Denicja 1. Niech f : R → R b¦dzie funkcj¡ okresow¡ o okresie 2T, gdzie T ∈ R + i caªkowaln¡ w przedziale [−T, T ]. Szeregiem (trygonometrycznym) Fouriera funkcji f nazywamy szereg funkcyjny postaci:

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I ⁰ .lic. 1 maja 2016

Szeregi Fouriera.

Denicja 1. Niech f : R → R b¦dzie funkcj¡ okresow¡ o okresie 2T, gdzie T ∈ R + i caªkowaln¡ w przedziale [−T, T ]. Szeregiem (trygonometrycznym) Fouriera funkcji f nazywamy szereg funkcyjny postaci:

a ₀ 2 +

∞

X

n=1

h a n cos

 nπ T x



+ b n sin

 nπ T x

i

, (1)

gdzie

a _n = 1 T

T

Z

−T

f (x) cos  nπ T x 

dx, n = 0, 1, 2, ... (2)

b _n = 1 T

T

Z

−T

f (x) sin  nπ T x 

dx, n = 1, 2, 3, ... (3)

Uwaga 2. W przypadku T = π wzory (1)-(3) maj¡ odpowiednio posta¢:

a 0

2 +

∞

X

n=1

[a _n cos (nx) + b _n sin (nx)] , (4)

a _n = 1 π

π

Z

−π

f (x) cos (nx) dx, n = 0, 1, 2, ... (5)

b _n = 1 π

π

Z

−π

f (x) sin (nx) dx, n = 1, 2, 3, ... (6)

Twierdzenie 3. Szereg Fouriera funkcji

• parzystej ma wszystkie wspóªczynniki b n równe zero, zatem ma posta¢:

a ₀ 2 +

∞

X

n=1

a _n cos  nπ T x 

;

• nieparzystej ma wszystkie wspóªczynniki a n równe zero, zatem ma posta¢:

∞

X

n=1

b _n sin  nπ T x 

.

Uwaga 4. Szereg Fouriera funkcji f nie musi by¢ zbie»ny w punkcie x 0 , a je»eli jest zbie»ny, to jego suma w tym punkcie nie musi by¢ równa f(x 0 ).

1

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I ⁰ .lic. 1 maja 2016

Twierdzenie 5. Szereg trygonometryczny ^a ₂

+

∞

P

n=1

a _n cos ^nπ _T x
+ b _n sin ^nπ _T x
 , zbie»ny jednostajnie w R jest szeregiem Fouriera swojej sumy tzn. wspóªczynniki a n , b _n s¡ dane wzorami (2)-(3). (mo»e by¢ równie» szeregiem Fouriera innej funkcji, ale nie mo»e ona by¢, tak jak suma, funkcj¡

ci¡gª¡)

Twierdzenie 6. Szereg Fouriera funkcji klasy C ¹ jest do niej zbie»ny jednostajnie.

Twierdzenie 7. (kryterium Dirichleta)

Niech funkcja f ma w przedziale [−T, T ] co najwy»ej sko«czon¡ liczb¦ punktów nieci¡gªo±ci pierwszego rodzaju oraz co najwy»ej sko«czon¡ liczb¦ ekstremów. Wówczas:

a) w ka»dym punkcie ci¡gªo±ci funkcji f szereg Fouriera funkcji f jest zbie»ny do funkcji f(x);

b) w ka»dym punkcie nieci¡gªo±ci x 0 szereg Fouriera funkcji f jest zbie»ny do ±redniej arytmetycz- nej granic jednostronnych:

1 2

 lim

x→x

f (x) + lim

x→x

f (x)



;

c) na kra«cach przedziaªu [−T, T ] szereg Fouriera funkcji f jest zbie»ny do ±redniej arytmetycznej granic jednostronnych na kra«cach:

1 2

 lim

x→−T

f (x) + lim

x→T

f (x)

 .

Twierdzenie 8. Niech funkcja f b¦dzie 2π-okresow¡ funkcj¡ ci¡gª¡ i kawaªkami gªadka na przedziale [−π, π]. Wówczas szereg Fouriera (4) funkcji f jest do niej zbie»ny jednostajnie i bezwzgl¦dnie na caªej prostej R.

Niech f b¦dzie 2π okresow¡ funkcj¡ okre±lon¡ na przedziale [−π, π]. Szereg postaci:

∞

X

n=−∞

c _n e ^inx

nazywamy szeregiem Fouriera funkcji f w postaci zespolonej. Wspóªczynniki c n s¡ okre±lone wzorami:

c _n = 1 2π

π

Z

−π

f (x)e ^−inx dx, gdzie n = ..., −2, −1, 0, 1, 2, ...

Zwi¡zek pomi¦dzy rzeczywistymi (a n , b _n ), a zespolonymi (c n ) wspóªczynnikami szeregu Fouriera:

c _n =



 

 

a ₀ , dla n = 0;

a

−ib

2 , dla n = 1, 2, 3, . . . ;

a

+ib

2 , dla n = . . . , −3, −2, −1.

(7)

2

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I ⁰ .lic. 1 maja 2016

Zadania

1. Wyznacz szereg Fouriera funkcji f : R → R o okresie 2π, gdzie:

f (x) = ( π

2 dla x = 0;

x

4 dla x = (0, 2π].

Nast¦pnie wyznacz sum¦ szeregu P ^∞

n=1 1 n

. 2. Znajd¹ szereg Fouriera:

a) 2π-okresowej kwadratowej funkcji falowej f okre±lonej wzorem: f(x) =

( 0 dla − π ≤ x < 0;

1 dla 0 ≤ x < π;

b) trójk¡tnej funkcji falowej okre±lonej wzorem f(x) = |x| dla x ∈ [−1, 1], speªniaj¡cej dla ka»dego x ∈ R warunek f(x + 2) = f(x).

Uzasadnij jakich warto±ci x funkcje z podpunktów a), b) s¡ równe ich szeregom Fouriera.

3. Funkcj¦ f(x) = x ² rozwin¡¢ w szereg Fouriera:

a) w przedziale (−π, π) w szereg cosinusów;

b) w przedziale (0, π) w szereg sinusów;

c) w przedziale (0, 2π).

Ponadto oblicz sumy szeregów P ^∞

n=1 1 n

,

∞

P

n=1

(−1)

n

,

∞

P

n=1 1 (2n−1)

. 4. (*) Znajd¹ zespolony szereg Fouriera dla funkcji f(x) = sin x.

5. Znajd¹ zespolony szereg Fouriera dla 2π-okresowej kwadratowej funkcji falowej f okre±lonej wzorem:

f (x) =

( 0 dla − π ≤ x < 0;

1 dla 0 ≤ x < π; . Korzystaj¡c ze wzorów (7) wyznacz wspóªczynniki rzeczywiste.

3