Elektrostatyka

WYKŁAD 1 ELEKTROSTATYKA

ELEKTROSTA

TYKA

WYKŁAD 1 ELEKTROSTATYKA

Plan wykładu

•Elektryzowanie ciał, prawo zachowania ładunku

•Prawo Coulomba

•Natężenie pola elektrostatycznego, zasada superpozycji

•Strumień elektryczny, prawo Gaussa

•Indukcja elektryczna

•Praca w polu elektrostatycznym, energia pola

•Potencjał elektrostatyczny: powierzchnie ekwipotencjalne,

napięcie

•Pojemność elektryczna: kondensator kulisty i płaski

•Kondensator płaski z dielektrykiem

WYKŁAD 1 ELEKTROSTATYKA

Z doświadczeń wynikają trzy fundamentalne właściwości ładunku elektrycznego:

1. Ładunek elektryczny może przybierać jedynie wartości będące - co do modułu – wielokrotnością ładunku elektronu:

2. Całkowity ładunek elektryczny układu odosobnionego, tzn. suma algebraiczna ładunków ujemnych i dodatnich układu, jest wielkością niezmienniczą. Inaczej wypadkowy ładunek w układzie zamkniętym jest stały. Właściwość ta nazywa się prawem zachowania ładunku elektrycznego.

3. Wartość ładunku elektrycznego nie zależy od tego czy ładunek jest ruchomy, czy nieruchomy. Mówimy więc, że ładunek elektryczny jest wielkością relatywistycznie niezmienniczą.

Wstęp

e

n

WYKŁAD 1 ELEKTROSTATYKA

e

r

q

q

k

F











Siła jaką ładunek q₁ działa na ładunek q₂ wynosi:

2 2 9 0

/

10

9

4

1

C

Nm

k









Współczynnik ₀= 8.854·10-12 _C2_/Nm2 _{nosi nazwę przenikalności elektrycznej próżni.}

12 21 2 12 2 1 21

e

F

r

q

q

k

F

















Siła jaką ładunek q₂ działa na ładunek q₁ wynosi: Umieśćmy ładunek q=q₁ w początku

układu odniesienia. Wtedy oznaczając q₂=q_pr i biorąc pod uwagę, że w kierunku dowolnego wektora jednostkowy wektor jest równy:

r

r

r

r

e





_







_











_

_





e

r

q

k

q

F





WYKŁAD 1 ELEKTROSTATYKA

Ładunek q jest źródłem pola elektrycznego o natężeniu:

r

r

q

k

q

F

z

y

x

E















)

,

,

(

Rozkład natężenia pola wokół ładunku +q i -q _{Linie sił pola elektrostatycznego}

WYKŁAD 1 ELEKTROSTATYKA

Zasada superpozycji

Siła działająca na próbny ładunek q_pr, umieszczony w dowolnym punkcie (x,y,z) układu ładunków q₁,q₂...q_n jest wektorową sumą sił przyłożonych do niego ze strony każdego z ładunków q_i













r

r

q

k

q

z

y

x

F

z

y

x

F

)

,

,

(

)

,

,

(

















r

r

q

k

z

y

x

E

z

y

x

E

)

,

,

(

)

,

,

(







Natężenie pola wytworzone w dowolnym punkcie (x,y,z) ładunkami q₁,q₂...q_n jest równe

Jeżeli rozkład ładunku jest ciągły, pole wytworzone przez ciało naładowane możemy obliczyć dzieląc ciało na nieskończenie małe kawałki o ładunku dq. Traktując każdy taki ładunek jako ładunek punktowy obliczamy wytworzone przez niego pole

r

r

dq

k

E

d











gdzie jest wektorem łączącym i-ty ładunek układu z punktem (x,y,z)

r

WYKŁAD 1 ELEKTROSTATYKA

r

l

F

F 





r

p

qk

r

Ql

qk

r

qQ

r

l

k

F

r

l

F

















l

Q

p





F

+

-

l

E

Q

F















sin

sin

sin

2

2

pE

M

QEl

l

F

M









WYKŁAD 1 ELEKTROSTATYKA

Zasada superpozycji

Wypadkowe pole w punkcie (x,y,z) znajdujemy całkując wkłady od wszystkich elementów ciała naładowanego











dq

r

r

k

E

d

z

y

x

E



(

,

,

)





Przy wyliczeniu całki w zależności od geometrii naładowanego ciała, wprowadzamy pojęcie gęstości ładunku.

dl

dq

l

q









lim



dS

dq

S

q









lim



dV

dq

V

q









lim



WYKŁAD 1 ELEKTROSTATYKA

Zasada superpozycji

Przykład

Rozważmy pole naładowanego pierścienia o promieniu R, którego całkowity ładunek wynosi

Q. Obliczmy natężenie pole elektrycznego na osi pierścienia w odległości x od jego środka.

r

x

dE

dE

dE





cos







R

Q







2

d

d

r

l

k

E





r

r

dq

k

E

d











r

x

r

l

k

E

d

d





)

(

)

2

(

d

R

x

kxQ

R

r

x

k

l

r

x

k

E

E



















Zgodnie z zasadą superpozycji:

W środku pierścienia dla x = 0; E = 0,

dla x >> R; EkQ/x2 _{jest więc takie samo jak pole ładunku punktowego w tej odległości.} i

to

WYKŁAD 1 ELEKTROSTATYKA



cos













E



S



E

S

E

S













E

S





















Dla elementu powierzchni S:

Od całej powierzchni:

Zwiększając liczbę i zmniejszając rozmiar elementów powierzchni S:























E

S

E

d

S









lim

lim

WYKŁAD 1 ELEKTROSTATYKA

Przykład

Obliczmy strumień pola elektrycznego dla ładunku punktowego q w odległości r od niego.

2 2

(

cos

)

_r

dS

kq

dS

r

q

k

d















)

cos

(

cos























dS

r

q

k

dS

E

S

d

E

d





4

4







q

kq

r

r

kq











Strumień pola elektrycznego ładunku punktowego q przez dowolną powierzchnię zamkniętą , obejmującą ten ładunek nie zależy od kształtu powierzchni czyli tym samym od odległości r.

Powierzchnię taką nazywamy powierzchnią Gaussa

Strumień indukcji

WYKŁAD 1 ELEKTROSTATYKA

Prawo Gaussa

Niech zamknięta powierzchnia obejmuje dwa ładunki q₁ i q₂ . Korzystając z zasady

superpozycji dla całkowitej liczby linii pola przecinającej powierzchnię zamkniętą wokół ładunków q₁ i q₂ możemy zapisać

0 2 1 2 1 2 1

)

d

d

d

(



q

q

S

E

S

E

S

E

E

S

d

E















































Dla dowolnej liczby ładunków q₁,q₂,...,q_n:

0 . 0 1

d





Q

q

S

E

















Strumień pola wychodzący z naładowanego ciała jest równy wypadkowemu ładunkowi podzielonemu przez ₀. Lub inaczej: strumień indukcji przenikający zamkniętą

powierzchnię jest równy całkowitemu ładunkowi zamkniętemu w tej powierzchni.

Jeżeli Q_wewn jest ujemne strumień wpływa do ciała.

dS

E

dV

S

V







 





₀

1

WYKŁAD 1 ELEKTROSTATYKA

D

S

d



Z natężeniem pola związana jest indukcja elektryczna pola

E

D







₀











D



d

S





cos

dS

D

S

d

D

d















Strumień pola można więc zapisać:

Indukcja elektryczna

E

D







₀



_r





WYKŁAD 1 ELEKTROSTATYKA

Powierzchnia Gaussa

S

: + = +Q

S

: - = -Q

S

:  = 0

WYKŁAD 1 ELEKTROSTATYKA

Energia potencjalna pola



cos

























E

W

F

d

r

F

dr

E

Różnica energii potencjalnej między punktami A i B jest równa ze znakiem „–” pracy wykonanej przez siłę zachowawczą przy przemieszczeniu ciała od punktu A do B

Dla pola elektrostatycznego:























E

W

q

E

d

r

q

E

d

r

E

Zakładając, że E_p w  jest =0  w dowolnym punkcie pola r E_p wynosi:

 

_







r

q

E

d

r

E

Jeżeli źródłem pola elektrostatycznego jest ładunek punktowy Q to w odległości r od niego E_p jest równa:

 

r

kqQ

r

kqQ

r

d

r

kQ

q

r

E























1

WYKŁAD 1 ELEKTROSTATYKA

Potencjał pola

Ponieważ E_p pola elektrostatycznego zależy od wielkości ładunku wprowadzamy wielkość zwaną potencjał pola:

 

 

r

Q

k

q

r

E

r

V





 

q

W

r

V



Potencjał pola określa pracę potrzebną do przeniesienia jednostkowego ładunku z  na odległość r od ładunku Q

















E

d

r

q

W

U

V

V

Znak „-” pokazuje, że potencjał maleje w kierunku wektora E W fizyce często posługujemy się pojęciem różnicy potencjałów:

WYKŁAD 1 ELEKTROSTATYKA

Potencjał pola

Znając rozkład potencjału pola elektrycznego w każdym jego punkcie przestrzeni to na podstawie wielkości zmiany potencjału na jednostkę długości możemy określić natężenie pola w tym kierunku

Dla x, y, z:

z

V

E

y

V

E

x

V

E

























,

,

V

k

z

j

y

i

x

E

_





































k

E

j

E

i

E

E













gradV

E





WYKŁAD 1 ELEKTROSTATYKA

Potencjał pola

Powierzchnie ekwipotencjalne to linie łączące punkty o jednakowej wartości potencjału. Natężenie pola elektrycznego i linie sił pola są powierzchni ekwipotencjalnych

WYKŁAD 1 ELEKTROSTATYKA

Potencjał pola

Porównując wykresy widać, że zachodzi następujący związek:

 

 

dr

r

dV

r

E





WYKŁAD 1 ELEKTROSTATYKA

Kondensatory – pojemność elektryczna

Wielkością charakteryzującą kondensator jest pojemność

U

Q

V

Q

C







[

]

V

C

F



Policzmy pole elektryczne między okładkami kondensatora. W tym celu rozpatrzmy płaski rozkład ładunku na nieskończonej powierzchni

d

E

r

d

E

U

V

















Różnica potencjałów dla różnie naładowanych płyt przedstawionych na rysunku wyniesie:

1

3

2

WYKŁAD 1 ELEKTROSTATYKA

Kondensatory – pojemność elektryczna

S

Q

_wewn







2





S

S

E





2







E

Wybieramy powierzchnię Gaussa jak na rys. Ładunek otoczony przez tę powierzchnię wyniesie:

Z prawa Gaussa otrzymujemy:

Dla naszego kondensatora:

0

2







E

2







E

 

₂

₂

0





























E

 

2

2













_

_



E

 

0

2

2







_









E

WYKŁAD 1 ELEKTROSTATYKA





d

V





S

Q





S

Qd

V







d

S

V

Q

C









Podstawiając do wzoru na pojemność:

Dla izolowanego przewodnika czyli inaczej kondensatora którego jedna z

okładek jest w  i jej potencjał jest = 0

_V

Q

C



WYKŁAD 1 ELEKTROSTATYKA

Kondensator płaski z dielektrykiem

Umieszczenie dielektryka między okładkami kondensatora zwiększa jego pojemność _r razy. _r – względna przenikalność dielektryczna

Gdy dielektryk umieścimy w polu elektrycznym to pojawiają się indukowane ładunki powierzchniowe, które wytwarzają pole elektryczne przeciwne do zewnętrznego pola elektrycznego.

WYKŁAD 1 ELEKTROSTATYKA

Kondensator płaski z dielektrykiem

0 '



q

q

S

E







S

q

q

E







Pojemność kondensatora z dielektrykiem wynosi:

C

q

q

q

d

S

q

q

q

d

E

Q

V

Q

C





















q

q

q

C

C

_

_











E



S



q



q

q

S

d

E













Ponieważ pole jest jednorodne:

0 '







E



d

S



q



q







E

q

_S











WYKŁAD 1 ELEKTROSTATYKA

Energia pola elektrycznego

Praca potrzebna na przeniesienie porcji ładunku dq przy różnicy potencjałów V między okładkami kondensatora wyniesie:

d

S

C





0

C

Q

dq

C

q

Vdq

W

2

1

























Vdq

dW





V

Q

C





_Q

_S

_E

S

Q

E







₀





0





i





C

SE

W

2

2

0





i

W

E

S

d

E

V

2

2

2

0

2

0





_

_





C

Q

W

2

2

1



i

Q



C





V



C



U



2

2

U

C

E

W



_p





WYKŁAD 1 ELEKTROSTATYKA

Kondensatory – łączenie równoległe

U

U

U

U

V

V

V

V

q

q

q

q



























3

2

1

C

C

C

V

q

C

_ZR















C

C

WYKŁAD 1 ELEKTROSTATYKA

Kondensatory – łączenie szeregowe

U

U

U

U

V

V

V

V

q

q

q

q



























C

V

C

V

C

V

q



















1

1

1

1

C

C

C

Q

V

C















C

C

1

1