LABORATORIUM Z APROKSYMACJI Funcje wpisane w MATLAB-ie

(1)

 help ops – zestawienie znaków

 help elmat – zestawienie stałych

 help timefun – funkcje czasowe

 help elfun – funkcje matematyczne

 lookfor klucz - informacji na temat Operacje

Operacje macierzowe według algebry liniowej +, * mnożenie macierzy przez liczbę

Operacje tablicowe - .*, ./, .^, ./, .\

‘ transpozycja macierzy

Poprzedzenie operatora powoduje zamianę operacji macierzowej na tablicową

Przykład

x=[1 2 3] ; y=[4 5 6], y’ - kolumna, wykonać operację x*y’

A\B lewe dzielenie (A^-1B) A/B – prawe dzielenie (A B^-1)

A.\B lewe dzielenie tablicowe ([B(i,j)/ A(i,j)]) A./B prawe dzielenie tablicowe ([A(i,j)/ B(i,j)]) Przykład wykonać powyższe operacje na wektorach x=[2 -5 3] ; y=[4 -7 6]

Funcje definiowane przez użytkownika function c=pitagoras(a,b)

c2=a^2+b^2;

c=sqrt(c2);

end

Przykład funkcji bibliotecznej

X=linspace(a,b,n) – generowanie n+1 równooddalonych punktów w przedziale [a,b]

(2)

Zapisywanie i pobieranie danych z pliku save a  zapisuje zmienną a na matlaba

load a  wczytuje do zmiennej a z pliku matlaba Ogólna postać fukcji

Function[par-wyj]=nazwa_fun(parametry wejściowe) Instrukcja warunowa

if (isempty(zn)) disp (‘koniec’), return, end Instrukcja pętli while wyrażenie

ciąg poleceń end

Przykład

while x>0, i=i+1;

y(i)=rem(x,10); (mod(x,10)) x=fix(x/10);

end for end

postać (for-end)

for zmienna sterująca=wyrażenie1: wyrażenie2: wyrażenie3 ciąg poleceń

end

Interpretacja poszczególnych wyrażeń jest następująca:

wyrazenie1 – wartość początkowa

wyrazenie2 – krok (jeśli nie ma tego wyrażenia to krok przyjmujemy równy 1)

wyrazenie3 – wartość końcowa

(3)

Przykład

lw=6; zn=’0’; for i=1:lw ; for j=1:i ; a(i,j)=zn; end; end M-pliki - przykład

function examp1() x=0:0001:2*pi y=sin(x)

y1=cos(x) y2=1./(1+x.*x) plot(x,y,x,y1,x,y2) end

Zadanie: wykorzystując komendę help zapoznać się z funkcją subplot Funkcja gtext(‘tekst’) – umieszcza tekst w dowolnym miejscu rysunku za pomocą myszki.

Funkcje uzupelniające wykresy (po plot)

axis(xmin,xmax, ymin,ymax) – ustalenie skali osi xlabel(‘opis osi x’)

ylabel(‘opis osi y’)

title(‘tytuł’) – ustalenie tytułu

text(x,y,’tekst’) – umieszczenie tekstu w punkcie (x,y) Przykłady

ylabel(‘PRĘDKOŚĆ’) xlabel(‘CZAS’)

ezplot(‚t-cos(t)’,’sin(t)’,[0,4*pi])

hold on – daje możliwość rysowania na rysunku poprzednim Zadanie

(4)

Opisać wykres funkcji z poprzedniego przykładu.

Grafika help plot, help graph3d

Przykłady w folderze: \matlab\toolbox\matlab\demos help demos

plot(y)

plot(x,y) – gdzie (xi ,yi) punkty wykresu

plot(x,y,’red’) – rysowanie linii określonego koloru plot(x1,y1,’typ_linii_1’, x2,y2,’typ_linii_2’,..)

Rysowanie funkcji dwóch zmiennych za pomocą wyrażeń matematycznych

f = ‘wyrażenie’

ezplot(f,[xmin,xmax]) – rysowanie linii y=f(x)

ezplot(f,xmin,xmax,ymin,ymax) – rysowanie linii y=f(x,y)

ezplot(x,y,[tmin,tmax]) – rysowanie krzywej x=x(t), y=y(t), t[tmin,tmax]

Zadanie

1. Napisać program w MATLABIE wykonujący wykres funkcji

1 x2

y x

  w przedziale [a,b].

2. Wykonać program w MATLABIE wykonujący wykresy funkcji

) 1 ln(

, sin 1 ,

2

2   

  y x y x

x

y x na jednym układzie współrzędnych w

przedziale [a,b].

3. Wykonać program w MATLABIE wykonujący wykresy funkcji

2 , sin 1 , cos 2 cos 1 , sin 2 , cos 1 , cos 2 , sin 1

sin

2 2

2

2 x

y x x y x

x y x

 

  na jednym

układzie współrzędnych w przedziale [a,b].

4. Poprowadzić wielomian interpolacyjny Lagrange’a przechodzący przez punkty dane tabelką:

(5)

x 0 1 2 2.5 2.75 3.0 3.5 4.0

y 0 1 2 2 1.5 -1 2 -2

Wykonać wykres tego wielomianu z zaznaczeniem punktów interpolacji.

5. Poprowadzić funkcję interpolującą sklejaną 3-go stopnia przechodzącą przez punkty z zadania poprzedniego oraz wykonać jej wykres wraz z wielomianem interpolacyjnym Lagrange’a na jednym układzie współrzędnych.

6. Wykonać program w Matlabie wykonujący wykresy krzywych:

 a) x=cost, y=1-sint, t[0,2],

 b) x=2cost, y=0.5sint, t[0,2],

w jednym układzie współrzędnych.

7. . Wykonać program w Matlabie wykonujący wykresy krzywych:

. 0

, 0 1 ,

, 3 1

3

3 2

3   

 

  a t

t y at t x at

1 . . 2

1 6

, 1 , sin

2 ,

sin

2 ²  ²   

 r  y r  tg 

x

. 2 0 , ), cos (sin

3 ),

sin (cos

3      

 t t t y t t t t

x

10. Wykonać wykresy krzywych danych w postaci biegunowej

 a) ^r^^a ^cos²^^,^a^⁰^, ^₄¹^^^ ^¹₄^^, ⁱ ³₄^^^ ^⁹₄^^.

 b) ^r^^a^sin^{ a}^, ^⁰^, ⁰^^ ^₃¹^^, ₃²^^^ ^^^, ⁴₃^^^ ^⁵₃^^.

 c) ^r^^a^^,^a^⁰^, ⁰^^ ^²^^.

Wskazówka do zadań 4, 5: można wykorzystać funkcje polyfit, spline, oraz polyval.

Wykorzystanie funkcji polyfit p=polyfit(x,y,n), gdzie

x, y – tablice określające współrzędne węzłów n – stopień wielomianu aproksymacyjnego p – wektor współczynników wielomianu yp=polyvalt(p,xx), gdzie

(6)

p - wektor współczynników wielomianu,

yp – tablica wielomianu p w punktach danych tablicą xx.

Wykorzystanie funkcji function - handle

Przykład function wykres3()

fplot(@func,[0,1]) end

function u=func(t) u=t^2

end

Przykład

function krzywa(a,b) ezplot(@ax, (@ay,[a,b]) end

function u=ax(t) u=2*cos(t)

end

function u=ay(t) u=sin(t)

end

Zadanie Obliczyć całki:

(7)

 0

sin2 xdx, ¹ _ _x ^dx

9

1 2

1 , ^^_^ _ ^x _x^_^ ^dx

0

2

sin2

1 .

Zadanie

Wykonać program w MATLAB-ie wyznaczający wielomian aproksymacyjny Lagrange’a przechodzący przez punkty (xi ,  xi + ) I=0,1,...,n.  ,  - dane. Punkty xi wygenerować w określonym przedziale.