ZESTAW 7: 1. Proszę obliczyć

ZESTAW 7:

1. Proszę obliczyć (−17) mod 5.

2. Dla pary liczb 2613 i 2171 proszę znaleźć ich największy wspólny dzielnik za pomocą algorytmu Euklidesa oraz liczby całkowite a, b takie że

2613a + 2171b = NWD(2613, 2171).

3. Proszę znaleźć odwrotność liczby 160 modulo 841 (tzn. taką liczbę a aby 160a ≡ 1 (mod 841)).

4. Niech d = N W D(m, n). Proszę pokazać, że ciąg liczb:

0 mod m, n mod m, 2n mod m, ..., (m − 1)n mod m składa się z d kopii ciągu m/d liczb, będącego pewną permutacją ciągu

0, d, 2d, ..., m − d.

5. Wykorzystując wynik poprzedniego zadania proszę udowodnić (małe :)) twierdzenie Fermata:

n ⊥ p =⇒ n ^p−1 ≡ 1 (mod p), gdzie p jest liczbą pierwszą.

6. W jaki sposób, korzystając z małego twierdzenia Fermata, można pokazać, że liczba 2 ²

+ 1 jest złożona?

7. Oznaczmy przez f n n-tą liczbę Fermata 2 ²

+ 1. Proszę udowodnić, że f m ⊥f n dla

m 6= n.