dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I0.lic. 20 marca 2018
Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej.
Caªkowanie funkcji trygonometrycznych.
Informacje pomocnicze:
1. Caªk¦ R W (sin x, cos x, tg x)dx obliczmy przez podstawienie uniwersalne t = tgx2. Wówczas mamy:
dx = 2
1 + t2dt, sin x = 2t
1 + t2, cos x = 1 − t2 1 + t2. Przykªad 1.
Z 1
cos x + 2 sin x + 3dx =
tgx2 = t =
Z 2
1+t2dt
1−t2
1+t2 +1+t4t2 + 3 =
Z 2
1+t2dt
1−t2+4t+3+3t2 1+t2
=
Z 2dt
2t2+ 4t + 4 = 1 2
Z 2dt
(t + 1)2+ 1 =
t + 1 = w dt = dw
=
Z dw
w2+ 1 = 1
2arctg w + c = arctg(t + 1) + c = arctg tgx
2 + 1 + c.
2. Caªk¦ R W (sin2x, cos2x, sin x cos x)dx obliczmy przez podstawienie t = tg x. Wówczas mamy:
dx = 1
1 + t2dt, sin2x = t2
1 + t2, cos2x = 1 1 + t2. Przykªad 2.
Z 3 + sin2x
2 cos2x − cos4xdx =
tg x = t =
Z 3 + 1+tt22
2
1+t2 − (1+t12)2
· 1
1 + t2dt = Z 4t
2+3 (1+t2)2
2t2+1 (1+t2)2
dt = Z 4t2+ 3
2t2+ 1dt =
Z 2(2t2 + 1) + 1 2t2+ 1 dt =
Z
2 + 1
2t2+ 1dt = 2t +
Z 1
2t2+ 1dt.
Licz¦ caªk¦:
Z 1
2t2+ 1dt =
t = q1
2w ⇒ w =√ 2t dt =
q1 2dw
= Z
q1 2dw
2 · 12w2+ 1 = 1
√2
Z dw
w2+ 1 =
√2
2 arctg w + c = 1
√2
Z dw
w2+ 1 =
√2
2 arctg√ 2t + c.
Ostatecznie
Z 3 + sin2x
2 cos2x − cos4xdx = 2t +
√2
2 arctg√
2t + c = 2 tg x +
√2
2 arctg√
2 tg x + c.
3. Caªk¦ postaci R sinmx cosnxdx, n, m ∈ N liczmy:
a) gdy m, n s¡ parzyste jak podpunkcie 2;
b) gdy m jest nieparzyste, przez podstawienie t = cos x, c) gdy n jest nieparzyste, przez podstawienie t = sin x.
1
dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I0.lic. 20 marca 2018
Przykªad 3.
a) Z
sin3x cos4xdx = Z
sin x · sin2x · cos4xdx = Z
sin x · (1 − cos2x) · cos4xdx =
cos x = t
− sin xdx = dt
= Z
(−1)(1 − t2) · t4dt = Z
(−t4 + t6)dt =
− 1 5t5+ 1
7t7 + c = −1
5cos5x + 1
7cos7x + c.
b) Z
sin8x cos5xdx = Z
sin8x · cos x · cos2x2
dx = Z
sin8x · cos x · 1 − sin2x2
dx =
sin x = t cos xdx = dt
= Z
t8(1 − t2)2dt = Z
t8 t4− 2t2+ 1 dt = Z
t12− 2t10+ t8dt = 1
13t13− 2
11t11+1
9t9+ c = 1
13sin13x − 2
11sin11x + 1
9sin9x + c.
4. Caªki postaci R sin ax sin bxdx, R cos ax cos bxdx, R sin ax cos bx obliczmy korzystaj¡c ze wzo- rów:
sin x sin y = 1
2[cos(x − y) − cos(x + y)], cos x cos y = 1
2[cos(x − y) + cos(x + y)], sin x cos y = 1
2[sin(x − y) + sin(x + y)].
Przykªad 4.
Z
sin 5x cos 7xdx = 1 2
Z
sin(5x − 7x) + sin(5x + 7x)dx = 1
2 Z
sin(−2x)dx +1 2
Z
sin 12xdx = −1 2
Z
sin(2x)dx +1 2
Z
sin 12xdx =
− 1 2 ·−1
2 cos 2x +1 2 · −1
12 cos 12x + c = 1
4cos 2x − 1
24cos 12x + c, Inne przydatne wzory trygonometryczne:
cos2x = 1+cos 2x2 , sin2x = 1−cos 2x2 , cos 2x = cos2x − sin2x, sin 2x = 2 sin x cos x.
Przykªad 5. Wyka» wzór redukcyjny:
Z
tgnxdx = 1
n − 1tgn−1x − Z
tgn−2xdx, n ≥ 2. (1)
Rozwi¡zanie: Przeksztaªcaj¡c i korzystaj¡c z jedynki trygonometrycznej mamy:
Z
tgnxdx = Z
tgn−2x · tg2xdx = Z
tgn−2x 1 − cos2x cos2x
dx =
Z
tgn−2x
1
cos2x− 1
dx =
Z 1
cos2xtgn−2xdx − Z
tgn−2xdx.
2
dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I0.lic. 20 marca 2018
Teraz przez podstawienie liczymy pierwsz¡ caªk¦ z prawej strony:
Z 1
cos2xtgn−2xdx =
tg x = t
1
cos2xdx = dt
= Z
tn−2dt = 1
n − 1tn−1x + c = 1
n − 1tgn−1x + c. (2) St¡d i z powy»szego, mamy wzór (1).
Analogicznie dowodzimy Z
ctgnxdx = −1
n − 1ctgn−1x − Z
ctgn−2xdx, n ≥ 2. (3)
Wcze±niej zostaªy wyprowadzone nast¦puj¡ce wzory redukcyjne:
• R sinnxdx = −1ncos x sinn−1x +n−1n R sinn−2xdx, n ≥ 2;
• R cosnxdx = 1nsin x cosn−1x +n−1n R cosn−2xdx, n ≥ 2.
Zadania
1. Oblicz caªki z funkcji trygonometrycznych:
(1) R 1
1+sin x+cos xdx; (2) R sin2x
1+cos xdx; (3) R 1
cos xdx;
(4) R 1
sin2x(1+cos x)dx; (5) R 1
3+cos xdx; (6) R 1
4 sin2x+9 cos2xdx;
(7) R 1
sin2x+tg2xdx; (8) R sin2x−cos2x
sin4x+cos4xdx; (9) R sin2x cos7xdx;
(10) R sin2x cos4xdx; (11) R sin 3x cos 5xdx; (12) R sin 4x sin 7xdx;
(13) R sin8xdx; (14) R sin7xdx; (15) R cos5xdx;
(16) R ctg4dx; (17) R tg5xdxdx; (18) R cos x
sin3x−cos3xdx.
3
