Arkusz II

dysleksja

MMA-R1A1P-061

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Arkusz II

POZIOM ROZSZERZONY

Czas pracy 150 minut

Instrukcja dla zdającego

1. SprawdĨ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 12 stron.

Ewentualny brak zgáoĞ przewodniczącemu zespoáu nadzorującego egzamin.

2. Rozwiązania zadaĔ i odpowiedzi zamieĞü w miejscu na to przeznaczonym.

3. W rozwiązaniach zadaĔ przedstaw tok rozumowania prowadzący do ostatecznego wyniku.

4. Pisz czytelnie. UĪywaj dáugopisu/pióra tylko z czarnym tuszem/atramentem.

5. Nie uĪywaj korektora, a báĊdne zapisy przekreĞl.

6. PamiĊtaj, Īe zapisy w brudnopisie nie podlegają ocenie.

7. Obok kaĪdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów, którą moĪesz uzyskaü za jego poprawne rozwiązanie.

8. MoĪesz korzystaü z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora.

9. Wypeánij tĊ czĊĞü karty odpowiedzi, którą koduje zdający.

Nie wpisuj Īadnych znaków w czĊĞci przeznaczonej dla egzaminatora.

10. Na karcie odpowiedzi wpisz swoją datĊ urodzenia i PESEL.

Zamaluj pola odpowiadające cyfrom numeru PESEL. BáĊdne zaznaczenie otocz kóákiem i zaznacz wáaĞciwe.

ĩyczymy powodzenia!

ARKUSZ II

STYCZEē ROK 2006

Za rozwiązanie wszystkich zadaĔ

moĪna otrzymaü áącznie 50 punktów

Wypeánia zdający przed rozpoczĊciem pracy

PESEL ZDAJĄCEGO KOD

ZDAJĄCEGO

Miejsce

na naklejkĊ

z kodem szko áy

Zadanie 11. (6 pkt)

Wyznacz dziedzinĊ i naszkicuj wykres funkcji f danej wzorem f m( ) ˜ , gdzie x x_{1 2} x x1, 2

są róĪnymi pierwiastkami równania (m_2)x²_{ }(m 2)²x_3m , w którym 2 0

^ `

²

\ 

 R

m .

Zadanie 12. (4 pkt)

RozwiąĪ ukáad równaĔ

2 2

1

( 1) 8

x y

x y

­ 

°®

°¯  

Zadanie 13. (5 pkt)

Wyznacz dziedzinĊ funkcji ^{f x( ) logx}



^{4x ˜ 12 2x 32}



^.

Zadanie 14. (4 pkt)

Dany jest ciąg trójkątów równobocznych takich, Īe bok nastĊpnego trójkąta jest wysokoĞcią poprzedniego. Oblicz sumĊ pól wszystkich tak utworzonych trójkątów, przyjmując, Īe bok pierwszego trójkąta ma dáugoĞü a



^a!0



^.

Zadanie 15. (4 pkt)

RozwiąĪ równanie: 1

ctg cos 0.

sin x 2 x

x

§S ·

  ¨©  ¸¹

Zadanie 16. (4 pkt)

Para

 

:^,P jest przestrzenią probabilistyczną, a A: i B: są zdarzeniami niezaleĪnymi. WykaĪ, Īe jeĪeli P(A‰ B) 1, to jedno z tych zdarzeĔ jest zdarzeniem pewnym tj. ^P

 

^{A 1 lub P}

 

^{B 1.}

Zadanie 17. (5 pkt)

Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f.

a) Podaj maksymalne przedziaáy, w których funkcja f jest malejąca.

b) Wyznacz wartoĞü x, dla której funkcja f osiąga maksimum lokalne. OdpowiedĨ uzasadnij.

c) Wiedząc, Īe punkt A (1, 2) naleĪy do wykresu funkcji f , napisz równanie stycznej do krzywej f w punkcie A.

Zadanie 18. (8 pkt)

Punkty A ( 7,8) i B ( 1, 2) są wierzchoákami trójkąta ABC, w którym )^{BCA 900}. a) Wyznacz wspóárzĊdne wierzchoáka C, wiedząc, Īe leĪy on na osi OX.

b) Napisz równanie obrazu okrĊgu opisanego na trójkącie ABC w jednokáadnoĞci o Ğrodku w punkcie P (1, 0) i skali k 2.

Zadanie 19. (6 pkt)

Dany jest ostrosáup prawidáowy trójkątny, w którym dáugoĞü krawĊdzi podstawy jest równa a.

Kąt miĊdzy krawĊdzią boczną i krawĊdzią podstawy ma miarĊ 45q. Ostrosáup przeciĊto páaszczyzną przechodzącą przez krawĊdĨ podstawy i Ğrodek przeciwlegáej jej krawĊdzi bocznej. SporządĨ rysunek ostrosáupa i zaznacz otrzymany przekrój. Oblicz pole tego przekroju.

Zadanie 20. (4 pkt)

Ciąg ( )a_n okreĞlony jest rekurencyjnie w nastĊpujący sposób:

1

1

2

dla dowolnego 1.

1

n n

n

a

a a n

 a

­°

® t

° 

¯

WykaĪ, korzystając z zasady indukcji matematycznej, Īe ciąg

 

^{an mo}Īna okreĞliü za pomocą

wzoru ogólnego 2

2 1

an

n , gdzie nt1.

BRUDNOPIS