie obliczeń pierwiastków), to jaką mamy gwarancję wiary- godności uzyskanych wyników?
Czy obliczenia numeryczne „mają sens”?
Odpowiedź: własność cieniowania („shadowing”).
Problem: Komputer może reprezentować zbiory skończone.
Czy chaos można potwierdzić komputerowo? Być może nie mamy w konkretnym wypadku do czynienia z trajektorią chaotyczną, ale z orbitą o bardzo długim okresie!
Odpowiedź: Arytmetyka przedziałowa.
