TRWAŁOŚĆ ZMĘCZENIOWA ŻELIWA GGG40 W WARUNKACH ZMIENNOAMPLITUDOWEGO ROZCIĄGANIA ZE SKRĘCANIEM Z WARTOŚCIĄ ŚREDNIĄ NAPRĘŻENIA

41, s. 299-306, Gliwice 2011

TRWAŁOŚĆ ZMĘCZENIOWA ŻELIWA GGG40 W WARUNKACH ZMIENNOAMPLITUDOWEGO ROZCIĄGANIA ZE SKRĘCANIEM

Z WARTOŚCIĄ ŚREDNIĄ NAPRĘŻENIA

ADAM NIESŁONY, MICHAŁ BÖHM

Katedra Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, Wydział Mechaniczny, Politechnika Opolska e-mail: a.nieslony@po.opole.pl, michalboehm@gmail.com

Streszczenie. W pracy poddano analizie wyniki badań zmęczeniowych próbek wykonanych z żeliwa GGG40 w warunkach proporcjonalnego i nieproporcjonalnego losowego rozciągania ze skręcaniem z niezerową wartością średnią naprężenia. W algorytmie wyznaczania trwałości zmęczeniowej wykorzystano zmodyfikowane kryterium maksymalnego naprężenia normalnego w płaszczyźnie krytycznej, zliczanie cykli metodą płynącego deszczu, liniową hipotezę kumulacji uszkodzeń Palmgrena-Minera oraz sześć wybranych modeli uwzględniających wpływ wartości średniej naprężeń na trwałość. Wskazano, które modele najlepiej opisują wpływ wartości średniej na trwałość zmęczeniową.

1. WSTĘP

Zjawisko zmęczenia materiału występuje w wielu gałęziach przemysłu ze względu na powszechne występowanie zmiennych w czasie sił zewnętrznych i wewnętrznych w konstrukcjach i elementach maszyn. Często zmiennym w czasie obciążeniom towarzyszą wartości średnie wynikające z m.in. ciężaru własnego konstrukcji, które znacząco wpływają na proces zmęczenia materiału. Szczególnie interesującym i zarazem trudnym do modelowania przypadkiem są obciążenia wieloosiowe z wartością średnią naprężenia [1-3], dla którego nie zdołano dotychczas zaproponować efektywnego i niezawodnego modelu obliczeniowego.

Głównie ze względu na dostępność, cenę oraz dobre własności wytrzymałościowe żeliwa należą do jednych z najbardziej popularnych materiałów konstrukcyjnych wykorzystywanych w budowie maszyn. Na podstawie przeglądu literatury zauważa się jednak, że badania tej grupy materiałów pod względem wpływu wartości średniej naprężenia na trwałość zmęczeniową są rzadkością. Dlatego też głównym celem pracy jest przeprowadzenie weryfikacji opracowanego algorytmu wyznaczania trwałości zmęczeniowej na podstawie wyników badań eksperymentalnych żeliwa GGG40. Poddano analizie przypadek kombinacji rozciągania-ściskania ze skręcaniem próbek okrągłych bez karbu z różną wartością średnią naprężenia. Algorytm obliczeniowy skonstruowano z uwzględnieniem stanu wiedzy z zakresu wyznaczania trwałości zmęczeniowej żeliw w wieloosiowym losowym stanie naprężenia.

Wykorzystano zmodyfikowane kryterium maksymalnego naprężenia normalnego w płaszczyźnie krytycznej, procedurę zliczania cykli metodą płynącego deszczu, liniową hipotezę kumulacji uszkodzeń Palmgrena-Minera oraz sześć wybranych modeli uwzględniających wpływ wartości średniej naprężenia na trwałość.

2. OPIS BADAŃ ZMĘCZENIOWYCH

W niniejszej pracy skorzystano z wyników badań zmęczeniowych przedstawionych po raz pierwszy w raporcie Instytutu Fraunhofera autorstwa Andreasa Müllera [4]. Praca zawiera wyniki badań zmęczeniowych realizowanych przy kombinacji rozciągania-ściskania ze skręcaniem za pomocą maszyny firmy Schenck wyposażonej w dwa hydrauliczne siłowniki (100 i 25 kN) wraz z odpowiednim układem sterującym (Schenck seria 31). Moment skręcający przenoszony był na próbkę za pomocą dźwigni. W ten sposób stanowisko badawcze pozwalało na obciążenie próbki niezależnie rozciąganiem-ściskaniem i skręcaniem.

Próbki wykonano z żeliwa sferoidalnego GGG40. Badania przeprowadzono na próbkach walcowych z pełnym rdzeniem przedstawionych na rys. 1. Na podstawie badań mikroskopowych przyjęto izotropię własności materiału. Jego podstawowe parametry wytrzymałościowe przedstawiono w tabeli 1. Podczas badań zauważono niewielkie umocnienie cykliczne, które jest zjawiskiem typowym dla tego materiału. Szczegółowe informacje dotyczące testów zmęczeniowych można znaleźć w pracach [1, 4].

Rys.1. Kształt i wymiary próbek wykorzystanych do badań eksperymentalnych [4]

Tabela 1. Własności wytrzymałościowe żeliwa GGG40 [4]

Re , MPa Rm , MPa A5 , % Z , % E , GPa ν

322 440 10,9 10,6 167 0,29 Dla przypadku jednoosiowego rozciągania-ściskania oraz skręcania obciążenia zadawano za pomocą generowanego cyfrowo przebiegu wzorcowego g(t) o zerowej wartości oczekiwanej, który odpowiednio przeskalowano w celu uzyskania wymaganych maksymalnych wartości historii naprężenia normalnego σmax i stycznego τmax i wartości naprężeń średnich. Dla kombinacji rozciągania-ściskania ze skręcaniem zastosowano obciążenia proporcjonalne o współczynniku korelacji naprężeń normalnych i stycznych równym jedności (rσ,τ = 1) oraz obciążenia nieproporcjonalne o współczynniku korelacji naprężeń bliskim zeru (r_σ,τ ≈ 0), Rys. 2. Nieskorelowane przebiegi naprężeń uzyskano za pomocą modulacji częstotliwościowej amplitud naprężenia normalnego przy zachowaniu stałych odstępów amplitud przebiegu wzorcowego g(t) momentu skręcającego. Częstotliwość ekstremów historii rozciągania-ściskania zmieniała się w ten sposób, aby przyrost naprężenia normalnego między kolejnymi ekstremami w czasie był wartością stałą [1, 4]. Uzyskane wyniki eksperymentalne przedstawiono na rys. 3.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -80

-60 -40 -20 0 20 40 60 80

σ, τ [ MPa]

czas t [s]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-150 -100 -50 0 50 100 150

σ, τ MPa[]

czas t [s]

Rys.2. Wycinek przebiegu naprężeń dla (a) obciążenia rozciąganiem-ściskaniem, skręcaniem i kombinacją rozciągania-ściskania ze skręcaniem dla współczynnika

korelacji rσ,τ = 1 i (b) rσ,τ = 0

10⁵ 10⁶ 10⁷ 10⁸

200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400

N [cykle]

σ, τ [ MPa]

rozciąganie-ściskanie skręcanie

10⁵ 10⁶ 10⁷ 10⁸

150 200 250 300 350

N [cykle]

σ, τ [ MPa]

skorelowane nieskorelowane

Rys.3. Wyniki badań zmęczeniowych żeliwa GGG40 przy (a) losowym jednoosiowym rozciąganiu-ściskaniu i skręcaniu oraz (b) przy kombinacji losowego rozciągania-ściskania

ze skręcaniem dla współczynnika korelacji r_σ,τ = 1 i r_σ,τ = 0

3. ALGORYTM WYZNACZANIA TRWAŁOŚCI ZMĘCZENIOWEJ

Schemat algorytmu oceny trwałości zmęczeniowej w warunkach wieloosiowych obciążeń losowych z wartością średnią naprężenia przedstawia rys. 4. Generację naprężeń σij(t) wykonano podobnie jak miało to miejsce podczas testów zmęczeniowych, skalując przebieg wzorcowy g(t) na odpowiednią wartość. Wyznaczanie oczekiwanego kierunku płaszczyzny złomu zmęczeniowego realizowano za pomocą metody kumulacji uszkodzeń. Polega ona na przeszukaniu obszaru możliwych położeń płaszczyzny krytycznej oraz wyboru tej, gdzie stopień uszkodzenia jest maksymalny. W wyniku tej operacji otrzymuje się nie tylko położenie oczekiwanej płaszczyzny złomu, lecz również trwałość zmęczeniową [1, 3].

W kolejnym etapie algorytmu przeprowadza się redukcję wieloosiowego stanu naprężenia do ekwiwalentnego jednoosiowego w sensie zmęczenia materiału. W tym celu zastosowano kryterium maksymalnego naprężenia normalnego w płaszczyźnie krytycznej z modyfikacją polegającą na uwzględnieniu wartości granic zmęczenia wykresów Wöhlera dla rozciągania- ściskania σaf i skręcania τaf w następującej postaci

a) b)

a) b)

Rys.4. Algorytm wyznaczania trwałości zmęczeniowej

( )

( )

( )

af af xx

eq σ

τ σ σ

σ = _η²⋅ +2_{η η} ⋅ (1)

gdzie: σij(t) – odpowiednie składowe stanu naprężenia, lη, mη - kosinusy kierunkowe wektora η normalnego do płaszczyzny krytycznej.

W celu zliczania cykli i półcykli z przebiegu losowego zastosowano metodę płynącego deszczu [3]. Jest to obecnie jedna z najskuteczniejszych metod zliczania cykli i półcykli, zalecana między innymi przez amerykańskie stowarzyszenie ASTM.

W pracy skupiono szczególną uwagę na weryfikacji modeli dotyczących transformacji amplitud przebiegu ekwiwalentnego ze względu na wartość średnią. Wybrano pięć propozycji literaturowych i jeden model opracowany przez autorów niniejszej pracy. Założono, że przebieg naprężenia poddawany transformacji jest stacjonarny o stałej wartości naprężenia średniego σm. W pracy [5] wykazano, że dla tego typu przebiegów uwzględnienie średniej wartości naprężenia może być zrealizowane globalnie. Pozwoliło to na zastosowanie wzoru na transformację amplitud postaci

ai K

aiT=σ ⋅

σ ⁽²⁾

gdzie: σaiT − amplituda naprężenia transformowana, σai− amplituda naprężenia

wyznaczona z przebiegu ekwiwalentnego algorytmem zliczania cykli, K − współczynnik uzależniony od przyjętej metody transformacji będący funkcją stałych materiałowych i naprężenia średniego σ^m.

W niniejszej pracy wykorzystano pięć modeli naprężeniowych: Soderberga (S), Goodmana (Go), Morrowa (M), Gerbera (Ge) i Kwofiego (K) [2, 5], na podstawie których wyprowadzono wzory na współczynnik K (tabela 2).

Tabela 2. Wzory na współczynnik K według wybranych modeli [2, 6]

Soderberg (S) Goodman (Go) Morrow (M) Gerber (Ge) Kwofie (K)

e m S

R K = −σ

1 1

m m Go

R K = −σ

1 1

f m

KM

1 ' 1

σ

−σ

= ₂

1 1

⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝⎛

−

=

m m Ge

R

K σ

⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝⎛− ⋅

=

m m K

R K exp α σ

1

Re – granica plastyczności, Rm – wytrzymałość na rozciąganie,

σ^’f – współczynnik wytrzymałości zmęczeniowej,

α – współczynnik wrażliwości materiału na wartość średnią [6].

Wykorzystano także model opracowany przez autorów pracy. Wykorzystuje on zmęczeniowe parametry materiałowe uzyskane dla dwóch stanów granicznych: rozciągania-ściskania o współczynniku asymetrii cyklu R = −1 oraz jednostronnego rozciągania przy R = 0. Parametry te odczytuje się z odpowiednich wykresów Wöhlera sporządzanych dla próbek

laboratoryjnych. Założono, że pośredni stan wytężenia materiału pomiędzy stanami

granicznymi można opisać zależnością liniową. Na rys. 5 przedstawiono ideę tegoż modelu.

Rys.5. Ilustracja dotycząca wyprowadzenia wzoru na współczynnik KNB

Z podobieństwa trójkątów ACF i ABD wynika

m a aT R

af R af R af

σ σ σ σ

σ

σ − = −

=

=

−

= 0 ,

0 , 1

, , (3)

czyli

( )

0 , 0 1

=

=

−

= −

+

=

R af

m afR afR a

aT σ

σ σ σ σ

σ ^{. (4)}

Dla wykresu Wöhlera dla cykli od zerowo tętniących (R = 0) zachowana jest równość

Wykres Wöhlera R=-1

Wykres Wöhlera R=0

Nf

σ

σ σ

σaf, R=-

σaf, R=0

σa

A: (0, σaT = σaf,

B: (σm, σa) C: (σaf, R=0, σa)

σm = σaf, R=0

D F

0 Nf =

1

0 ,

=

= R af

a

σ

σ . (5)

Na podstawie (4) i (5) otrzymuje się wzór na współczynnik KNB

(

)( )

1

=

=

−

= −

+

=

R af

m R af R af

KNB

σ σ σ

σ ^, (6)

gdzie: σaf,R=-1 i σaf,R=0 są amplitudami wyznaczonymi z wykresów Wöhlera dla rozciągania o wartości współczynników asymetrii cyklu odpowiednio R = −1 i R = 0.

W procesie kumulacji uszkodzeń skorzystano z liniowej hipotezy Palmgrena-Minera

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⋅

<

⋅

≥

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=

∑

af PM j

i

af m PM

aiT af i

a a N

n N

S

σ σ

σ σ

σ σ

aiT 1

aiT 0

dla 0

dla )

( , (7)

gdzie: S(N) - stopień uszkodzenia dla liczby cykli N, aPM - współczynnik pozwalający na uwzględnianie amplitud poniżej σaf, m - współczynnik nachylenia krzywej Wöhlera dla rozciągania-ściskania, ni - liczba cykli naprężeń o amplitudzie σaiT, N0 - liczba cykli odpowiadająca granicy zmęczenia σaf.

Ostatnim etapem algorytmu jest obliczenie trwałości zmęczeniowej. Jest to możliwe po wyznaczeniu stopnia uszkodzenia S(N) dla liczby cykli występujących w bloku obciążenia.

Trwałość wyrażoną także w liczbie cykli oblicza się z zależności

) (N S

N_obl = N , (8)

gdzie: Nobl - trwałość zmęczeniowa, N – liczba cykli w bloku, S(N) - całkowity stopień uszkodzenia dla czasu obserwacji.

4. ANALIZA WYNIKÓW I WNIOSKI KOŃCOWE

Wyniki obliczeń skonfrontowano z trwałością uzyskaną podczas eksperymentu i przedstawiono na rys. 6 i 7. Można zauważyć, że wyniki obliczeń z zastosowaniem modelu Soderberga najbardziej odbiegają od tych uzyskanych podczas eksperymentu. Dwa modele – proponowany przez Kwofiego oraz opracowany przez autorów pracy, dały zadowalające wyniki dla większości analizowanych typów obciążenia. Sformułowano następujące spostrzeżenia szczegółowe:

1. Obciążenie żeliwa GGG40 obciążeniem losowym o niezerowej wartości średniej naprężenia powoduje uzyskiwanie niższych trwałości niż w przypadku obciążeń o zerowej wartości średniej.

2. Obliczenia przeprowadzone dla wartości współczynnika K = 1 (brak uwzględnienia wartości średniej naprężenia) prowadziły do uzyskania znacznie zawyżonej trwałości

obliczeniowej, co jest szczególnie niepożądanym efektem podczas prac inżynierskich i konstruktorskich.

3. Zadowalające wyniki dla przypadku jednoosiowego rozciągania-ściskania dają zależności transformacyjne według Goodmana, Kwofiego oraz zaprezentowanego w pracy modelu.

4. W przypadku skręcania najlepsze wyniki uzyskano, stosując współczynniki KGe, KM, KK oraz KNB.

5. Dla kombinacji rozciągania-ściskania ze skręcaniem przy niezerowej wartości średniej naprężenia najlepsze wyniki uzyskano, stosując współczynniki KGe, KM, KK oraz proponowany KNB.

a) b)

Rys.6. Porównanie trwałości obliczeniowej Nobl z eksperymentalną Nexp: (a) w przypadku rozciągania-ściskania przy R = 0, (b) w przypadku skręcania przy R = 0 a) b)

Rys.7. Porównanie trwałości obliczeniowej Nobl z eksperymentalną Nexp: (a) rozciąganie- ściskanie ze skręcaniem skorelowane przy R = 0, (b) rozciąganie-ściskanie ze

skręcaniem nieskorelowanego przy R = 0

10² 10⁴ 10⁶ 10⁸

10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶ 10⁷ 10⁸ 10⁹

N_exp [cykle]

N^o bl cy [ kle ]

Rozciąganie-ściskanie ze skręcaniem nieskorelowane przy R=0

KS K_Go KM KGe KK Pr.model wsp.K_NB Dla K=1

10² 10⁴ 10⁶ 10⁸

10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶ 10⁷ 10⁸ 10⁹

Nexp [cykle]

N^o bl c [ ykle ]

Rozciąganie-ściskanie ze skręcaniem skorelowane przy R= 0

KS K_Go KM KGe KK Pr.model wsp.K

NB Dla K =1

10² 10⁴ 10⁶ 10⁸

10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶ 10⁷ 10⁸ 10⁹

N_exp [cykle]

N^o bl c [ ykle]

Skręcanie przy R=0

KS K_Go KM K_Ge KK P r.model wsp.K_NB Dla K =1

10² 10⁴ 10⁶ 10⁸

10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶ 10⁷ 10⁸ 10⁹

N_exp [cykle]

N^o bl y[c kle ]

Rozciąganie-ściskanie przy R=0

KS K_Go K_M KGe KK Pr.model wsp.K

NB Dla K=1

LITERATURA

1. Łagoda T., Macha E., Niesłony A., Müller A.: Fatigue life of cast irons GGG40, GGG60 and GTS 45 under combined variable amplitude tension with torsion. “The Archive of Mechanical Engineering” 2001, Vol. XLVIII, p. 56-69.

2. Kluger K., Łagoda T.: Wpływ wartości średniej obciążenia na trwałość zmęczeniową w opisie energetycznym. ZN Pol. Opol. z. 203. Opole: Ofic. Wyd. Pol. Opol., 2007.

3. Niesłony A.: Determination of fragments of multiaxial service loading strongly influencing the fatigue of machine components. “Mechanical Systems and Signal Processing” 2009, Vol. 23(8), p. 2712-2721.

4. Müller A.: Zum Festigkeitsverhalten von mehrachsig stochastisch beanspruchtem Gußeisen mit Kugelgraphit und Temperguß, Bericht Nr. FB-203, Darmstadt: Fraunhofer- Institut für Betriebsfestigkeit (LBF), 1994.

5. Łagoda T., Macha E., Pawliczek R.: Wpływ wartości oczekiwanej losowej historii naprężenia na trwałość zmęczeniową stali 10HNAP przy jednoosiowym rozciąganiu.

„Problemy Maszyn Roboczych” 1998, Z.11/1998, s. 121-138.

6. KWOFIE S.: An exponential stress function for predicting fatigue strength and life due to mean stresses. “Int. J. Fatigue” 2001, Vol. 23, p. 829-836.

FATIGUE LIFE OF CAST IRON GGG40 UNDER VARIABLE AMPLITUDE TENSION WITH TORSION WITH MEAN STRESS

Summary. In this paper the results of the fatigue life estimation tests of cast iron GGG40 under proportional and non-proportional random tension with torsion with non-zero mean value have been analyzed. The algorithm for the fatigue life determination consists out of the modified criterion of maximum normal stress in the critical plane, rain flow cycle counting method, linear Palmgren-Miner damage cumulating hypothesis and out of six chosen models that consider the influence of the mean loading value on the fatigue life. It has been distinguished, which of the considered models are describing the mean value effect on the fatigue life in the best way.