• Nie Znaleziono Wyników

Wartości funkcji trygonometrycznych wybranych kątów

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Wartości funkcji trygonometrycznych wybranych kątów"

Copied!
31
0
0

Pełen tekst

(1)

Wartości funkcji trygonometrycznych wybranych kątów

Tomasz Lechowski Nazaret preIB 17 maja 2018 1 / 13

(2)

Musimy znać wartości funkcji sin, cos, tg, ctg dla kątów 30

, 45

i 60

.

Na następnych slajdach omówione obliczymy te wartości korzystając z

własności trójkątów charakterystycznych.

(3)

Trójkąt 45

-45

-90

Trójkąt o kątach 45

-45

-90

to trójkąt prostokątny i równoramienny.

Oznacza to, że jego przyprostokątne mają tę samą długość, a jego przeciwprostokątna jest

2 razy dłuższa od przyprostokątnej.

Zastanów się, dlaczego przeciwprostokątna jest

2 razy dłuższa od przyprostokątnej.

Podpowiedź: wykorzystaj twierdzenie Pitagorasa.

Tomasz Lechowski Nazaret preIB 17 maja 2018 3 / 13

(4)

Trójkąt 45

-45

-90

Trójkąt o kątach 45

-45

-90

to trójkąt prostokątny i równoramienny.

Oznacza to, że jego przyprostokątne mają tę samą długość, a jego przeciwprostokątna jest

2 razy dłuższa od przyprostokątnej.

Zastanów się, dlaczego przeciwprostokątna jest

2 razy dłuższa od przyprostokątnej.

Podpowiedź: wykorzystaj twierdzenie Pitagorasa.

(5)

Trójkąt 45

-45

-90

Trójkąt o kątach 45

-45

-90

to trójkąt prostokątny i równoramienny.

Oznacza to, że jego przyprostokątne mają tę samą długość, a jego przeciwprostokątna jest

2 razy dłuższa od przyprostokątnej.

Zastanów się, dlaczego przeciwprostokątna jest

2 razy dłuższa od przyprostokątnej.

Podpowiedź:

wykorzystaj twierdzenie Pitagorasa.

Tomasz Lechowski Nazaret preIB 17 maja 2018 3 / 13

(6)

Trójkąt 45

-45

-90

Trójkąt o kątach 45

-45

-90

to trójkąt prostokątny i równoramienny.

Oznacza to, że jego przyprostokątne mają tę samą długość, a jego przeciwprostokątna jest

2 razy dłuższa od przyprostokątnej.

Zastanów się, dlaczego przeciwprostokątna jest

2 razy dłuższa od przyprostokątnej.

Podpowiedź: wykorzystaj twierdzenie Pitagorasa.

(7)

Trójkąt 45

-45

-90

Tomasz Lechowski Nazaret preIB 17 maja 2018 4 / 13

(8)

Trójkąt 45

-45

-90

sin 45

= a a

2 = 1

2 =

2 2 cos 45

= a

a 2 = 1

2 =

2 2

Uwaga: zauważ, że nie ma znaczenia, który kąt 45

wybierzemy, w obu przypadkach sin i cos będą wynosiły tyle samo.

tg 45

= a a = 1 ctg 45

= a

a = 1

(9)

Trójkąt 45

-45

-90

sin 45

= a a

2 = 1

2 =

2 2

cos 45

= a a

2 = 1

2 =

2 2

Uwaga: zauważ, że nie ma znaczenia, który kąt 45

wybierzemy, w obu przypadkach sin i cos będą wynosiły tyle samo.

tg 45

= a a = 1 ctg 45

= a

a = 1

Tomasz Lechowski Nazaret preIB 17 maja 2018 5 / 13

(10)

Trójkąt 45

-45

-90

sin 45

= a a

2 = 1

2 =

2 2 cos 45

= a

a 2 = 1

2 =

2 2

Uwaga: zauważ, że nie ma znaczenia, który kąt 45

wybierzemy, w obu przypadkach sin i cos będą wynosiły tyle samo.

tg 45

= a a = 1 ctg 45

= a

a = 1

(11)

Trójkąt 45

-45

-90

sin 45

= a a

2 = 1

2 =

2 2 cos 45

= a

a 2 = 1

2 =

2 2

Uwaga: zauważ, że nie ma znaczenia, który kąt 45

wybierzemy, w obu przypadkach sin i cos będą wynosiły tyle samo.

tg 45

= a a = 1 ctg 45

= a

a = 1

Tomasz Lechowski Nazaret preIB 17 maja 2018 5 / 13

(12)

Trójkąt 45

-45

-90

sin 45

= a a

2 = 1

2 =

2 2 cos 45

= a

a 2 = 1

2 =

2 2

Uwaga: zauważ, że nie ma znaczenia, który kąt 45

wybierzemy, w obu przypadkach sin i cos będą wynosiły tyle samo.

tg 45

= a a = 1

ctg 45

= a

a = 1

(13)

Trójkąt 45

-45

-90

sin 45

= a a

2 = 1

2 =

2 2 cos 45

= a

a 2 = 1

2 =

2 2

Uwaga: zauważ, że nie ma znaczenia, który kąt 45

wybierzemy, w obu przypadkach sin i cos będą wynosiły tyle samo.

tg 45

= a a = 1 ctg 45

= a

a = 1

Tomasz Lechowski Nazaret preIB 17 maja 2018 5 / 13

(14)

Trójkąt 30

-60

-90

Trójkąt o kątach 30

-60

-90

to trójkąt prostokątny będący połową trójkąta równobocznego. Jeśli jego najkrótszy bok (będący naprzeciwko kąta 30

) oznaczymy literą a, to jego pozostałe boki będą miały długości a

3 (bok naprzeciwko kąta 60

) oraz 2a (przeciwprostokątna).

Spróbuj samodzielnie wyprowadzić powyższe zależności.

Podpowiedź: zacznij od narysowania trójkąta równobocznego o boku 2a i

podziel ten trójkąt na pół rysując wysokość z jednego z wierzchołków.

(15)

Trójkąt 30

-60

-90

Trójkąt o kątach 30

-60

-90

to trójkąt prostokątny będący połową trójkąta równobocznego. Jeśli jego najkrótszy bok (będący naprzeciwko kąta 30

) oznaczymy literą a, to jego pozostałe boki będą miały długości a

3 (bok naprzeciwko kąta 60

) oraz 2a (przeciwprostokątna).

Spróbuj samodzielnie wyprowadzić powyższe zależności.

Podpowiedź: zacznij od narysowania trójkąta równobocznego o boku 2a i podziel ten trójkąt na pół rysując wysokość z jednego z wierzchołków.

Tomasz Lechowski Nazaret preIB 17 maja 2018 6 / 13

(16)

Trójkąt 30

-60

-90

Trójkąt o kątach 30

-60

-90

to trójkąt prostokątny będący połową trójkąta równobocznego. Jeśli jego najkrótszy bok (będący naprzeciwko kąta 30

) oznaczymy literą a, to jego pozostałe boki będą miały długości a

3 (bok naprzeciwko kąta 60

) oraz 2a (przeciwprostokątna).

Spróbuj samodzielnie wyprowadzić powyższe zależności.

Podpowiedź:

zacznij od narysowania trójkąta równobocznego o boku 2a i

podziel ten trójkąt na pół rysując wysokość z jednego z wierzchołków.

(17)

Trójkąt 30

-60

-90

Trójkąt o kątach 30

-60

-90

to trójkąt prostokątny będący połową trójkąta równobocznego. Jeśli jego najkrótszy bok (będący naprzeciwko kąta 30

) oznaczymy literą a, to jego pozostałe boki będą miały długości a

3 (bok naprzeciwko kąta 60

) oraz 2a (przeciwprostokątna).

Spróbuj samodzielnie wyprowadzić powyższe zależności.

Podpowiedź: zacznij od narysowania trójkąta równobocznego o boku 2a i podziel ten trójkąt na pół rysując wysokość z jednego z wierzchołków.

Tomasz Lechowski Nazaret preIB 17 maja 2018 6 / 13

(18)

Trójkąt 30

-60

-90

(19)

Trójkąt 30

-60

-90

sin 30

= a 2a = 1

2

cos 30

= a 3 2a =

3 2 tg 30

= a

a 3 = 1

3 =

3 3 ctg 30

= a

3

a =

3

Tomasz Lechowski Nazaret preIB 17 maja 2018 8 / 13

(20)

Trójkąt 30

-60

-90

sin 30

= a 2a = 1

2 cos 30

= a

3 2a =

3 2

tg 30

= a a

3 = 1

3 =

3 3 ctg 30

= a

3

a =

3

(21)

Trójkąt 30

-60

-90

sin 30

= a 2a = 1

2 cos 30

= a

3 2a =

3 2 tg 30

= a

a 3 = 1

3 =

3 3

ctg 30

= a 3

a =

3

Tomasz Lechowski Nazaret preIB 17 maja 2018 8 / 13

(22)

Trójkąt 30

-60

-90

sin 30

= a 2a = 1

2 cos 30

= a

3 2a =

3 2 tg 30

= a

a 3 = 1

3 =

3 3 ctg 30

= a

3 a =

3

(23)

Trójkąt 30

-60

-90

sin 60

= a 3 2a =

3 2

cos 60

= a 2a = 1

2 tg 60

= a

3

a =

3

ctg 60

= a a

3 = 1

3 =

3 3

Tomasz Lechowski Nazaret preIB 17 maja 2018 9 / 13

(24)

Trójkąt 30

-60

-90

sin 60

= a 3 2a =

3 2 cos 60

= a

2a = 1 2

tg 60

= a 3

a =

3

ctg 60

= a a

3 = 1

3 =

3

3

(25)

Trójkąt 30

-60

-90

sin 60

= a 3 2a =

3 2 cos 60

= a

2a = 1 2 tg 60

= a

3 a =

3

ctg 60

= a a

3 = 1

3 =

3 3

Tomasz Lechowski Nazaret preIB 17 maja 2018 9 / 13

(26)

Trójkąt 30

-60

-90

sin 60

= a 3 2a =

3 2 cos 60

= a

2a = 1 2 tg 60

= a

3 a =

3

ctg 60

= a a

3 = 1

3 =

3

3

(27)

Tabela z wartościami

30

45

60

sin

12

2 2

3 2

cos

3 2

2 2

1 2

tg

3

3

1

3

ctg

3 1

3 3

Tomasz Lechowski Nazaret preIB 17 maja 2018 10 / 13

(28)

Zadanie

Na wejściówce będzie zadanie podobne do następującego:

Oblicz:

4 sin 30

+ (2 cos 30

)

2

− (5 tg 30

× ctg 60

+ ctg 30

× sin 60

)

(29)

Zadanie

Na wejściówce będzie zadanie podobne do następującego:

Oblicz:

4 sin 30

+ (2 cos 30

)

2

− (5 tg 30

× ctg 60

+ ctg 30

× sin 60

)

Tomasz Lechowski Nazaret preIB 17 maja 2018 11 / 13

(30)

Zadanie

4 sin 30

+ (2 cos 30

)

2

− (5 tg 30

× ctg 60

+ ctg 30

× sin 60

) =

= 4 × 1 2 +



2 ×

3 2

2



5 ×

3 3 ×

3 3 +

3 ×

3 2



=

= 2 + 3 −



5 3 + 3

2



= 5 − 19 6 = 11

6 = 1 5

6

(31)

W razie jakichkolwiek pytań, proszę pisać na T.J.Lechowski@gmail.com.

Tomasz Lechowski Nazaret preIB 17 maja 2018 13 / 13

Cytaty

Powiązane dokumenty

Jeżeli obliczamy wartość funkcji trygonometrycznej dla kątów 90 o ± α lub 270 o ± α, to zmieniamy funkcję na przeciwną (kofunkcję)(sinus zmienia się na cosinus, cosinus

Aby rozumowanie było pełne, należy jeszcze pokazać, że jeśli obierzemy dowolny punkt E poza dwusieczną kąta, to nie jest on równo odległy od ramion kata – to rozumowanie

[r]

a) Pole działki pana Zbyszka jest równe ……… m 2. b) Długość boku działki pana Zbyszka jest równa ……….. c) Obwód działki pana Jana jest równy: ………m. ). Za pomocą cyfr

[r]

[r]

Jeśli jego najkrótszy bok (będący naprzeciwko kąta 30 ◦ ) oznaczymy literą a, to jego pozostałe boki będą miały długości a √.. 3 (bok naprzeciwko kąta 60 ◦ ) oraz

obliczyć wartości podstawowych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym, gdy dane są dwa boki tego trójkąta, obliczyć długości pozostałych