Zestaw III
Funkcja falowa, przestrzeń Hilberta, ortogonalizacja, operatory 1. Podstawowe wiadomości
1.1 Proszę podać interpretację funkcji falowej (interpretacja kopenhaska).
1.2 Proszę omówić podstawowe własności przestrzeni liniowej.
1.3 Proszę podać i wyjaśnić pojęcia:
a) zbiór wektorów liniowo niezależnych;
b) wymiar przestrzeni liniowej;
c) baza (przestrzeni liniowej);
d) składowe wektora w bazie;
e) iloczyn skalarny.
1.4 Proszę podać definicję przestrzeni Hilberta.
2. Zadania wprowadzające
2.1 Rozważyć trzy elementy przestrzeni liniowej rzeczywistych macierzy 2x2:
0 0
1
1 0 ,
1 0
1
2 1 ,
2 0
1
3 2 .
a) czy są one liniowo niezależne? Odpowiedź uzasadnij.
b) zaproponuj zbiór macierzy 2x2 (czterech) liniowo niezależnych. Odpowiedź uzasadnij.
2.2 Udowodnić, że dla dowolnego wektora rozkład:
n
i i i v V
1
, (wektory i tworzą bazę) jest jednoznaczny.
3. Twierdzenie Grama-Schmidta
3.1 Zbuduj bazę ortonormalną w przestrzeni dwuwymiarowej, wychodząc od wektorów j
i
A3 4 i B2i6j. 3.2 Z wektorów bazy
0 0 3
I ,
2 1 0
II ,
5 2 0 III
utworzyć bazę ortonormalną.
4. Operatory liniowe – własności podstawowe
4.1 Wykazać, że dla operatora spełniającego równanie własne w postaci V
V
wartości własne wektora V można obliczyć z równania
0det I zaś wektory własne z równania
0
jj ij
ij v .
I jest macierzą jednostkową.
4.2 Wyznaczyć wszystkie unormowane wektory własne i wartości własne operatorów
a)
0 1 0
1 0 0
0 0 1
R ,
b)
4 1 0
0 2 0
1 3 1
.
5. Operatory w przestrzeni nieskończenie wymiarowej
5.1 Podać postać operatora kwadratu całkowitego pędu we współrzędnych kartezjańskich.
5.2 Podać postać operatora składowej lz momentu pędu w układzie sferycznym.
5.3 Podać postać operatora momentu pędu we współrzędnych:
a) kartezjańskich;
b) sferycznych (wykazać, że l2 2, gdzie 2
2
sin2
sin 1 sin
1
).
