Zestaw zadań z przedmiotu „Elementy fizyki kwantowej i budowy materii”
dla II SDM
3. Funkcja falowa, przestrzeń Hilberta, ortogonalizacja, operatory 1. Podstawowe wiadomości
1.1 Proszę podać interpretację funkcji falowej (interpretacja kopenhaska).
1.2 Proszę omówić podstawowe własności przestrzeni liniowej.
1.3 Proszę podać i wyjaśnić pojęcia:
a) zbiór wektorów liniowo niezależnych;
b) wymiar przestrzeni liniowej;
c) baza (przestrzeni liniowej);
d) składowe wektora w bazie;
e) iloczyn skalarny.
1.4 Proszę podać definicję przestrzeni Hilberta.
2. Zadania wprowadzające
2.1 Sprawdź czy podane wektory są liniowo niezależne
a)
1 0 0
0 , 2 , 0
0 1 3
A B C
,
b)
1 0 0
0 , 2 , 4
1 2 4
A B C
.
2.2 Rozważyć trzy elementy przestrzeni liniowej rzeczywistych macierzy 2x2:
0 0
1
1 0 ,
1 0
1
2 1 , 3 2
3 0 3
. a) czy są one liniowo niezależne? Odpowiedź uzasadnij.
b) zaproponuj zbiór macierzy 2x2 (czterech) liniowo niezależnych. Odpowiedź uzasadnij.
2.3 Udowodnić, że dla dowolnego wektora rozkład:
n
i i i v V
1
, (wektory i tworzą bazę) jest jednoznaczny.
2.4 Obliczyć iloczyn skalarny dla wektorów:
a)
1 0
2 , 2
1 2
V W
,
b)
1
2 , 1
3 2
i
X i Y
,
c)
1 4 2
A i
.
3. Twierdzenie Grama-Schmidta
3.1 Zbuduj bazę ortonormalną w przestrzeni dwuwymiarowej, wychodząc od wektorów j
i
A3 4 i B2i6j. 3.2 Z wektorów bazy
0 0 3
I ,
2 1 0
II ,
5 2 0 III
utworzyć bazę ortonormalną.
4. Operatory liniowe – własności podstawowe
4.1 Wykazać, że dla operatora spełniającego równanie własne w postaci V
V
wartości własne wektora V można obliczyć z równania
0det I zaś wektory własne z równania
0
j ij ij vj . I jest macierzą jednostkową.4.2 Wyznaczyć wszystkie unormowane wektory własne i wartości własne operatorów
a)
0 1 0
1 0 0
0 0 1
R ,
b)
4 1 0
0 2 0
1 3 1
.
