METODY NUMERYCZNE

(1)

Met.Numer. wykład 2 1

METODY NUMERYCZNE

dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.AGH

Wykład 2.

Plan

• Aproksymacja

• Interpolacja wielomianowa

• Przykłady

(2)

Aproksymacja

Metody numeryczne zajmują się rozwiązywaniem zadań

matematycznych za pomocą działań arytmetycznych. Zachodzi zatem potrzeba przybliżania wielkości nie arytmetycznych wielkościami arytmetycznymi i badania błędów wywołanych takimi przybliżeniami. Wybór przybliżenia zależy od tego, którym z możliwych kryteriów posłużymy się w ocenie skuteczności danego przybliżenia.

Jaki jest dopuszczalny błąd wyniku?

Jak szybko można otrzymać rozwiązanie – jaka jest szybkość zbieżności danej metody, np. procesu iteracyjnego?

Co to jest interpolacja ?

Dane są punkty (x₀,y₀), (x₁,y₁), ….(x_n,y_n). Znaleźć nieznaną wartość y dla dowolnego x.

(3)

Różnica pomiędzy aproksymacją i interpolacją

interpolacja

aproksymacja

Aproksymacja

Chcemy przybliżyć funkcję f(x) kombinacją (najczęściej liniową) funkcji należących do pewnej szczególnej klasy.

Klasy funkcji:

dla N pierwszych wyrazów szeregu Taylora

...) , 1 , 0 ( } { x

ⁿ

n =

...) , 1 , 0 ( )}

(

{ p

_n

x n =

ogólniej: p_n(x) jest wielomianem stopnia n

...) 2 , 1 , 0 ( )}

cos(

),

{sin( nx nx n =

wielomiany trygonometryczne Największe znaczenie posiada aproksymacja wielomianowa

(4)

Aproksymacja

Aproksymacja liniowa funkcji f(x)

klasy funkcji:

współczynniki stałe:

...) , 1 , 0 ( )}

(

{ g

_n

x n =

) ( ...

) ( )

( )

( x a

₀

g

₀

x a

₁

g

₁

x a g x

f ≈ + + +

_m _m

Przybliżenia liniowe stosuje się ponieważ badanie aproksymacji kombinacjami nieliniowymi funkcji przybliżających jest bardzo trudne jak analiza większości zagadnień nieliniowych.

) ..., , 1 , 0

( i m

a

_i

=

Czasami stosuje się przybliżenia wymierne:

) ( ...

) ( )

(

) ( ...

) ( )

) ( (

1 1 0

0

1 1 0

0

x g b x

g b x g b

x g a x

g a x g x a

f

k k

m m

+ + +

+ +

≈ +

Aproksymacja

współczynniki są tak dobrane, aby w punktach

funkcja przybliżająca wraz z jej pierwszymi r_ipochodnymi (r_ijest liczbą całkowitą nieujemną) była zgodna z f(x) i jej pochodnymi (z dokładnością do błędów zaokrągleń)

) ..., , 1 , 0

( i m

a

_i

=

Kryteria wyboru stałych współczynników

•przybliżenie interpolacyjne

) , ...

, 2 , 1

( i p

x

_i

=

Trzy typy przybliżeń o dużym znaczeniu

(5)

Aproksymacja

szukamy minimum wyrażenia będącego całką z kwadratu różnicy pomiędzy f(x) i jej przybliżeniem w przedziale

<x₁,x₂> lub sumą ważoną kwadratów błędów rozciągniętą na zbiór dyskretny punktów z przedziału <x₁,x₂>

) ..., , 1 , 0

( i m

a

_i

=

Kryteria wyboru stałych współczynników

•przybliżenie średniokwadratowe

•przybliżenie jednostajne

znalezienie najmniejszego maksimum różnicy między f(x) i jej przybliżeniem w przedziale <x₁,x₂>

Metoda najmniejszych kwadratów Regresja liniowa

4 6 8 10 12 14 16

0 20 40 60

f(xi) yi

x_i

y

f(x)=ax+b a=3.23, b=-2.08

( )

[ ]

²

^min

2

= ∑

ⁿ

− + =

i

y

i

ax

i

b

S

(6)

Warunek minimum funkcji dwu zmiennych:

0 0

2

=

∂

= ∂

∂

b S a

S

Otrzymujemy układ równań liniowych dla niewiadomych a i b

= ∑ +

∑

= ∑ + ∑

∑

i i

i i i

i

y bn

x a

y x x

b x

a

²

Rozwiązując ten układ równań uzyskuje się wyrażenia na a i b

W

y x x y

b x

W

y x y

x a n

i i i i

i

i i i

i

∑ ∑ − ∑ ∑

=

∑ − ∑ ∑

=

2

Z praw statystyki można wyprowadzić wyrażenia na odchylenia standardowe u(a) i u(b) obu parametrów prostej a,b:

( )

²

2

− ∑

= n ∑ x

_i

x

_i

W

n a x u b u

W S n

a n u

∑

i

=

= −

2 2

) ( ) (

) 2 (

gdzie: wyznacznik główny W wyraża się wzorem

(7)

Aproksymacja wielomianowa

Wspólną właściwością potęg zmiennej i wielomianów

trygonometrycznych (a także funkcji wykładniczych) jest to, że w przybliżeniach korzystających z każdej z tych klas przesunięcie układu współrzędnych zmienia współczynniki, ale nie zmienia postaci przybliżenia.

Zastosowanie w obliczeniach wielomianów jako funkcji przybliżających wiąże się z faktem, że maszyna cyfrowa wykonuje w praktyce działania arytmetyczne.

Jeżeli P(x) jest wielomianem lub funkcją wymierną to P(x+α) jest również tej postaci, a jeśli T(x) jest liniowym lub wymiernym przybliżeniem zbudowanym z sinusów lub cosinusów, to takie jest również T(x+α).

Aproksymacja wielomianowa

mają taką zaletę, że przy zmianie skali zmiennej zmieniają się tylko współczynniki, a nie zmienia się kształt

przybliżenia. Przykład: wielomian P(kx) jest również wielomianem zmiennej x.

Przybliżenia funkcjami

Tej własności nie mają przybliżenia trygonometryczne, gdyż dla niecałkowitego k na ogół sin(nkx) nie jest elementem klasy

...) , 1 , 0 ( } { x

ⁿ

n =

...) 2 , 1 , 0 ( )}

{sin( nx n =

(8)

Najczęściej wybiera się wielomiany gdyż można łatwo:

obliczać ich wartości

różniczkować

^całkować

Aproksymacja wielomianowa

Uzasadnienie analityczne

mają uzasadnienie w twierdzeniu, że za pomocą funkcji tych klas można uzyskać dowolnie dobrą dokładność aproksymacji.

Zalety klasy

Twierdzenie analityczne:

...) , 1 , 0 ( } { x

ⁿ

n =

Ciąg funkcji

{ x

ⁿ

} ( n = 0 , 1 , ...)

jest zamknięty na każdym przedziale <x₁,x₂>, tzn. że dla każdej funkcji f(x) przedziałami ciągłej i każdego ε>

0

istnieją liczba n i współczynniki a₀, a₁, …, a_ntakie, że

ε

<

∫  

 

− ∑

=

a x dx x

f

x x

n i

i i 2 2

1 0

) (

To twierdzenie gwarantuje, że możemy uzyskiwać dowolnie dobre przybliżenie średniokwadratowe za pomocą wielomianów

(9)

Twierdzenie aproksymacyjnie Weierstrassa

Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale skończonym <x₁,x₂>, to dla każdego

istnieją liczba n (=n(ε)) i wielomian P_n(x) stopnia n takie, że

>

0

ε

dla wszystkich x z przedziału <x₁,x₂>

ε

<

− ( ) )

( x P x f

Żądając, aby funkcja była ciągła, a nie tylko przedziałami ciągła, otrzymujemy nie tylko dowolnie dobre przybliżenia średniokwadratowe ale i jednostajne

Twierdzenie aproksymacyjnie Weierstrassa

Analogiczne twierdzenie zachodzi dla funkcji okresowych Jeżeli f(t) jest funkcją ciągłą i okresową o okresie 2π, to dla każdego ε>

0 ε

<

− ( ) )

( t S t

f

_n

takie, że dla wszystkich t

istnieją liczba n (=n(ε)) i wielomian trygonometryczny

∑ +

+

=

n

k k k

n

t a a kt b kt

S

1

0

( cos sin )

)

(

(10)

Operator podstawowy

Z przybliżeń wielomianowych wywodzą się metody:

• interpolacji

• ekstrapolacji

• różniczkowania numerycznego

• kwadratur

• rozwiązywania numerycznego równań różniczkowych zwyczajnych

Powiązania pomiędzy tymi metodami są łatwo dostrzegalne, gdyż metody interpolacyjne są podstawą wzorów różniczkowania numerycznego, kwadratur i rozwiązywania numerycznego

równań różniczkowych.

Operator podstawowy

Wprowadzamy operator liniowy L[f(x)], który jest podstawą wszystkich metod. Dobierając odpowiednio parametry (specjalizacja operatora podstawowego) można otrzymać ogólne wzory interpolacji, ekstrapolacji, różniczkowania numerycznego, kwadratur i rozwiązywania numerycznego równań różniczkowych.

[ ] ^δ ⁺ ^∑ ^∑

=

= n

j ij

i ij

m i k

k

df

f x A x f a

x f L

1

) ( 0

)

(

( ) ( ) ( )

) (

różniczkowanie

stałe wielomiany zmiennej

)

x

( ) ( ,

0 ≤ k ≤ m f

⁽⁰⁾

a

₀_j

= f a

₀_j

{ ⁰ ^, ¹ ^}

=

δ

_k k=0 z wyjątkiem różniczkowania numerycznego

(11)

Operator podstawowy

Wybierając na różne sposoby parametry a_ij, A_ij(x), k, m, n możemy uzyskać wiele różnych metod numerycznych. Ogólne postępowanie jest następujące:

[ ] δ + ^∑ ^∑

=

= n

j ij

i ij

m i k

k

df

f x A x f a

x f L

1

) ( 0

)

(

( ) ( ) ( )

) (

A. Tę część operatora L[f(x)], którą chcemy aproksymować, zastępujemy jej przybliżeniem

B. Szukane przybliżenie wyznaczamy rozwiązując równanie

[ ^f ^{( x} ⁾ ]

L

[ ^f ⁽ ^x ⁾ ] ⁼ ⁰

L

Operator podstawowy

Błąd dowolnego przybliżenia określonego wcześniej opisaną procedurą wyraża się wzorem:

[ ] ^δ ⁺ ^∑ ^∑

=

= n

j ij

i ij

m i k

k

df

f x A x f a

x f L

1

) ( 0

)

(

( ) ( ) ( )

) (

[ ^f ⁽ ^x ⁾ ] [ ^L ^f ⁽ ^x ⁾ ] [ ^L ^f ⁽ ^x ⁾ ] [ ^L ^f ⁽ ^x ⁾ ]

E = − =

[ ^f ⁽ ^x ⁾ ] ⁼ ⁰

L

bo

(12)

Specjalizacja operatora podstawowego

1.

[ ] ^δ ⁺ ^∑ ^∑

=

= n

j ij

i ij

m i k

k

df

f x A x f a

x f L

1

) ( 0

)

(

( ) ( ) ( )

) (

jako operator interpolacyjny

[ ^f ^{( x} ⁾ ]

L

gdy

δ

₀

= 1 ( k = 0 ) x ∈< min a

ij

, max a

ij

>

ekstrapolacja gdy x jest poza tym przedziałem

Ogólna postać:

[ ] ⁺ ^∑ ^∑

=

= n

j ij

i ij

m i

df

f x A x f a

x f L

1

) ( 0

) ( ) ( )

( ) (

Zazwyczaj używa się wartości samej funkcji czyli m=0

Specjalizacja operatora podstawowego

[ ⁽ ⁾ ] ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ⁽

1

⁾

0 1

0 0

1 0

1

f x

x x

x x x

x f x

x x x

f x f

L −

− −

−

− −

=

Przykład operatora interpolacyjnego

[ ] + ^∑ ^∑

=

= n

j ij

i ij

m i

df

f x A x f a

x f L

1

) ( 0

) ( ) ( )

( ) (

= 0 m

01

≠ 0

A A

₀₂

≠ 0

[ ⁽ ⁾ ] ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ⁽

1

⁾ ⁰

0 1

0 0

1 0

1

=

−

− −

−

− −

= f x

x x

x x x

x f x

x x x

y x f L

[ ^f ⁽ ^x ⁾ ] ^f ⁽ ^x ⁾ ^y ⁽ ^x ⁾

E = −

Błąd przybliżenia wzór interpolacji liniowej

(13)

Specjalizacja operatora podstawowego

2.

[ ] ^δ ⁺ ^∑ ^∑

=

= n

j ij

i ij

m i k

k

df

f x A x f a

x f L

1

) ( 0

)

(

( ) ( ) ( )

) (

jako operator k-krotnego różniczkowania numerycznego

[ ^f ^{( x} ⁾ ]

L

gdy

δ

_k

= 1 , k > 0

i co najmniej jeden współczynnik A_0j(x) jest różny od 0 Przykład operatora jednokrotnego różniczkowania numerycznego:

L₂[f(x)] jest pochodną L₁[f(x)]

[ ]

0 1

1 0

2

) ( ) ) (

( ' )

( x x

x f x x f

f x f

L −

+ −

=

[ ⁽ ⁾ ] ^' ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ⁰

0 1

1 0

2

=

− + −

= x x

x f x x f

y x f L

Specjalizacja operatora podstawowego

3.

^L [ ^f ^{( x} ⁾ ]

jako operator kwadratury gdy

δ

_k

= 0

i wszystkie współczynniki A_0j(x) są 0 z

wyjątkiem

Przykład operatora kwadratury:

I dane jest znanym wzorem trapezów do aproksymacji całki

[ ] ⁽ ⁾ [ ^' ⁽ ⁾ ^' ⁽ ⁾ ]

2 ) 1 ( ) ( )

(

₂ ₁ ₂ ₁ ₂ ₁

3

f x f x f x x x f x f x

L = − − − +

[ ] ⁽ ⁾ [ ^' ⁽ ⁾ ^' ⁽ ⁾ ] ⁰

2 ) 1

(

₂ ₁ ₂ ₁

3 f x = I − x − x f x + f x =

L

1 )

1

(

0

x =

A

_j

A

₀_j₂

( x ) = − 1

i jeśli wszystkie A_ij(x) są stałe dla i≥1

∫

²

' ( )

x

dx

x

f

(14)

INTERPOLACJA WIELOMIANOWA

Założenie:

W przedziale [a,b] danych jest (n+1) różnych punktów x₀, x₁, …, x_n, które nazywamy węzłami interpolacji, oraz wartości pewnej funkcji y = f(x) w tych punktach:

f(x_i) = y_idla i = 0, 1, ..., n.

interpolacja

Zadanie interpolacji:

Wyznaczenie przybliżonych wartości funkcji w punktach nie będących węzłami oraz oszacowanie błędu tych przybliżonych wartości.

1. W tym celu należy znaleźć funkcję F(x), zwaną funkcją

interpolującą, która będzie „przybliżać” funkcję f(x) w przedziale [a,b].

2. Funkcja F(x) w węzłach interpolacji przyjmuje takie same wartości co funkcja y = f(x).

3. W zagadnieniu interpolacji wielomianowej funkcja F(x) jest wielomianem stopnia co najwyżej n.

INTERPOLACJA WIELOMIANOWA

Twierdzenie

Istnieje dokładnie jeden wielomian interpolacyjny stopnia co najwyżej n (n≥0), który w punktach x₀, x₁, …, x_nprzyjmuje wartości y₀, y₁, …, y_n .

(15)

Interpolacja - metoda bezpośrednia

. ...

...

1 0

n n

x a x

a a

y = + + +

Przez n+1 punktów (x₀,y₀), (x₁,y₁), ….(x_n,y_n) przechodzi dokładnie jeden wielomian stopnia n

gdzie a₀, a₁, …. a_nsą stałymi współczynnikami (R)

•Ułożyć n+1 równań aby znaleźć n+1 stałych

•Podstawić wartość x do wielomianu, aby znaleźć y

Przykład

Znaleźć prędkość w chwili t=16 s stosując metodę bezpośrednią dla dwóch punktów

t(s) v(m/s)

0 0

10 227.04

15 362.78

20 517.35

22.5 602.97

30 901.67

Tabela 1 Prędkość v jako funkcja czasu t

0 5 10 15 20 25 30

0 200 400 600 800 1000

predkosc v(m/s)

czas t(s)

dane

(16)

Interpolacja liniowa

( ) ^t ^a ^a ^t

v =

₀

+

₁

( ) ¹⁵ = a

0

+ a

1

( ) ¹⁵ = ³⁶² ^. ⁷⁸ v

( ) ²⁰ = a

0

+ a

1

( ) ²⁰ = ⁵¹⁷ ^. ³⁵ v

93 .

0

= − 100 a

914 .

1

= 30 a

A zatem ^v ( ) ^t ⁼ ⁻ ¹⁰⁰ ^. ⁹³ ⁺ ³⁰ ^. ⁹¹⁴ ^t ^, ¹⁵ ^≤ ^t ^≤ ²⁰

( ) ¹⁶ ^100.93 ^30.914 ( ) ¹⁶ ^393.7 ^m/s

v = − + =

(x0, y0)

( )^x

f₁

(x1, y1)

x y

Rozwiązanie układu równań

( ) t a

0

a

1

t a

2

t

²

v = + +

( ) ¹⁰ = a

0

+ a

1

( ) ( ) ¹⁰ + a

2

¹⁰

²

= ²²⁷ ^. ⁰⁴ v

( ) ¹⁵ = a

0

+ a

1

( ) ( ) ¹⁵ + a

2

¹⁵

²

= ³⁶² ^. ⁷⁸ v

05 .

0

= 12

a a

₁

= 17 . 733 a

₂

= 0 . 3766

Interpolacja kwadratowa

(x0, y0)

(

x1, y1

)

(

x2, y2

)

( )

^x

f₂

y

x ( ) ²⁰ = a

0

+ a

1

( ) ( ) ²⁰ + a

2

²⁰

²

= ⁵¹⁷ ^. ³⁵

v

Rozwiązanie układu równań

( ) ^t ⁼ ¹² ^. ⁰⁵ ⁺ ¹⁷ ^. ⁷³³ ^t ⁺ ⁰ ^. ³⁷⁶⁶ ^t

²

^, ¹⁰ ^≤ ^t ^≤ ²⁰

v

( ) ¹⁶ = ¹² ^. ⁰⁵ + ¹⁷ ^. ⁷³³ ( ) ¹⁶ + ⁰ ^. ³⁷⁶⁶ ( ) ¹⁶

²

v = 392 . 19 m/s

(17)

( ) t = ¹² ^. ⁰⁵ + ¹⁷ ^. ⁷³³ t + ⁰ ^. ³⁷⁶⁶ t

²

^, ¹⁰ ≤ t ≤ ²⁰ v

( ) ^m ^s

v 16 = 392 . 19 /

Błąd względny

% 38410 . 0

19 100 . 392

70 . 393 19 . 392

=

− ×

=

∈

_a

Interpolacja kwadratowa

0 5 10 15 20 25 30

0 200 400 600 800 1000

V(m/s)

t(s)

( )

3 ³

2 2 1

0

a t a t a t

a t

v = + + +

( ) ( ) ( )

3

( )

³

2 2 1

0

10 10 10

04 . 227

10 a a a a

v = = + + +

( ) ( ) ( )

3

( )

³

2 2 1

0

15 15 15

78 . 362

15 a a a a

v = = + + +

( ) ( ) ( )

3

( )

³

2 2 1

0

20 20 20

35 . 517

20 a a a a

v = = + + +

( ) ( ) ( )

3

( )

³

2 2 1

0

22 . 5 22 . 5 22 . 5

97 . 602 5 .

22 a a a a

v = = + + +

y

x

( )

^x

f₃

(

x3, y3

)

(x2, y2)

(

x1, y1

)

(x0, y0)

Interpolacja sześcienna

(18)

04 . 227 1000

100

10

₁ ₂ ₃

0

+ a + a + a =

a

78 . 362 3375

225

15

₁ ₂ ₃

0

+ a + a + a =

a

35 . 517 8000

400

20

₁ ₂ ₃

0

+ a + a + a =

a

97 . 602 625

. 11390 25

. 506 5

.

22

₁ ₂ ₃

0

+ a + a + a =

a

Interpolacja sześcienna

Zadanie domowe Rozwiązać układ równań:

Podać i narysować v(t)

( ) ^t ⁴ ^. ²⁵⁴⁰ ²¹ ^. ²⁶⁶ ^t ⁰ ^. ¹³²⁰⁴ ^t

²

⁰ ^. ^0054347 ^t

³

^,

v = − + + +

( ) ^m ^s

v 16 = 392 . 06 /

% 033269 .

0 06 100 . 392

19 . 392 06 . 392

=

− ×

=

∈

a

Interpolacja sześcienna -rozwiązanie 2540

.

0

= − 4 a

266 .

1

= 21 a

13204 .

2

= 0 a

0054347 .

3

= 0

a 10 ≤ t ≤ 22 . 5

Błąd względny

(19)

Porównanie

Rząd wielomianu 1 2 3

(

^t⁼¹⁶

)

^m/s

v 393.7 392.19 392.06

błąd względny --- 0.38410 % 0.033269 %

Obliczenia przemieszczenia

od t=11s do t=16s

( ) t = − ⁴ ^. ²⁵⁴⁰ + ²¹ ^. ²⁶⁶ t + ⁰ ^. ¹³²⁰⁴ t

²

+ ⁰ ^. ^0054347 t

³

^, ¹⁰ ≤ t ≤ ²² ^. ⁵ v

( ) ( ) ⁻ ⁼

¹⁶

^∫ ( )

11

11 16 s v t dt

s

( )

m

t t

dt t t

t

1605

0054347 4 .

3 0 13204 . 2 0 266 . 21 2540 . 4

0054347 .

0 13204 . 0 266 . 21 2540 . 4

16

11 4 3

2 16

11

3 2

=

 

 



 − + + +

=

∫ − + + +

=

(20)

( ) ^t ⁼ ⁻ ⁴ ^. ²⁵⁴⁰ ⁺ ²¹ ^. ²⁶⁶ ^t ⁺ ⁰ ^. ¹³²⁰⁴

²

⁺ ⁰ ^. ^0054347 ^t

³

^, ¹⁰ ^≤ ^t ^≤ ²² ^. ⁵

ν

( ) ( )

( )

5 . 22 10

, 016304 .

0 26408 . 0 266 . 21

0054347 .

0 13204 . 0 266 . 21 2540 . 4

2

3 2

≤

≤ +

+

=

+ +

+

−

=

t t

t

t t

dt t d

t dt v t d a

( ) ( ) ( )

2

665 . 29

16 016304 .

0 16 26408 . 0 266 . 21 16

m/s a

=

+ +

=

Obliczenia przyspieszenia

Wzór interpolacyjny Newtona

Interpolacja liniowa: dane są punkty szukamy

), ,

( x

₀

y

₀

( x

₁

, y

₁

),

) (

)

(

₀ ₁ ₀

1

x b b x x

f = + −

) (

₀

0

f x

b =

0 1

1

) ( ) (

x x

x f x b f

−

= −

(21)

Przykład

Znaleźć prędkość w chwili t=16 s stosując metodę Newtona

t(s) v(m/s)

0 0

10 227.04

15 362.78

20 517.35

22.5 602.97

30 901.67

0 5 10 15 20 25 30

0 200 400 600 800 1000

predkosc v(m/s)

czas t(s)

dane

Interpolacja liniowa

) ( )

( t b

₀

b

₁

t t

₀

v = + −

78 . 362 ) ( ,

15

₀

0

= v t =

t

35 . 517 )

( ,

20

₁

1

= v t =

t

78 . 362 ) (

₀

0

= v t =

b

914 . ) 30 ( ) (

0 1

1

=

−

= −

t t

t v t b v

Wiadomo, że: Znajdujemy:

A zatem:

20 15

), 15 ( 914 . 30 78 . 362

) ( )

(

₀ ₁ ₀

≤

− +

=

− +

=

t t

t t b b t v

Jako zadanie domowe, proszę sprawdzić czy wynik uzyskany jest zgodny z wynikiem interpolacji bezpośredniej

(22)

Interpolacja liniowa

) ( )

( t b

₀

b

₁

t t

₀

v = + −

Szukana prędkość w chwili t=16 s wynosi:

s m

t t b b t v

/ 69 . 393

) 15 16 ( 914 . 30 78 . 362

) ( )

(

₀ ₁ ₀

=

− +

=

− +

=

15 16 17 18 19 20

360 380 400 420 440 460 480 500 520

v(m/s)

czas t(s) dane

Interpolacja kwadratowa

) )(

( )

(

₀ ₁ ₀ ₂ ₀ ₁

2

x b b x x b x x x x

f = + − + − −

) ( ₀

0 f x

b =

0 1

1

) ( ) (

x x

x f x b f

−

= −

0 2

0 1

0 1 1

2 1 2

2

) ( ) ( ) ( ) (

x x

x f x f x x

x f x f

b −

−

− −

−

=

Dane są punkty

( x

₀

, y

₀

), ( x

₁

, y

₁

), ( x

₂

, y

₂

),

szukamy

(23)

Interpolacja kwadratowa

Wiadomo, że:

78 . 362 ) ( ,

15

₁

1

= v t =

t

35 . 517 ) ( ,

20

₂

2

= v t =

t

04 . 227 ) ( ,

10

₀

0

= v t =

t

04 . 227 ) (

₀

0

= v t = b

Znajdujemy:

148 . 27

10 15

04 . 227 78 . 362 ) ( ) (

0 1

0 1 1

=

− =

= −

−

= −

t t

t v t b v

37660 . 0

10 148 . 27 914 . 30 ) ( ) ( ) ( ) (

0 2

0 1

0 1 1

2 1 2

2

=

− =

−

− −

−

= t t

t t

t v t v t

t t v t v b

Interpolacja kwadratowa

A zatem:

20 10

), 15 )(

10 ( 37660 . 0 ) 10 ( 148 . 27 04 . 227

) )(

( ) ( )

(

₀ ₁ ₀ ₂ ₀ ₁

≤

−

− +

=

−

− +

=

t t

t t t t b t t b b t v

dla t=16s:

s m

t t

b t b b v

/ 19 . 392

) 15 16 )(

10 16 ( 37660 . 0 ) 10 16 ( 148 . 27 04 . 227

) 16 )(

16 ( ) 16 ( )

16 (

₀ ₁ ₀ ₂ ₀ ₁

=

−

− +

=

−

− +

=

Jako zadanie domowe, proszę sprawdzić czy wynik uzyskany jest zgodny z wynikiem interpolacji bezpośredniej

(24)

∈a x100

19 . 392

69 . 393 19 .

392 −

=

= 0.38502 %

Interpolacja kwadratowa

Błąd względny w odniesieniu do poprzedniej interpolacji

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 200

250 300 350 400 450 500 550

v(m/s)

czas t(s) dane

Ogólna formuła

) )(

( ) (

)

(

₀ ₁ ₀ ₂ ₀ ₁

2

x b b x x b x x x x

f = + − + − −

gdzie

A zatem

) )(

](

, , [ ) ](

, [ ] [ )

(

₀ ₁ ₀ ₀ ₂ ₁ ₀ ₀ ₁

2

x f x f x x x x f x x x x x x x

f = + − + − −

) ( ]

[ ₀ ₀

0 f x f x

b = =

0 1

0 1 0 1 1

) ( ) ] ( ,

[ x x

x f x x f

x f

b −

= −

=

0 2

0 1

0 1 1

2 1 2

0 2

0 1 1 2 0

1 2 2

) ( ) ( ) ( ) ( ] , [ ] , ] [ , ,

[ x x

x x

x f x f x x

x f x f

x x

x x f x x x f

x x f

b −

−

− −

−

− =

= −

=

iloraz różnicowy pierwszego rzędu

iloraz różnicowy drugiego rzędu

(25)

(

x₀

,

y₀

) ( ,

x₁

,

y₁

) ,..., (

xn₋₁

,

yn₋₁

) ( ,

xn

,

yn

)

) )...(

)(

( ....

) ( )

(

= ₀+ ₁ − ₀ + + n − ₀ − ₁ − n₋₁

n x b b x x b x x x x x x

f

gdzie

] [

₀

0 f x

b =

] , [

₁ ₀

1 f x x

b =

] , , [

₂ ₁ ₀

2 f x x x

b =

⋮

] ,...., ,

[

₁ ₂ ₀

1 f x x x

b_n₋ = _n₋ _n₋

] ,...., ,

[

x x ₁ x₀ f

b_n = _n _n₋

Ogólna formuła

Mając (n+1) punktów

Wielomian 3-ciego stopnia, mając dane(x₀,y₀),(x₁,y₁),(x₂,y₂),i(x₃,y₃), ma postać:

) )(

)(

](

, , , [

) )(

](

, , [ ) ](

, [ ] [ ) (

2 1 0 0 1 2 3

1 0 0 1 2 0

0 1 0 3

x x x x x x x x x x f

x x x x x x x f x x x x f x f x f

−

− +

−

− +

=

b 0

x 0 f(x₀) b ₁

] , [x₁ x₀

f b ₂

x 1 f(x₁) f[x₂,x₁,x₀] b ₃

] , [x₂ x₁

f f[x₃,x₂,x₁,x₀]

x 2 f(x2) f[x3,x2,x1]

] , [x₃ x₂ f x 3 f(x3)

Interpolacja sześcienna

(26)

Interpolacja sześcienna

Zadanie domowe

Znaleźć równanie na prędkość i obliczyć v(16s) na podstawie interpolacji sześciennej Newtona :

Znaleźć współczynniki b_i

) )(

)(

( ) )(

( ) ( )

( t b

₀

b

₁

t t

₀

b

₂

t t

₀

t t

₁

b

₃

t t

₀

t t

₁

t t

₂

v = + − + − − + − − −

Dane

78 . 362 ) ( ,

15

₁

1

= v t =

t

35 . 517 ) ( ,

20

₂

2

= v t =

t

04 . 227 ) ( ,

10

₀

0

= v t =

t

97 . 602 ) ( , 5 .

22

₃

3

= v t =

t

Znaleźć drogę przebytą w czasie od 11s do 16 s. Znaleźć przyspieszenie w chwili t=16 s.

Rozwiązanie

b

0

= 227.04; b

1

= 27.148; b

2

= 0.37660; b

3

= 5.4347*10

^-3

b ₀

0=10

t 227.04 b ₁

27.148 b₂

,

1=15

t 362.78 0.37660 b ₃

30.914 5.4347x10⁻³ ,

2=20

t 517.35 444530.

34.248 ,

5 .

3=22

t 602.97

(27)

Rząd wielomianu 1 2 3

v(t=16) m/s

393.69 392.19 392.06 Błąd względny

przybliżenia

--- 0.38502 % 0.033427 % Porównanie

Interpolacja z równo-odległymi węzłami

ih x x

_i

=

₀

+

Dane są wartości funkcji f(x_i)=y_idla i=0,1,…n w punktach rozmieszczonych w jednakowych odstępach:

) )...(

)(

! (

...

) )(

! ( ) 2

! ( ) 1

(

1 1

0

2 1 0 2 0

0

−

∆ − +

+ +

−

∆ − +

=

n n o

n

o o

I n

x x x

x x h x

n y

x x x h x

x y h x

y y x N

Pierwszy wielomian interpolacyjny Newtona ma postać:

gdzie ∆^kf(x₀) jest różnica progresywna k-tego rzędu

(28)

Interpolacja z równo-odległymi węzłami

Wielomian interpolacyjny Newtona jest korzystny w pobliżu początku tablicy. W pobliżu końca tablicy stosujemy

) )...(

)(

! (

...

) )(

! ( ) 2

! ( ) 1

(

1 1

0

2 1 2 2 1

x x x

x x h x

n y

x x x h x

x y h x

y y x N

n n n

n

n n

n n II

n

−

∆ − +

+ +

−

∆ − +

=

−

− −

−

drugi wielomian interpolacyjny Newtona z różnicami wstecznymi

Różnice progresywne

i i i

i

y y y

y = ∆ ∆ = ∆ − ∆

∆

²

( )

₊₁

i i i i

i

f x h f x y y

y = + − = −

∆ ( ) ( )

₊₁

)

1

( )

( − − = −

₋

=

∇ y

i

f x

i

f x

i

h y

i

y

i

Różnice wsteczne

1 2

= ∇ ( ∇ ) = ∇ − ∇

₋

∇ y

i

y

i

y

i

y

i

(29)

Inaczej:

Wzór interpolacyjny Lagrange’a

gdzie:

ω’_n(x_j) jest wartością pochodnej wielomianu ω_n(x) punkcie x_j będącym zerem tego wielomianu

( ) ∑ ( )

∑

= =

=

= −



 





 



− −

=

ⁿ

j j n j

n j

n

j

x j x n j

n j

n

x x x

x x f x

x x x x x x f x

W

j

0

( ) ' ( )

) ( )

) ( (

) ) (

( ω

ω ω

ω

) )...(

)(

( )

(

₀ ₁ _n

n

x = x − x x − x x − x

ω

Ogólnie:

) )...(

)(

)...(

)(

(

) )...(

)(

)...(

)(

) ( ( )

(

1 1

1 0

1 1

1 0

0 j j j j j j j n

n j

j n

j j

n

x x x x x x x x x x

x x x

x x x x x x x x

f x

W − − − − −

−

= −

+

−

+

−

∑

=

Przykład

Znaleźć prędkość w chwili t=16 s stosując metodę interpolacji wielomianem Lagrange’a dla dwóch punktów

t(s) v(m/s)

0 0

10 227.04

15 362.78

20 517.35

22.5 602.97

30 901.67

0 5 10 15 20 25 30

0 200 400 600 800 1000

predkosc v(m/s)

czas t(s)

dane