Wartości funkcji trygonometrycznych wybranych kątów

(1)

Wartości funkcji trygonometrycznych wybranych

kątów

(2)

Musimy znać wartości funkcji sin, cos, tg, ctg dla kątów 30

^◦

, 45

^◦

i 60

^◦

.

Na następnych slajdach omówione obliczymy te wartości korzystając z

własności trójkątów charakterystycznych.

(3)

Trójkąt 45

^◦

-45

^◦

-90

^◦

Trójkąt o kątach 45

^◦

-45

^◦

-90

^◦

to trójkąt prostokątny i równoramienny.

Oznacza to, że jego przyprostokątne mają tę samą długość, a jego przeciwprostokątna jest √

2 razy dłuższa od przyprostokątnej.

Zastanów się, dlaczego przeciwprostokątna jest √

2 razy dłuższa od przyprostokątnej.

Podpowiedź: wykorzystaj twierdzenie Pitagorasa.

(4)

Trójkąt 45

^◦

-45

^◦

-90

^◦

Trójkąt o kątach 45

^◦

-45

^◦

-90

^◦

to trójkąt prostokątny i równoramienny.

Oznacza to, że jego przyprostokątne mają tę samą długość, a jego przeciwprostokątna jest √

2 razy dłuższa od przyprostokątnej.

Zastanów się, dlaczego przeciwprostokątna jest √

2 razy dłuższa od przyprostokątnej.

Podpowiedź: wykorzystaj twierdzenie Pitagorasa.

(5)

Trójkąt 45

^◦

-45

^◦

-90

^◦

Trójkąt o kątach 45

^◦

-45

^◦

-90

^◦

to trójkąt prostokątny i równoramienny.

Oznacza to, że jego przyprostokątne mają tę samą długość, a jego przeciwprostokątna jest √

2 razy dłuższa od przyprostokątnej.

Zastanów się, dlaczego przeciwprostokątna jest √

2 razy dłuższa od przyprostokątnej.

Podpowiedź:

wykorzystaj twierdzenie Pitagorasa.

(6)

Trójkąt 45

^◦

-45

^◦

-90

^◦

Trójkąt o kątach 45

^◦

-45

^◦

-90

^◦

to trójkąt prostokątny i równoramienny.

Oznacza to, że jego przyprostokątne mają tę samą długość, a jego przeciwprostokątna jest √

2 razy dłuższa od przyprostokątnej.

Zastanów się, dlaczego przeciwprostokątna jest √

2 razy dłuższa od przyprostokątnej.

Podpowiedź: wykorzystaj twierdzenie Pitagorasa.

(7)

Trójkąt 45

^◦

-45

^◦

-90

^◦

(8)

Trójkąt 45

^◦

-45

^◦

-90

^◦

sin 45

^◦

= a a √

2 = 1

√ 2 =

√ 2 2 cos 45

^◦

= a

a √ 2 = 1

√ 2 =

√ 2 2

Uwaga: zauważ, że nie ma znaczenia, który kąt 45

^◦

wybierzemy, w obu przypadkach sin i cos będą wynosiły tyle samo.

tg 45

^◦

= a a = 1 ctg 45

^◦

= a

a = 1

(9)

Trójkąt 45

^◦

-45

^◦

-90

^◦

sin 45

^◦

= a a √

2 = 1

√ 2 =

√ 2 2

cos 45

^◦

= a a √

2 = 1

√ 2 =

√ 2 2

Uwaga: zauważ, że nie ma znaczenia, który kąt 45

^◦

wybierzemy, w obu przypadkach sin i cos będą wynosiły tyle samo.

tg 45

^◦

= a a = 1 ctg 45

^◦

= a

a = 1

(10)

Trójkąt 45

^◦

-45

^◦

-90

^◦

sin 45

^◦

= a a √

2 = 1

√ 2 =

√ 2 2 cos 45

^◦

= a

a √ 2 = 1

√ 2 =

√ 2 2

Uwaga: zauważ, że nie ma znaczenia, który kąt 45

^◦

wybierzemy, w obu przypadkach sin i cos będą wynosiły tyle samo.

tg 45

^◦

= a a = 1 ctg 45

^◦

= a

a = 1

(11)

Trójkąt 45

^◦

-45

^◦

-90

^◦

sin 45

^◦

= a a √

2 = 1

√ 2 =

√ 2 2 cos 45

^◦

= a

a √ 2 = 1

√ 2 =

√ 2 2

Uwaga: zauważ, że nie ma znaczenia, który kąt 45

^◦

wybierzemy, w obu przypadkach sin i cos będą wynosiły tyle samo.

tg 45

^◦

= a a = 1 ctg 45

^◦

= a

a = 1

(12)

Trójkąt 45

^◦

-45

^◦

-90

^◦

sin 45

^◦

= a a √

2 = 1

√ 2 =

√ 2 2 cos 45

^◦

= a

a √ 2 = 1

√ 2 =

√ 2 2

Uwaga: zauważ, że nie ma znaczenia, który kąt 45

^◦

wybierzemy, w obu przypadkach sin i cos będą wynosiły tyle samo.

tg 45

^◦

= a a = 1

ctg 45

^◦

= a

a = 1

(13)

Trójkąt 45

^◦

-45

^◦

-90

^◦

sin 45

^◦

= a a √

2 = 1

√ 2 =

√ 2 2 cos 45

^◦

= a

a √ 2 = 1

√ 2 =

√ 2 2

Uwaga: zauważ, że nie ma znaczenia, który kąt 45

^◦

wybierzemy, w obu przypadkach sin i cos będą wynosiły tyle samo.

tg 45

^◦

= a a = 1 ctg 45

^◦

= a

a = 1

(14)

Trójkąt 30

^◦

-60

^◦

-90

^◦

Trójkąt o kątach 30

^◦

-60

^◦

-90

^◦

to trójkąt prostokątny będący połową trójkąta równobocznego. Jeśli jego najkrótszy bok (będący naprzeciwko kąta 30

^◦

) oznaczymy literą a, to jego pozostałe boki będą miały długości a √

3 (bok naprzeciwko kąta 60

^◦

) oraz 2a (przeciwprostokątna).

Spróbuj samodzielnie wyprowadzić powyższe zależności.

Podpowiedź: zacznij od narysowania trójkąta równobocznego o boku 2a i

podziel ten trójkąt na pół rysując wysokość z jednego z wierzchołków.

(15)

Trójkąt 30

^◦

-60

^◦

-90

^◦

Trójkąt o kątach 30

^◦

-60

^◦

-90

^◦

to trójkąt prostokątny będący połową trójkąta równobocznego. Jeśli jego najkrótszy bok (będący naprzeciwko kąta 30

^◦

) oznaczymy literą a, to jego pozostałe boki będą miały długości a √

3 (bok naprzeciwko kąta 60

^◦

) oraz 2a (przeciwprostokątna).

Spróbuj samodzielnie wyprowadzić powyższe zależności.

Podpowiedź: zacznij od narysowania trójkąta równobocznego o boku 2a i

podziel ten trójkąt na pół rysując wysokość z jednego z wierzchołków.

(16)

Trójkąt 30

^◦

-60

^◦

-90

^◦

Trójkąt o kątach 30

^◦

-60

^◦

-90

^◦

to trójkąt prostokątny będący połową trójkąta równobocznego. Jeśli jego najkrótszy bok (będący naprzeciwko kąta 30

^◦

) oznaczymy literą a, to jego pozostałe boki będą miały długości a √

3 (bok naprzeciwko kąta 60

^◦

) oraz 2a (przeciwprostokątna).

Spróbuj samodzielnie wyprowadzić powyższe zależności.

Podpowiedź:

zacznij od narysowania trójkąta równobocznego o boku 2a i

podziel ten trójkąt na pół rysując wysokość z jednego z wierzchołków.

(17)

Trójkąt 30

^◦

-60

^◦

-90

^◦

Trójkąt o kątach 30

^◦

-60

^◦

-90

^◦

to trójkąt prostokątny będący połową trójkąta równobocznego. Jeśli jego najkrótszy bok (będący naprzeciwko kąta 30

^◦

) oznaczymy literą a, to jego pozostałe boki będą miały długości a √

3 (bok naprzeciwko kąta 60

^◦

) oraz 2a (przeciwprostokątna).

Spróbuj samodzielnie wyprowadzić powyższe zależności.

Podpowiedź: zacznij od narysowania trójkąta równobocznego o boku 2a i

podziel ten trójkąt na pół rysując wysokość z jednego z wierzchołków.

(18)

Trójkąt 30

^◦

-60

^◦

-90

^◦

(19)

Trójkąt 30

^◦

-60

^◦

-90

^◦

sin 30

^◦

= a 2a = 1

2 cos 30

^◦

= a √ 3 2a =

√ 3 2 tg 30

^◦

= a

a √ 3 = 1

√ 3 =

√ 3 3 ctg 30

^◦

= a √

3 a =

√

3

(20)

Trójkąt 30

^◦

-60

^◦

-90

^◦

sin 30

^◦

= a 2a = 1

2 cos 30

^◦

= a √

3 2a =

√ 3 2

tg 30

^◦

= a a √

3 = 1

√ 3 =

√ 3 3 ctg 30

^◦

= a √

3 a =

√

3

(21)

Trójkąt 30

^◦

-60

^◦

-90

^◦

sin 30

^◦

= a 2a = 1

2 cos 30

^◦

= a √

3 2a =

√ 3 2 tg 30

^◦

= a

a √ 3 = 1

√ 3 =

√ 3 3

ctg 30

^◦

= a √ 3

a =

√

3

(22)

Trójkąt 30

^◦

-60

^◦

-90

^◦

sin 30

^◦

= a 2a = 1

2 cos 30

^◦

= a √

3 2a =

√ 3 2 tg 30

^◦

= a

a √ 3 = 1

√ 3 =

√ 3 3 ctg 30

^◦

= a √

3 a = √

3

(23)

Trójkąt 30

^◦

-60

^◦

-90

^◦

sin 60

^◦

= a √ 3 2a =

√ 3 2

cos 60

^◦

= a 2a = 1

2 tg 60

^◦

= a √

3 a =

√ 3

ctg 60

^◦

= a a √

3 = 1

√ 3 =

√ 3

3

(24)

Trójkąt 30

^◦

-60

^◦

-90

^◦

sin 60

^◦

= a √ 3 2a =

√ 3 2 cos 60

^◦

= a

2a = 1 2

tg 60

^◦

= a √ 3

a =

√ 3

ctg 60

^◦

= a a √

3 = 1

√ 3 =

√ 3

3

(25)

Trójkąt 30

^◦

-60

^◦

-90

^◦

sin 60

^◦

= a √ 3 2a =

√ 3 2 cos 60

^◦

= a

2a = 1 2 tg 60

^◦

= a √

3 a = √

3 ctg 60

^◦

= a a √

3 = 1

√ 3 =

√ 3

3

(26)

Trójkąt 30

^◦

-60

^◦

-90

^◦

sin 60

^◦

= a √ 3 2a =

√ 3 2 cos 60

^◦

= a

2a = 1 2 tg 60

^◦

= a √

3 a = √

3 ctg 60

^◦

= a a √

3 = 1

√ 3 =

√ 3

3

(27)

Tabela z wartościami

30

^◦

45

^◦

60

^◦

sin

¹₂

√2 2

√3 2

cos

√3 2

√2 2

1 2

tg

√ 3

3

1 √

3 ctg √

3 1

√ 3 3

(28)

Zadanie

Na wejściówce będzie zadanie podobne do następującego:

Oblicz:

4 sin 30

^◦

+ (2 cos 30

^◦

)

²

− (5 tg 30

^◦

× ctg 60

^◦

+ ctg 30

^◦

× sin 60

^◦

)

(29)

Zadanie

Na wejściówce będzie zadanie podobne do następującego:

Oblicz:

4 sin 30

^◦

+ (2 cos 30

^◦

)

²

− (5 tg 30

^◦

× ctg 60

^◦

+ ctg 30

^◦

× sin 60

^◦

)

(30)

Zadanie

4 sin 30

^◦

+ (2 cos 30

^◦

)

²

− (5 tg 30

^◦

× ctg 60

^◦

+ ctg 30

^◦

× sin 60

^◦

) =

= 4 × 1 2 +

2 ×

√ 3 2

²

−

5 ×

√ 3 3 ×

√ 3 3 + √

3 ×

√ 3 2

=

= 2 + 3 −

5 3 + 3

2 = 5 − 19 6 = 11

6 = 1 5

6

(31)

Zadanie

4 sin 30

^◦

+ (2 cos 30

^◦

)

²

− (5 tg 30

^◦

× ctg 60

^◦

+ ctg 30

^◦

× sin 60

^◦

) =

= 4 × 1 2 +

2 ×

√ 3 2

2

−

5 ×

√ 3 3 ×

√ 3 3 + √

3 ×

√ 3 2

=

= 2 + 3 −

5 3 + 3

2 = 5 − 19 6 = 11

6 = 1 5

6

(32)

Zadanie

4 sin 30

^◦

+ (2 cos 30

^◦

)

²

− (5 tg 30

^◦

× ctg 60

^◦

+ ctg 30

^◦

× sin 60

^◦

) =

= 4 × 1 2 +

2 ×

√ 3 2

2

−

5 ×

√ 3 3 ×

√ 3 3 + √

3 ×

√ 3 2

=

= 2 + 3 −

5 3 + 3

2 = 5 − 19 6 = 11

6 = 1 5

6

(33)

W razie jakichkolwiek pytań, proszę pisać na T.J.Lechowski@gmail.com.