BioInformatyka. Lista nr 1. Pochodna funkcji
Zad.1. Korzystając z definicji pochodnej wyprowadź wzór na pochodną funkcji f(x)=6x-8, f(x)=cos(x), f(x) x,
x x
f 1
)
( , f(x)=x3 Zad.2.Oblicz pochodne poniższych funkcji
y(x)=x2cos(x), y(x)=x3ex , y(x)=sin2(x), y(x) 3x22x5, y(x)=ln2(x),
y(x)=xln(x),
1 2
6 2 ) 3
(
2
x
x x x
y , y(x)=ctg(x), y(x)=ln(ex), y(x)=ln(2x),
be ct
t a
y
) 1
( (funkcja logistyczna)
Zad.3. Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji a) y(x)=x2+3x-4 w punkcie x=-2
b) y(x)=1/x w punkcie x=1 c) y(x)=ex w punkcie x=0, x=1.
Zad.4. Czy funkcja y(x) = |sin(x)| ma pochodną w każdym punkcie ?
Zad.5. Czy funkcja f(x) x ma pochodną dla x=0 ? Podaj interpretację geometryczną.
Zad.6. Napisz równanie stycznej do wykresu y(x)=arctg(x) w punkcie przecięcia z osią OX.
To samo dla funkcji g(x) = sin(3x), h(x) = sin(x), u(x) = cos(x) Zad.7. Pod jakim kątem przecinają się wykresy funkcji
a) y=sin(x) i y=cos(x) b) y=sin(x) i y=tg(x) c) y=tg(x) i y=arctg(x) d) y=x2 i y=1- x2 e) y=ex i y=e3x f) y=x2 i y=√x
Zad.8. Dobierz parametry p oraz q tak, by krzywa f(x) = x3 +px + q była styczna do osi OX w punkcie x=3
Zad.9. Oblicz pochodne funkcji hiperbolicznych.
3
5 3
2 2
. 0 )
(x x x x
y
8 2 1) 5 ( )
(x x y
1 2
) 3
( x
x x
y
) sin(
)
(x arc x1 y
) 1 ln(1 ) (
x x x
y
) 2
(x e x
y y(x)ex
Zad.10. Wyznacz przedziały monotoniczności i punkty ekstremalne funkcji y(x)=xln(x), y(x) = xex , y(x) = | x2 –4|, y(x) = | sin(x)|,
y(x) = (x-1)|x| , y(x) = (x2 – 3) ex
Zad.11. Naczynie w kształcie stożka ma objętość V. Jakie powinny być jego wymiary, by pole powierzchni (całkowitej, bocznej) było najmniejsze ?
Zad.12. Udowodnij, że funkcja logistyczna jest rosnąca.
Zad.13. Udowodnij, że funkcja potęgowa
m n
b a x
x
y
1 )
(
jest malejąca dla x
0,bZad.14. Stosując regułę de l’Hospitala oblicz granice
) lim (
x W
e
xx W(x) – dowolny wielomian
x x
x
) lim ln(
,
x e x
x 2
lim 1
3
0
,
M. Chalfen
