Przypomnienie najważniejszych definicji i twierdzeń związanych z szeregami Fouriera.
Iloczyn skalarny w przestrzeni funkcji1: hf, gi =
2π Z
0
f (x) · g (x) dx .
Iloczyn skalarny w języku bazy2 ortogonalnej sinusów i cosinusów:
Jeżeli
f (x) = a0+
∞ X n=1
(ancos nx + bnsin nx) oraz
g(x) = c0+
∞ X n=1
(cncos nx + dnsin nx) , to
hf, gi =
2π Z
0
f (x) · g (x) dx = 2π · a0· c0+ π ·
∞ X n=1
(an· cn+ bn· dn) .
Równość Parsevala:
hf, f i =
2π Z
0
f2(x) dx = 2π · a20+ π ·
∞ X n=1
a2n+ b2n.
Szereg Fouriera funkcji3 f:
a0+
∞ X n=1
(ancos nx + bnsin nx) , (F )
gdzie
a0= 1
2π· hf, 1i = 1 2π·
2π Z
0
f (x) dx , (F 0)
an=1
π· hf, cos nxi = 1 π·
Z2π
0
f (x) · cos nx dx (F A)
oraz
bn=1
π· hf, sin nxi =1 π·
2π Z
0
f (x) · sin nx dx . (F B)
Przy założeniach, które są spełnione przez używane przez nas funkcje, szereg Fourie- ra (F ) jest punktowo zbieżny do funkcji f .
1Nie precyzujemy dokładnie, jak regularne mają być funkcje. Na pewno muszą być okresowe o okre- sie 2π.
2To nie jest baza w sensie algebry liniowej, bo potrzebujemy przejścia granicznego do wysumowania szeregu.
3Okresowej o okresie 2π, w punktach nieciągłości mającej wartość równą średniej arytmetycznej granic jednostronnych.
Kolokwium nr 5 (wtorek 1 czerwca 2021):
materiał zadań 1–232.11:15-12:15 – quiz na Moodlu (60 minut) 12:20-13:00 – dwa zadania otwarte (40 minut) 13:10-13:45 – wykład (35 minut)
Przed rozpoczęciem kolokwium należy dołączyć do spotkania w Teamsach na kanale wykładu i włączyć kamerę.
Zadania do omówienia na ćwiczeniach w czwartek 27.05.2021.
Zadania należy spróbować rozwiązać przed zajęciami.
226. Obliczyć współczynniki szeregu Fouriera funkcji f :R→Rokresowej o okresie 2π określonej wzorem
f (x) =
1 dla x ∈ [0, π/2]
0 dla x ∈ (π/2, 2π)
Doprowadzić wzory na współczynniki szeregu Fouriera do postaci niezawierającej funk- cji trygonometrycznych (czyli w ostatecznej postaci nie powinny występować w tych wzorach wyrażenia typu sin nπ czy cos nπ).
227. Niech
f (x) =
∞ X n=1
sin nx
2n oraz g(x) =
∞ X n=1
sin nx 3n .
Zakładając pełną beztroskę w manipulowaniu szeregami funkcyjnymi, obliczyć wartość całki
Z2π
0
f (x)g(x) dx.
228. Obliczyć wartość sumy
∞ X n=1
1
n2+ 2. Wolno skorzystać z gotowych wartości calek:
Z2π
0
ex
√
2dx =e2π
√ 2− 1
√2 ,
Z2π
0
e2x
√2
dx =e4π
√2− 1 2√
2 ,
2π Z
0
ex
√
2cos nx dx =
e2π
√ 2− 1
·
√2 n2+ 2,
Z2π
0
ex
√2
sin nx dx =
e2π
√2− 1
· −n n2+ 2.
W miarę możliwości rozwiązać zadanie dwoma sposobami i porównać wyniki. Dla czytelności przeprowadzanych rachunków oraz podanej odpowiedzi można użyć oznaczeń:
A = e2π
√
2− 1 oraz B = e2π
√ 2+ 1 . Wskazówka: Wykorzystać szereg Fouriera funkcji f (x)=ex
√2dla x∈(0, 2π). Powołać
229. Wiadomo, że
∞ X n=1
cos nx n2 =x2
4 −πx 2 +π2
6 dla 0 ¬ x ¬ 2π .
Obliczyć wartość sumy
∞ X n=0
(−1)n
(2n + 1)3 = 1 − 1 33+ 1
53− 1 73+ 1
93− 1 113+ . . .
Wskazówka: Scałkować podany w zadaniu szereg trygonometryczny i wstawić x = π/2.
230. W każdym z zadań 230.1-230.10 podaj w postaci uproszczonej wartość całki oznaczonej.
A(x) =
∞ X n=1
sin nx
4n , B(x) =
∞ X n=1
sin nx 5n , C(x) =
∞ X n=1
sin nx
10n , D(x) =
∞ X n=1
sin 2nx 10n .
230.1.
Z2π
0
A(x)2dx = . . . . 230.2.
Z2π
0
B(x)2dx = . . . .
230.3.
2π Z
0
C(x)2dx = . . . . 230.4.
2π Z
0
D(x)2dx = . . . .
230.5.
Z2π
0
A(x)B(x) dx = . . . . 230.6.
Z2π
0
A(x)C(x) dx = . . . .
230.7.
Z2π
0
A(x)D(x) dx = . . . . 230.8.
Z2π
0
B(x)C(x) dx = . . . .
230.9.
Z2π
0
B(x)D(x) dx = . . . . 230.10.
Z2π
0
C(x)D(x) dx = . . . .
231. W każdym z zadań 231.1-231.21 podaj w postaci uproszczonej wartość całki (jako liczbę wymierną lub jako iloczyn liczby wymiernej i liczby π).
A(x) =
∞ X n=1
cos nx
2n , B(x) =
∞ X n=1
cos 2nx
3n , C(x) =
∞ X n=1
cos(2n + 1)x
3n ,
D(x) =
∞ X n=1
cos 3nx
10n , E(x) =
∞ X n=1
cos(3n + 1)x
10n , F (x) =
∞ X n=1
cos(3n + 2)x 10n .
231.1.
2π Z
0
A(x)2dx = . . . . 231.2.
2π Z
0
B(x)2dx = . . . .
231.3.
Z2π
0
C(x)2dx = . . . . 231.4.
Z2π
0
D(x)2dx = . . . .
231.5.
2π Z
0
E(x)2dx = . . . . 231.6.
2π Z
0
F (x)2dx = . . . .
231.7.
Z2π
0
A(x)B(x) dx = . . . . 231.8.
Z2π
0
A(x)C(x) dx = . . . .
231.9.
2π Z
0
A(x)D(x) dx = . . . . 231.10.
2π Z
0
A(x)E(x) dx = . . . .
231.11.
Z2π
0
A(x)F (x) dx = . . . . 231.12.
Z2π
0
B(x)C(x) dx = . . . .
231.13.
2π Z
0
B(x)D(x) dx = . . . . 231.14.
2π Z
0
B(x)E(x) dx = . . . .
231.15.
Z2π
0
B(x)F (x) dx = . . . . 231.16.
Z2π
0
C(x)D(x) dx = . . . .
231.17.
2π Z
0
C(x)E(x) dx = . . . . 231.18.
2π Z
0
C(x)F (x) dx = . . . .
231.19.
Z2π
0
D(x)E(x) dx = . . . . 231.20.
Z2π
0
D(x)F (x) dx = . . . .
231.21.
Z2π
E(x)F (x) dx = . . . .
232. W każdym z zadań 232.1-232.16 podaj w postaci uproszczonej wartość całki oznaczonej.
Wskazówka:
∞ X n=1
sin nx
pn = p · sin x
p2+ 1 − 2p · cos x dla p > 1.
232.1.
Z2π
0
sin2x dx
5 − 4 cos x= . . . . 232.2.
Z2π
0
sin2x dx
5 − 3 cos x= . . . .
232.3.
Z2π
0
sin x · sin 2x dx
5 − 4 cos x = . . . . 232.4.
Z2π
0
sin x · sin 2x dx
5 − 3 cos x = . . . .
232.5.
Z2π
0
sin x · sin 3x dx
5 − 4 cos x = . . . . 232.6.
Z2π
0
sin x · sin 3x dx
5 − 3 cos x = . . . .
232.7.
2π Z
0
sin2x dx
13 − 5 cos x= . . . . 232.8.
2π Z
0
sin2x dx
17 − 8 cos x= . . . .
232.9.
2π Z
0
sin2x dx
(5 − 4 cos x)2= . . . . 232.10.
2π Z
0
sin2x dx
(5 − 3 cos x)2 = . . . .
232.11.
Z2π
0
sin2x dx
(13 − 5 cos x)2 = . . . . 232.12.
Z2π
0
sin2x dx
(17 − 8 cos x)2 = . . . .
232.13.
Z2π
0
sin2x dx
(5 − 4 cos x) · (5 − 3 cos x)= . . . .
232.14.
Z2π
0
sin2x dx
(13 − 5 cos x) · (17 − 8 cos x)= . . . .
232.15.
Z2π
0
sin2x dx
(5 − 4 cos x) · (13 − 5 cos x)= . . . .
232.16.
Z2π
0
sin2x dx
(5 − 3 cos x) · (13 − 5 cos x)= . . . .
