Mechanika i wytrzymałość materiałów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji
Dr hab. inż. Tomasz Machniewicz
Wykład Nr 7
Analiza stanu naprężenia
stan naprężenia w punkcie, tensor naprężenia, klasyfikacja stanów naprężenia, analiza jednoosiowego stanu naprężenia, analiza płaskiego stanu naprężenia, koło naprężeń Mohra.
z
x
y
7.1. Stan naprężenia w punkcie
𝟏
𝑷𝟏
𝑷𝒏
L
𝒑
A
𝑷𝟏
𝑷𝒏
𝑷𝟐
L
𝒑𝟐
A O
O
𝑷𝟏
𝑷𝒊
𝑷𝟑 𝑷𝒏
𝑷𝟐
L
OP
𝑷𝟏
𝑷𝒊
𝑷𝟑 𝑷𝒏
L P
𝑷𝟐 O
1. Naprężenie w danym punkcie na powierzchni myślowego przekroju zależy od orientacji tego przekroju.
2. Jednoznaczny opis stanu naprężenia w punkcie wymaga w związku z tym określenia naprężeń na wszystkich ściankach tzw. elementarnego prostopadłościanu otaczającego dany punkt.
𝒑𝟏 ≠ 𝒑𝟐
𝑷𝟏
𝑷𝒊
𝑷𝟑 𝑷𝒏
L P
𝑷𝟐 O
𝝉𝒙𝒛𝟐
𝝉𝒙𝒚𝟐 𝝈𝒚𝟐
𝝉𝒚𝒛𝟐
𝝈𝒛𝟐 𝝉𝒛𝒚𝟐 z
x O y
𝝈𝒛𝟏 𝝉𝒛𝒚𝟏
𝝈𝒚𝟏 𝝉𝒚𝒛𝟏
𝝉𝒙𝒛𝟏
𝝉𝒙𝒚𝟏
18 składowych stanu naprężenia
© T. Machniewicz
7.1. Stan naprężenia w punkcie
𝝉𝒙𝒛𝟐
𝝉𝒙𝒚𝟐 𝝈𝒚𝟐
𝝉𝒚𝒛𝟐
𝝈𝒛𝟐 𝝉𝒛𝒚𝟐 z
x O y
𝝈𝒛𝟏 𝝉𝒛𝒚𝟏
𝝈𝒚𝟏 𝝉𝒚𝒛𝟏
𝝉𝒙𝒛𝟏
𝝉𝒙𝒚𝟏 𝝉𝒙𝒛
𝝉𝒙𝒚 𝝈𝒚
𝝉𝒚𝒛
𝝈𝒛 𝝉𝒛𝒚 z
x O y
𝝈𝒛 𝝉𝒛𝒚
𝝈𝒚 𝝉𝒚𝒛
𝝉𝒙𝒛
𝝉𝒙𝒚 1) Założenie:
Brak sił masowych (sił ciężkości i bezwładności).
2) Warunki równowagi:
𝑷𝒊𝒙
𝒏𝒊=𝟏 = 𝟎, 𝒏𝒊=𝟏𝑷𝒊𝒚 = 𝟎, 𝒏𝒊=𝟏𝑷𝒊𝒛 = 𝟎
18 składowych stanu naprężenia 9 składowych stanu naprężenia:
3 naprężenia normalne: x, y, z
6 naprężeń stycznych: xy, xz, yx, yz, zy, zy 𝝈𝒊𝟏 = 𝝈𝒊𝟐 𝐨𝐫𝐚𝐳 𝝉𝒊𝒋𝟏 = 𝝉𝒊𝒋𝟐
© T. Machniewicz
7.1. Stan naprężenia w punkcie
Tensor stanu naprężenia:
9 składowych stanu naprężenia:
3 naprężenia normalne: x, y, z
6 naprężeń stycznych: xy, xz, yx, yz, zy, zy
𝑻𝝈 =
𝝈𝒙 𝝉𝒙𝒚 𝝉𝒙𝒛 𝝉𝒚𝒙 𝝈𝒚 𝝉𝒚𝒛 𝝉𝒛𝒙 𝝉𝒛𝒚 𝝈𝒛
𝑀𝑖𝑥
𝑛
𝑖=1 = 0
𝝉𝒙𝒛
𝝉𝒙𝒚 𝝈𝒚
𝝉𝒚𝒛
𝝈𝒛 𝝉𝒛𝒚 z
x
O y
𝝈𝒛 𝝉𝒛𝒚
𝝈𝒚 𝝉𝒚𝒛
𝝉𝒙𝒛
𝝉𝒙𝒚
dy
dz
𝜏𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑧 𝑑𝑦 − 𝜏𝑧𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 0 𝝉𝒚𝒛 = 𝝉𝒛𝒚 𝑀𝑖𝑦
𝑛
𝑖=1 = 0 𝜏𝑧𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑧 − 𝜏𝑥𝑧𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 0 𝝉𝒙𝒛 = 𝝉𝒛𝒙 𝑀𝑖𝑧
𝑛
𝑖=1 = 0 𝜏𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑑𝑥 − 𝜏𝑦𝑥𝑑𝑥𝑑𝑧 𝑑𝑦 = 0 𝝉𝒙𝒚 = 𝝉𝒚𝒙
Naprężenia styczne w płaszczyznach wzajemnie prostopadłych, prostopadłe do krawędzi przecięcia się tych płaszczyzn, są sobie równe i skierowane do lub od krawędzi.
Prawo równości naprężeń stycznych w płaszczyznach prostopadłych:
𝝉
𝝉
𝝉
𝝉
Ostatecznie:
Stan naprężenia w punkcie opisać można przy użyciu sześciu niezależnych składowych stanu naprężenia: x, y, z, xy(= yx), xz(= zx), yz(= zy)
© T. Machniewicz
7.2. Klasyfikacja stanów naprężenia:
Tensor dowolnego przestrzennego stanu naprężenia 𝑻𝝈 =
𝝈𝒙 𝝉𝒙𝒚 𝝉𝒙𝒛 𝝉𝒚𝒙 𝝈𝒚 𝝉𝒚𝒛 𝝉𝒛𝒙 𝝉𝒛𝒚 𝝈𝒛
7.2.1. Dowolny przestrzenny stan naprężenia:
𝝉𝒙𝒛
𝝉𝒙𝒚 𝝈𝒚
𝝉𝒚𝒛
𝝈𝒛 𝝉𝒛𝒚 z
x O y
𝝈𝒛 𝝉𝒛𝒚
𝝈𝒚 𝝉𝒚𝒛
𝝉𝒙𝒛
𝝉𝒙𝒚
W każdym punkcie ciała można tak zorientować trzy osie prostokątnego układu współrzędnych, że na płaszczyznach prostopadłych do tych osi nie wystąpią naprężenia styczne.
𝑻𝝈 =
𝝈𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝝈𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝝈𝟑
Tensor
przestrzennego stanu naprężenia określonego
kierunkami głównymi Osie te nazywamy kierunkami głównymi i
oznaczamy liczbami 1, 2, 3.
Płaszczyzny prostopadłe do kierunków głównych noszą nazwę płaszczyzn głównych, zaś naprężenia normalne w nich działające – naprężeń głównych:
𝝈𝟏 ≥ 𝝈𝟐 ≥ 𝝈𝟑
© T. Machniewicz
y x
O
7.2. Klasyfikacja stanów naprężenia:
Tensor płaskiego (dwuosiowego)
stanu naprężenia 𝑻𝝈 = 𝝈𝒙 𝝉𝒙𝒚 𝝉𝒚𝒙 𝝈𝒚
7.2.2. Płaski stan naprężenia:
𝝉𝒙𝒚
𝝈𝒚 x
O y
𝝈𝒚 𝝉𝒙𝒚
Tensor płaskiego stanu naprężenia określonego kierunkami głównymi z
𝑷𝟏
𝑷𝒊
𝒒 𝒊 𝑷𝟐
𝑻𝝈 = 𝝈𝟏 𝟎 𝟎 𝝈𝟐
Płaski (dwuosiowy) stan naprężenia można opisać przy użyciu:
trzech niezależnych składowych tensora naprężenia:
x, y, xy(= yx)
𝑷𝟏
𝑷𝒊
𝒒 𝒊 𝑷𝟐
z
dwóch wartości
naprężeń głównych: 1, 2
(i ewentualnie kąta określającego ich kierunek)
© T. Machniewicz
𝑷
7.2. Klasyfikacja stanów naprężenia:
7.2.3. Jednoosiowy stan naprężenia:
Stan naprężenia reprezentowany jest tylko przez jedno niezerowe naprężenie główne:
=
1np. rozciąganie, ściskanie, czyste zginanie
1
= 1 𝑷
© T. Machniewicz
7.3. Analiza stanu naprężenia 7.3.1. Jednoosiowy stan naprężenia:
𝑷 1
=1
𝑷 𝑷
𝑷
n
1
𝑻𝒏
𝑷
n
1
𝝈 = 𝝈
𝟏= 𝑷 𝑨
𝑷
𝑷
𝒏= 𝑷 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝑇
𝑛= 𝑃 ∙ sin 𝛼 𝝈
𝒏= 𝑃
𝑛𝐴
𝑛= 𝑃 ∙ 𝑐𝑜𝑠
2𝛼
𝐴 = 𝝈 ∙ 𝒄𝒐𝒔
𝟐𝜶
𝑨
𝒏= 𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝜶
𝝉
𝒏= 𝑇
𝑛𝐴
𝑛= 𝑃
𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 𝜎 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 𝝈
𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐𝜶
© T. Machniewicz
7.3. Analiza stanu naprężenia 7.3.1. Jednoosiowy stan naprężenia:
𝑷 1
=1 𝑷
n
1
𝝈
𝒏= 𝝈 ∙ 𝒄𝒐𝒔
𝟐𝜶
𝑷
n
1
𝑻𝒏
𝝉
𝒏= 𝝈
𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐𝜶
Dla
𝜶 = 𝟒𝟓° 𝝉
𝒏= 𝝉
𝒎𝒂𝒙= 𝝈 𝟐
Płaszczyzny poślizgu o kącie 𝜶 = 𝟒𝟓° Linie Lüdersa
𝑷
𝑷
Ceramiczna próbka poddana ściskaniu
© T. Machniewicz
7.3. Analiza stanu naprężenia
7.3.2. Płaski stan naprężenia: a) wyznaczanie naprężeń w kierunkach dowolnych
2
2
1
1 1
2
n
t
n
n
1
2
n
t
n
n
1
A
A
2A
10 sin
cos
0 1 1 2 2
P A A nAi
in
;
1 Acos
A A2 Asin; 0
sin
cos2 2 2
1
Pn A A nA0 cos
sin cos
sin 2
1
Pt A A nA0 cos
sin
0 1 1 2 2
P A A nAi
it
n 1cos2 2sin2 n
12
sincosUwzględniając:
2 2 cos cos2 1
2 2 cos sin2 1
2 2 cos sin
sin
x
n
cos2 2
2
2 1 2 1
xy
n
sin2 2
2 1
Otrzymujemy:
1
2
n≡x
n≡xy
1 y
© T. Machniewicz
7.3. Analiza stanu naprężenia
7.3.2. Płaski stan naprężenia: a) wyznaczanie naprężeń w kierunkach dowolnych
2
2
1
1 1
2
n
t
n
n
1
2
n
t
n
n
1
A
A
2A
1
cos2
2 2
2 1 2 1 ) (
x
sin2
2
2 1 ) (
xy
1
2
x
1 y
) 2 180 2 cos(
2
2 1 2 1 ) 90
( o α
y o
xy
yx
sin(1802 ) 2
2 1 ) 90 (
Ostatecznie:
𝝈
𝒙= 𝝈
𝟏+ 𝝈
𝟐𝟐 + 𝝈
𝟏− 𝝈
𝟐𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶 𝝈
𝒚= 𝝈
𝟏+ 𝝈
𝟐𝟐 − 𝝈
𝟏− 𝝈
𝟐𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶 𝝉
𝒙𝒚= −𝝉
𝒚𝒙= 𝝈
𝟏− 𝝈
𝟐𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜶
2 45
dla o xy max 1 2
© T. Machniewicz
7.3. Analiza stanu naprężenia
7.3.2. Płaski stan naprężenia: a) wyznaczanie naprężeń w kierunkach dowolnych
𝝈
𝒙= 𝝈
𝟏+ 𝝈
𝟐𝟐 + 𝝈
𝟏− 𝝈
𝟐𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶 𝝈
𝒚= 𝝈
𝟏+ 𝝈
𝟐𝟐 − 𝝈
𝟏− 𝝈
𝟐𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶 𝝉
𝒙𝒚= −𝝉
𝒚𝒙= 𝝈
𝟏− 𝝈
𝟐𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜶
2
2
1
1 1
2
y
x
Umowy dotyczące znaków:
Kąt uznajemy za dodatni gdy odmierzany jest przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, odkształconym ciele.
Naprężenia styczne uznajemy za dodatnie gdy odwrócone o 90
oprzeciwnie do ruchu wskazówek zegara pokrywają się z normalną do rozważanego przekroju.
1 x >0
1 1
x
<0 1
n n>0 +90O
n
n<0
© T. Machniewicz
7.3. Analiza stanu naprężenia
7.3.2. Płaski stan naprężenia: b) wyznaczanie naprężeń w kierunkach głównych
x x y
xy
x
xy
yx
y
yx
y
2 2
1
2 1
1
Ostatecznie:
𝜎𝑥 = 𝜎1 + 𝜎2
2 +𝜎1 − 𝜎2
2 cos 2𝛼 (1) 𝜎𝑦 = 𝜎1 + 𝜎2
2 − 𝜎1 − 𝜎2
2 cos 2𝛼 (2) 𝜏𝑥𝑦 = −𝜏𝑦𝑥 = 𝜎1 − 𝜎2
2 sin 2𝛼 (3)
𝝈
𝟏= 𝝈
𝒙+ 𝝈
𝒚𝟐 + 𝟏
𝟐 𝝈
𝒙− 𝝈
𝒚 𝟐+ 𝟒𝝉
𝒙𝒚𝟐𝐭𝐠 𝟐𝜶 = − 𝟐𝝉
𝒙𝒚𝝈
𝒙− 𝝈
𝒚𝝈
𝟐= 𝝈
𝒙+ 𝝈
𝒚𝟐 − 𝟏
𝟐 𝝈
𝒙− 𝝈
𝒚 𝟐+ 𝟒𝝉
𝒙𝒚𝟐- uwzględniając umowę dotyczącą znaków
2 tg2
cos2 2
sin2 2 (3)
cos2 ) (
)cos2 (
(2) (1)
(2) (1)
2 1
2 1 2
1 2 1
y x
xy y
x xy xy
y x y
x y x
2 cos
1 2
2 2
2
2 cos
1 2
2 2
2
2 1 2 1 2
2 1 2 1 1
y x y x
y x y x
2 22 2 2
2 2
2 4 2 1
2 tg 2
2 tg 2 1
2 cos
1 2
; 2 tg 2 1
cos 1
xy y
x y
x y
x
y x y
x
© T. Machniewicz
7.3. Analiza stanu naprężenia
7.3.2. Płaski stan naprężenia: b) wyznaczanie naprężeń w kierunkach głównych
y
x x
xy
x
xy
yx
y
yx
y
2 2
1
2 1
1
Ostatecznie:
𝝈
𝟏= 𝝈
𝒙+ 𝝈
𝒚𝟐 + 𝟏
𝟐 𝝈
𝒙− 𝝈
𝒚 𝟐+ 𝟒𝝉
𝒙𝒚𝟐𝐭𝐠 𝟐𝜶 = − 𝟐𝝉
𝒙𝒚𝝈
𝒙− 𝝈
𝒚𝝈
𝟐= 𝝈
𝒙+ 𝝈
𝒚𝟐 − 𝟏
𝟐 𝝈
𝒙− 𝝈
𝒚 𝟐+ 𝟒𝝉
𝒙𝒚𝟐x y
xy
xy
yx
yx
1 x
y
xy
xy
yx
yx
1 Kierunek naprężeń głównych 1 przechodzi
przez te ćwiartki układu współrzędnych x-y gdzie naprężenia styczne skierowane są do
siebie.
© T. Machniewicz
7.3. Analiza stanu naprężenia
7.3.3. Koło Mohra: a) wyznaczanie naprężeń w kierunkach dowolnych
𝝈𝒙 = 𝝈𝟏 + 𝝈𝟐
𝟐 +𝝈𝟏 − 𝝈𝟐
𝟐 𝐜𝐨𝐬𝟐𝜶 𝝈𝒚 = 𝝈𝟏 + 𝝈𝟐
𝟐 − 𝝈𝟏 − 𝝈𝟐
𝟐 𝐜𝐨𝐬𝟐𝜶 𝝉𝒙𝒚 = −𝝉𝒚𝒙 = 𝝈𝟏 − 𝝈𝟐
𝟐 𝐬𝐢𝐧𝟐𝜶
2
2
1
1 1
2
y
xy
y
xy
y
x
2
1𝝈
𝟏+ 𝝈
𝟐𝟐
𝝈
𝒚2
𝝈
𝒙𝝉
𝒙𝒚𝝉
𝒚𝒙x
y
𝝈
𝟏− 𝝈
𝟐𝟐
Dane:
1,
2, Szukane:
x,
y,
xy© T. Machniewicz
7.3. Analiza stanu naprężenia
7.3.3. Koło Mohra: b) wyznaczanie naprężeń głównych
22
1𝝈
𝒚𝝈
𝒙𝝉
𝒙𝒚𝝉
𝒚𝒙1
2
𝝈
𝒙− 𝝈
𝒚𝟐
y
x x
xy
x
xy
yx
y
yx
y
2
2 1 1
1
𝝈𝟏 = 𝝈𝒙 + 𝝈𝒚
𝟐 + 𝝈𝒙 − 𝝈𝒚 𝟐
𝟐 +𝝉𝒙𝒚𝟐
𝐭𝐠 𝟐𝜶 = − 𝟐𝝉𝒙𝒚 𝝈𝒙 − 𝝈𝒚 𝝈𝟐 = 𝝈𝒙 + 𝝈𝒚
𝟐 − 𝝈𝒙 − 𝝈𝒚 𝟐
𝟐 +𝝉𝒙𝒚𝟐