Zbigniew Skoczylas

Zbigniew Skoczylas

Zadania i problemy z

matematyki

G i S

O…cyna Wydawnicza GiS

Wroc÷ aw 2013

Zbigniew Skoczylas Politechnika Wroc÷ awska

Instytut Matematyki i Informatyki zbigniew:skoczylas@pwr:edu:pl

Projekt ok÷ adki: IMPRESJA Studio Gra…ki Reklamowej

Copyright c 1998, 2013 by Zbigniew Skoczylas

Ksi ¾ a· zka w ca÷ o´sci ani we fragmentach nie mo· ze by´c powielana ani rozpowszechniana za pomoc ¾ a urz ¾ adze´n elektronicznych, mechanicznych, kopiuj ¾ acych, nagrywaj ¾ acych i innych. Ponadto nie mo· ze by´c umieszczana ani rozpowszechniana w postaci cyfrowej zarówno w Internecie, jak i w sieciach lokalnych, bez pisemnej zgody posiadacza praw autorskich.

Sk÷ ad ksi ¾ a· zki wykonano w systemie Scienti…c WorkPlace

5.5

ISBN 978-83-89020-99-4

Wydanie II, Wroc÷ aw 2013

O…cyna Wydawnicza GiS, www.gis.wroc.pl

Druk i oprawa: O…cyna Wydawnicza ATUT

Spis tre´sci

Wst ¾ ep . . . 7

1. Algebra . . . 9

2. Analiza matematyczna . . . 15

3. Geometria . . . 42

4. Matematyka dyskretna . . . 57

5. Mechanika . . . 63

6. Multifunkcje . . . 71

7. Optymalizacja . . . 75

8. Rachunek prawdopodobie´nstwa . . . 91

9. Równania funkcyjne i ró· zniczkowe . . . 95

10. Teoria liczb . . . 102

11. Zadania ró· zne . . . 108

Artyku÷ y i ksi ¾ a· zki o podobnej tematyce . . . 114

Wst ¾ ep

Niniejszy zbiór jest przeznaczony dla osób, które lubi ¾ a rozwi ¾ azywa´c nietypowe zadania z matematyki na poziomie akademickim. S ¾ adz ¾ e, · ze zainteresuje on studentów i pracowników nau- kowych kierunków ´scis÷ ych. W ksi ¾ a· zce umie´sci÷ em ponad 400 oryginalnych zada´n i problemów z ró· znych dzia÷ ów matematyki. Zadania podobnych typów mo· zna spotka´c w dzia÷ ach proble- mowych czasopism, na studenckich olimpiadach matematycznych oraz na forach internetowych, gdzie uczestnicy prezentuj ¾ a swoje problemy. Niektóre problemy mog ¾ a by´c wykorzystane, jako tematy prac licencjackich lub magisterskich.

Zadania i problemy podzieli÷ em na tradycyjne dzia÷ y matematyki, ale nie uporz ¾ adkowa÷ em ich wed÷ ug stopnia trudno´sci. W ksi ¾ a· zce stosuj ¾ e standardowe oznaczenia. Aby u÷ atwi´c zro- zumienie niektórych zada´n, do÷¾ aczy÷ em do nich rysunki. Nie podaj ¾ e odpowiedzi, wskazówek, rozwi ¾ aza´n ani dowodów. Problemy, które s ¾ a hipotezami, oznaczy÷ em liter ¾ a (H), a zadania, któ- rych nie potra…¾ e rozwi ¾ aza´c - liter ¾ a (N). Na stronie internetowej www.im.pwr.wroc/~skoczylas umie´sci÷ em rozwi ¾ azania zada´n przys÷ ane przez Czytelników. Podaj ¾ e tam tak· ze list ¾ e ksi ¾ a· zek zawieraj ¾ acych podobne zadania.

Do drugiego wydania zbioru doda÷ em oko÷ o 200 nowych zada´n. Jednocze´snie usun ¾ a÷ em te problemy, które - jak si ¾ e okaza÷ o - s ¾ a znane. Ponadto do 120 zada´n do÷¾ aczy÷ em rysunki.

Poprawi÷ em tak· ze zauwa· zone b÷¾ edy i usterki.

Dzi ¾ ekuj ¾ e Czytelnikom, którzy przys÷ ali rozwi ¾ azania problemów z pierwszego wydania zbio- ru. Dzi ¾ ekuj ¾ e Im tak· ze za informacje o b÷¾ edach lub o tym, · ze problem jest znany. B ¾ ed ¾ e wdzi ¾ eczny za wszelkie uwagi o obecnym wydaniu.

Zbigniew Skoczylas

Zadania i problemy wybrane

z drukowanej wersji ksi ¾ a· zki

Algebra

1. Macierze A; B 2 M

s ¾ a ustalone. Pokaza´c, · ze je· zeli dla ka· zdej macierzy X 2 M

zachodzi warunek

det (A + X) = det (B + X) ;

to A = B: (N) Czy otrzymamy t ¾ e równo´s´c, gdy za÷ o· zymy, · ze macierze X s ¾ a wybierane z pewnej bazy przestrzeni M

?

2. Pokaza´c, · ze dla dowolnych parami ró· znych punktów P

; P

; : : : ; P

(k > 2) przestrzeni R

(n 2 N) zachodzi nierówno´s´c

( 1)

d

d

: : : d

d

d

: : : d

.. . .. . . .. ...

d

d

: : : d

< 0;

gdzie d

oznacza odleg÷ o´s´c euklidesow ¾ a punktów P

; P

: (H) Udowodni´c, · ze je´sli w nie- równo´sci wpisa´c symbol ( 6) zamiast (<) ; to b¾edzie ona prawdziwa dla punktów dowolnej przestrzeni unormowanej. Czy s÷ aba nierówno´s´c jest prawdziwa dla punktów dowolnej przestrzeni metrycznej?

3. Pokaza´c, · ze w dowolnej niesko´nczenie wymiarowej przestrzeni liniowej istniej ¾ a podprzes- trzenie V

(i 2 Z) ; które spe÷niaj ¾ a obustronny ci ¾ ag zawiera´n

: : : V

V

V

V

V

: : : ; przy czym · zadne z nich nie jest równo´sci ¾ a.

4. Jak ¾ a posta´c maj ¾ a przekszta÷ cenia liniowe L : R

! R

(n > 2) ; które odwzorowuj ¾ a zbiór [0; 1)

na siebie?

5. Pokaza´c, · ze prosta Im (z) = Re (z) jest osi ¾ a symetrii zbioru pierwiastków zespolonych wielomianu

z

(1 + i) z

+ 5iz

+ (3 3i) z 4:

6. Znale´z´c funkcj ¾ e ci ¾ ag÷¾ a f : R ! R tak ¾ a, · ze rodzina funkcji ff(x + ) : 2 Rg

jest liniowo niezale· zna w przestrzeni C (R) funkcji ci ¾ ag÷ ych na R: (N) Czy taka rodzina mo· ze by´c baz ¾ a przestrzeni C (R)?

7. Dla liczby naturalnej n > 2 niech f!

; !

; !

; : : : ; !

g oznacza zbiór pierwiastków n-tego stopnia z jedno´sci (o rosn ¾ acych argumentach g÷ ównych). Obliczy´c sumy:

a) X

k=1

k!

; b) X

k=1

!

k :

9

Analiza matematyczna

1. Pierwszy wyraz ci ¾ agu jest dowoln ¾ a liczb ¾ a wymiern ¾ a. Kolejny wyraz ci ¾ agu tworzymy dopi- suj ¾ ac na ko´ncu licznika i mianownika poprzedniego wyrazu dowoln ¾ a cyfr ¾ e (niekoniecznie t ¾ e sam ¾ a). Pokaza´c, · ze ci ¾ ag otrzymany tym sposobem jest zbie· zny.

2. Dla ustalonej liczby naturalnej n > 2 niech x

; x

; : : : ; x

b ¾ ed ¾ a kolejnymi ekstremami lokalnymi wielomianu

(x 1) (x 2) : : : (x n) [x (n + 1)] : Pokaza´c, · ze ci ¾ ag t

= x

k (1 6 k 6 n) jest rosn ¾ acy.

3. Szeregi X

a

; X

b

maj ¾ a dodatnie wyrazy oraz s ¾ a zbie· zne. Ponadto dla ka· zdej liczby naturalnej k zachodzi równo´s´c

X

(a

)

= X

(b

)

:

Pokaza´c, · ze ci ¾ ag (b

) jest permutacj ¾ a ci ¾ agu (a

) : (H) Pokaza´c, · ze fakt ten jest prawdziwy tak· ze dla szeregów zespolonych o niezerowych wyrazach.

4. Funkcje f; g s ¾ a rosn ¾ ace na przedziale [0; 1]: Ponadto, dla ka· zdej liczby naturalnej n spe÷ - niaj ¾ a warunek

Z

0

f

(x) dx = Z

0

g

(x) dx:

Pokaza´c, · ze f = g na [0; 1] poza zbiorem przeliczalnym.

5. Obliczy´c granic ¾ e

n!1

lim n

nsinusów

z }| {

sin sin : : : sin 1

n :

6. Pokaza´c, · ze szereg harmoniczny X

1

n mo· zna podzieli´c na niesko´nczon ¾ a liczb ¾ e roz÷¾ acznych szeregów:

a) zbie· znych; b) rozbie· znych.

7. Granic ¾ e

x!0+

lim [ctg (x

) ctg (x

) ctg (x

) ctg (x

)]

wyrazi´c w zale· zno´sci od n; m; p; q 2 N:

11

8. Pokaza´c, · ze dla ka· zdej funkcji f ci ¾ ag÷ ej i dodatniej na przedziale [0; 1] zachodzi równo´s´c

n!1

lim 2 4 Z

0

p

f (x) dx 3 5

n

= exp 2 4 Z

0

ln f (x) dx 3 5 :

9. Pokaza´c, · ze dla ustalonej liczby naturalnej n > 4 ci ¾ ag

x

= Z

0

h

(sin x)

+ (cos x)

i

dx 1 6 k 6 n + 1 2 jest malej ¾ acy.

10. Pokaza´c, · ze je· zeli w obszar ograniczony dodatnimi pó÷ osiami uk÷ adu wspó÷ rz ¾ ednych oraz hiperbol ¾ a xy = 1 wpiszemy dowolne przylegaj ¾ ace do siebie prostok ¾ aty tak, aby ich pod- stawy pokry÷ y o´s Ox; to ich ÷¾ aczne pole b ¾ edzie niesko´nczone.

xy=1

x y

11. Znale´z´c funkcj ¾ e elementarn ¾ a, której wykres przedstawiono poni· zej.

0 2 4 6

1 2

x y

12. Funkcja f : R

! R jest ci ¾ ag÷ a oraz spe÷ nia warunek ZZZ

B

f (x; y; z) dxdydz = 0;

gdzie B oznacza kul ¾ e jednostkow ¾ a o ´srodku w pocz ¾ atku uk÷ adu wspó÷ rz ¾ ednych. Pokaza´c, ze istnieje sze´scian V; dla którego zachodzi równo´s´c ·

ZZZ

V

f (x; y; z) dxdydz = 0:

13. Funkcje f (x) + f x

; f (x) + f x

s ¾ a ci ¾ ag÷ e na R: Czy st ¾ ad wynika, · ze funkcja f jest

ci ¾ ag÷ a?

Geometria

Cia÷ em wypuk÷ ym w R

nazywany zbiór zwarty i wypuk÷ y o niepustym wn ¾ etrzu. Mówimy, · ze cia÷ o wypuk÷ e jest g÷ adkie, gdy jego brzeg jest g÷ adki.

1. a) Pokaza´c, · ze dowolny wielo´scian wypuk÷ y w R

mo· zna podzieli´c p÷ aszczyzn ¾ a na dwa wielo´sciany o tych samych obj ¾ eto´sciach oraz o jednakowych sumach pól ´scian i sumach d÷ ugo´sci kraw¾ edzi.

b) Udowodni´c analogiczne twierdzenie o wielo´scianach wypuk÷ ych w R

:

2. (H) Niech C b ¾ edzie ´srodkiem masy jednorodnego cia÷ a wypuk÷ ego D na p÷ aszczy´znie.

Pokaza´c, · ze je· zeli dla ka· zdego r > 0 ´srodek masy przekroju D \ K(C; r); gdzie K(C; r) oznacza ko÷ o domkni ¾ ete o ´srodku C i promieniu r; pokrywa si ¾ e z C, to istnieje liczba naturalna n > 2 taka, i·z zbiór D po obrocie o k ¾ at 2

n wokó÷punktu C na÷ o· zy si ¾ e na siebie. Sformu÷ owa´c analogiczn ¾ a hipotez ¾ e dla cia÷wypuk÷ ych w R

:

C

D K(C,r)

3. a) Pokaza´c, · ze we wn ¾ etrzu dowolnego trójk ¾ ata istnieje punkt taki, i· z promienie kó÷

wpisanych w trójk ¾ aty powsta÷ e z jego po÷¾ aczenia z wierzcho÷ kami trójk ¾ ata, s ¾ a jednakowe.

b) Pokaza´c, · ze we wn ¾ etrzu dowolnego sympleksu w R

(n > 3) istnieje punkt taki, i· z promienie kul n-wymiarowych wpisanych w sympleksy powsta÷ e z po÷¾ aczenia tego punktu z wierzcho÷ kami sympleksu, s ¾ a jednakowe.

4. (H) Styczne poprowadzone do ko÷ a z dowolnego punktu zewn ¾ etrznego maj ¾ a jednakow ¾ a

d÷ ugo´s´c. Czy ta w÷ asno´s´c charakteryzuje ko÷ a w´sród g÷ adkich cia÷wypuk÷ ych na p÷ asz-

czy´znie?

13

5. a) Dwie proste w R

przecinaj ¾ a si ¾ e pod k ¾ atem 0 < 6 2 : Kul ¾ e przetaczamy przez proste w ten sposób, aby ca÷ y czas by÷ a styczna do ka· zdej z nich. Po jakiej krzywej porusza si ¾ e

´srodek kuli?

b) Dwa okr ¾ egi o promieniu 1 s ¾ a styczne i le· z ¾ a w jednej p÷ aszczy´znie. Kul ¾ e o promieniu r przetaczamy mi ¾ edzy okr ¾ egami w ten sposób, aby ca÷ y czas by÷ a styczna do ka· zdego z nich. Po jakiej krzywej porusza si ¾ e ´srodek kuli?

6. Dwa roz÷¾ aczne ko÷ a o ró· znych promieniach le· z ¾ a na p÷ aszczy´znie. Wyznaczy´c zbiór punk- tów p÷ aszczyzny, z których oba ko÷ a s ¾ a widoczne pod tym samym k ¾ atem.

P

7. W namiocie o wysoko´sci 1 pod÷ oga jest kwadratem o boku p

2: Dwie jednakowe rurki, które podtrzymuj ¾ a pow÷ ok¾ e namiotu, s ¾ a wygi ¾ ete w kszta÷ cie ÷ uku paraboli i zamocowane w przeciwleg÷ ych rogach pod÷ ogi oraz po÷¾ aczone pod k ¾ atem prostym w jego wierzcho÷ ku.

Obliczy´c pole ´scian bocznych namiotu.

8. Pokaza´c, · ze rzut ´srodka masy cia÷ a wypuk÷ ego w R

(rozumianego jako jednorodne cia÷ o

materialne) na pewn ¾ a p÷ aszczyzn ¾ e pokrywa si ¾ e ze ´srodkiem masy jego rzutu (traktowanego

jako p÷ askie jednorodne cia÷ o materialne) na t ¾ e p÷ aszczyzn ¾ e.

Matematyka dyskretna

1. W bryd· za graj ¾ a dwie pary N i S oraz E i W. Licytacj ¾ e rozpoczyna gracz N, a ko´ncz ¾ a j ¾ a trzy kolejne odzywki pas. Dopuszczalne s ¾ a tylko nast ¾ epuj ¾ ace odzywki (podajemy je w kolejno´sci rosn ¾ acej):

1 |; 1}; 1~; 1•; 2|; 2}; 2~; 2•; : : : ; 7|; 7}; 7~; 7•:

Ka· zd ¾ a odzywk¾ e inn ¾ a ni· z pas jeden z graczy drugiej pary mo· ze skontrowa´c. T ¾ e kontr ¾ e mo· ze z kolei rekontrowa´c dowolny gracz z pary zg÷ aszaj ¾ acej odzywk¾ e. Iloma sposobami mo· ze przebiega´c licytacja? Na ile sposobów mo· zna wylicytowa´c 7 bez atu z rekontr ¾ a?

2. Wspó÷ rz ¾ edne wszystkich wierzcho÷ ków wielok ¾ ata na p÷ aszczy´znie s ¾ a liczbami ca÷ kowitymi, a jego boki s ¾ a równoleg÷ e do jednej z prostych: x = 0, y = 0, y = x, y = x: Uto· zsamia- my wielok ¾ aty, które s ¾ a przystaj ¾ ace. Ile jest ró· znych rodzajów wielok ¾ atów:

a) wypuk÷ ych; b) niewypuk÷ ych, o polu n

2 (n 2 N)?

3. (N) Kwadratowe palety z towarem po÷ o· zono na placu w jednej warstwie tak, · ze utworzy÷ y prostok ¾ at o wymiarach m n (palety s ¾ a oznaczone liczbami od 1 do mn). Palet ¾ e mo· zna zabra´c z placu wózkiem wid÷ owym, gdy jest umieszczona na obwodzie albo, gdy mo· zna do niej dojecha´c korytarzem utworzonym z pozosta÷ ych palet. Na ile sposobów mo· zna wywie´z´c palety? Na rysunku ukazujemy przyk÷ adowe rozmieszczenie palet. Palety ozna- czone kolorem bia÷ ym mo· zna wywie´z´c z placu, a · zó÷ tym - nie.

4. (N) Wewn ¾ etrzne kraw¾ edzie prostopad÷ o´sciennej skrzyni maj ¾ a d÷ ugo´s´c p; q; r (p; q; r 2 N) :

Ile ró· znych prostopad÷ o´sciennych pude÷ ek o kraw¾ edziach naturalnych mo· zna umie´sci´c w

skrzyni? Za ka· zdym razem wk÷ adamy tylko jedno pude÷ ko, ale jego ´sciany nie musz ¾ a by´c

równoleg÷ e do ´scian skrzyni.

Mechanika

1. Jednorodna bry÷ a jest ograniczona paraboloid ¾ a z = a x

+ y

(a > 0) oraz p÷ aszczyzn ¾ a z = 1: Dla jakich warto´sci parametru a; bry÷ a ta dowolnie po÷ o· zona „na boku”, powróci do stanu z pionow ¾ a osi ¾ a symetrii, czyli b ¾ edzie „wa´nk ¾ a-wsta´nk ¾ a”?

2. Na poziomym stole le· z ¾ a dwie monety o promieniu R oraz moneta o promieniu r (r < R) : Monety s ¾ a parami styczne. Monet ¾ e o promieniu r wsuwamy mi ¾ edzy dwie pozosta÷ e (wzd÷ u· z osi symetrii uk÷ adu). Po jakich krzywych b ¾ ed ¾ a porusza´c si ¾ e ´srodki du· zych monet?

3. „P÷ aski zbiornik” zbudowany jest z trzech po÷¾ aczonych przegubowo niewa· zkich pr ¾ etów o d÷ ugo´sciach a; b; c: Ko´nce pr ¾ etów s ¾ a przymocowane przegubowo do poziomej prostej w odleg÷ o´sci l < a + b + c: Do zbiornika wlano „p÷ ask ¾ a wod ¾ e” o polu S: Okre´sli´c po÷ o· zenie pr ¾ etów.

S

l

a

b c

4. Wyznaczy´c si÷¾ e przyci ¾ agania grawitacyjnego jednorodnej kuli o masie M i promieniu R oraz jednorodnego niesko´nczonego pr ¾ eta o g ¾ esto´sci liniowej masy ; po÷ o· zonego w odleg-

÷ o´sci d > R od ´srodka kuli.

15

Multifunkcje

Na pocz ¾ atku rozdzia÷ u wprowadzimy podstawowe poj ¾ ecia teorii multifunkcji. Niech (V; ) b ¾ edzie przestrzeni ¾ a metryczn ¾ a. Przez clbd (V ) oznaczmy rodzin ¾ e wszystkich niepustych podzbiorów domkni ¾ etych i ograniczonych przestrzeni V; a przez comp (V ) - rodzin ¾ e niepustych podzbiorów zwartych tej przestrzeni. Dla pary A; B 2 clbd (V ) okre´slamy odleg÷o´s´c Hausdor¤a:

h (A; B) = max sup

x2A

inf

y2B

(x; y) ; sup

y2B

inf

x2A

(x; y) :

Niech U tak· ze b ¾ edzie przestrzeni ¾ a metryczn ¾ a. Multifunkcj ¾ a nazywamy przekszta÷ cenie F : U ! clbd (V ) ; a jej selekcj ¾ a - funkcj ¾ e f : U ! V; która spe÷nia warunek:

f (u) 2 F (u) dla u 2 U:

f(u) F(u)

Poniewa· z U i clbd (V ) s ¾ a przestrzeniami metrycznymi, wi ¾ ec mo· zna rozwa· za´c multifunkcje i selekcje ci ¾ ag÷ e.

Niech a > 0 oraz niech B

oznacza kul ¾ e jednostkow ¾ a w R

: Rozwa· zmy multifunkcj ¾ e F : ( a; a) B

! clbd (R

) : Zawieraniem ró· zniczkowym nazywamy relacj ¾ e postaci:

x 2 F (t; x):

Rozwi ¾ azaniem klasycznym tego zawierania z warunkiem x (0) = 0 nazywamy funkcj ¾ e x : ( ; ) ! R

(0 < 6 a) ; ró·zniczkowaln ¾ a w sposób ci ¾ ag÷ y, która spe÷ nia inkluzj ¾ e

x (t) 2 F (t; x (t)) dla t 2 ( ; ) oraz warunek x (0) = 0:

W przestrzeni topologicznej zbiorem I kategorii Baire’a nazywamy zbiór, który mo· zna przed- stawi´c, jako sum ¾ e przeliczalnej ilo´sci zbiorów nigdzie g ¾ estych, tj. zbiorów, których domkni ¾ ecia maj ¾ a puste wn ¾ etrza. Mówimy, · ze w÷ asno´s´c W jest typowa w przestrzeni metrycznej zupe÷ nej X; gdy zbiór

fx 2 X : W (x)g

jest rezydualny, tzn. jest dope÷ nieniem zbioru I kategorii Baire’a.

17

1. (H) Niech X; Y b ¾ ed ¾ a przestrzeniami metrycznymi oraz niech A b ¾ edzie podzbiorem zwartym X: Pokaza´c, · ze dowoln ¾ a multifunkcj ¾ e ci ¾ ag÷¾ a

F : A ! comp(Y );

mo· zna aproksymowa´c jednostajnie multifunkcjami ci ¾ ag÷ ymi, których warto´sci s ¾ a zbio- rami sko´nczonymi. Czy mo· zna zagwarantowa´c, aby warto´sci multifunkcji aproksymuj ¾ acej mia÷ y jednakowe liczby elementów?

2. (H) Niech C oznacza rodzin¾ e multifunkcji ci ¾ ag÷ ych F : [0; 1] ! comp(R

) (n > 2) z metryk ¾ a zbie· zno´sci jednostajnej. Pokaza´c, · ze posiadanie przez multifunkcj ¾ e selekcji ci ¾ ag÷ ej jest w÷ asno´sci ¾ a typow ¾ a

w rodzinie C; tzn. dowie´s´c, · ze rodzina S multifunkcji z C; które maj ¾ a selekcj ¾ e ci ¾ ag÷¾ a na [0; 1] ; jest zbiorem rezydualnym w C:

3. (H) Niech S

oznacza sfer ¾ e jednostkow ¾ a w przestrzeni R

: W rodzinie C multifunkcji ci ¾ ag÷ ych

F : S

! comp (R

);

z metryk ¾ a zbie· zno´sci jednostajnej, rozwa· zmy rodzin ¾ e B multifunkcji F , które spe÷niaj ¾ a uogólnione twierdzenia Borsuka-Ulama, tj. takich, · ze dla pewnego x 2 S

zachodzi warunek

F (x) \ F ( x) 6= ;:

Pokaza´c, · ze spe÷ nianie przez multifunkcj ¾ e twierdzenia Borsuka-Ulama jest w÷ asno´sci ¾ a ty- pow ¾ a w rodzinie C: Poda´c przyk÷ad multifunkcji ci ¾ ag÷ ej F : S

! comp (R

); która nie ma selekcji ci ¾ ag÷ ej, ale dla pewnego x 2 S

spe÷ nia warunek F (x) \ F ( x) 6= ;:

4. (H) Niech B

oznacza kul ¾ e jednostkow ¾ a w przestrzeni R

: W rodzinie C multifunkcji ci ¾ ag÷ ych

F : B

! comp (B

);

z metryk ¾ a zbie· zno´sci jednostajnej, rozwa· zmy rodzin ¾ e F multifunkcji F , które maj ¾ a w÷ as- no´s´c punktu sta÷ ego, tj. dla pewnego x 2 B

spe÷ niaj ¾ a warunek

x 2 F (x):

Pokaza´c, · ze posiadanie przez multifunkcj ¾ e ci ¾ ag÷¾ a punktu sta÷ ego jest w÷ asno´sci ¾ a typow ¾ a w rodzinie C: Poda´c przyk÷ad multifunkcji ci ¾ ag÷ ej F : B

! comp (B

); która nie ma selekcji ci ¾ ag÷ ej, ale dla pewnego x 2 B

spe÷ nia warunek x 2 F (x):

5. (H) Niech n b ¾ edzie liczba parzyst ¾ a. Czy zerowanie si ¾ e ci ¾ ag÷ ego multipola wektorowego na sferze S

, które jest styczne do sfery, jest w÷ asno´sci ¾ a typow ¾ a w rodzinie C wszystkich multipól ci ¾ ag÷ ych na sferze?

6. (H) W rodzinie C multifunkcji ci ¾ ag÷ ych

F : ( 1; 1) B

! comp (R

) (n > 2)

z metryk ¾ a zbie· zno´sci jednostajnej, zbada´c g ¾ esto´s´c i ustali´c kategori ¾ e Baire’a rodziny K multifunkcji ci ¾ ag÷ ych F; dla których zawieranie ró· zniczkowe

x 2 F (t; x) z warunkiem x(0) = 0 ma rozwi ¾ azanie klasyczne w pewnym otoczeniu punktu 0:

1W 1984 r. pokaza÷em, ·ze dla m; n > 1 posiadanie selekcji ci ¾ag÷ej jest w÷asno´sci ¾a wyj ¾atkow ¾a w rodzinie C multifunkcji ci ¾ag÷ych F : [0; 1]^m! comp (Rⁿ); tzn. rodzina S multifunkcji ci ¾ag÷ych, które maj ¾a selekcj ¾e ci ¾ag÷¾a, jest zbiorem brzegowym w C: Mo·zna pokaza´c, ·ze dla m 2 N oraz n = 1 zachodzi równo´s´c S = C:

Optymalizacja

1. (N) W ¾ a· z o d÷ ugo´sci L pe÷ znie po krzywej:

a) y = arcsin (sin x) ; b) y = sin x:

W jakim po÷ o· zeniu, odleg÷ o´s´c mi ¾ edzy g÷ ow ¾ a i ogonem w¾ e· za, b ¾ edzie:

i) najmniejsza; ii) najwi ¾ eksza?

x y

L

x

y

2. W´sród walców wpisanych w sze´scian, o osiach pokrywaj ¾ acych si ¾ e z jego przek ¾ atn ¾ a, znale´z´c ten, który ma najwi ¾ eksz ¾ a obj ¾ eto´s´c.

3. a) Niech a; b; c (n > 3) b¾ed ¾ a liczbami dodatnimi. Dla jakiej liczby dodatniej x; odpo- wiednio ukszta÷ towany czworok ¾ at o kolejnych bokach d÷ ugo´sci a; b; c; x ma najwi ¾ eksze pole?

x

a b

c

b) (N) Niech d

; d

; : : : ; d

(n > 3) b¾ed ¾ a liczbami dodatnimi. Dla jakiej liczby dodatniej x; odpowiednio ukszta÷ towany (n + 1)-k ¾ at o kolejnych bokach d÷ ugo´sci d

; d

; : : : ; d

, x;

ma najwi ¾ eksze pole?

4. a) Niewa· zkie naczynie w kszta÷ cie walca o ´srednicy podstawy d stoi na równi pochy÷ ej o k ¾ acie nachylenia : Ile najwi ¾ ecej wody mo· zna wla´c do niego, aby nie przewróci÷ o si ¾ e?

b) To samo naczynie nape÷ niono wod ¾ a do wysoko´sci h i postawiono na równi pochy÷ ej o

zmiennym k ¾ acie nachylenia. Dla jakiego najwi ¾ ekszego k ¾ ata x naczynie nie przewróci si ¾ e?

19

x

5. (N) W rodzinie cia÷wypuk÷ ych na p÷ aszczy´znie rozwa· zmy dwie metryki: miar ¾ e ró· znicy symetrycznej zbiorów oraz metryk¾ e Hausdor¤a. W obu metrykach znale´z´c ko÷ o, które najlepiej aproksymuje trójk ¾ at o bokach a; b; c: Czy ko÷ o jest wyznaczone jednoznacznie?

a

b c

6. a) (N) Jedne ko´nce dwóch pr ¾ etów o d÷ ugo´sciach a i b po÷¾ aczono przegubowo, a do pozos- ta÷ ych przymocowano gi ¾ etk ¾ a lin ¾ e o d÷ ugo´sci l (l > ja b j) : Jaki k ¾ at x nale· zy utworzy´c mi ¾ edzy pr ¾ etami i w jaki sposób uformowa´c lin ¾ e, aby pole obszaru ograniczonego nimi by÷ o najwi ¾ eksze?

a b

l

x

b) (N) Przez rurki o d÷ ugo´sciach a; b; c przeci ¾ agni ¾ eto lin ¾ e o d÷ ugo´sci l (l > a + b + c) i zwi ¾ azano j ¾ a za ko´nce. Jak nale· zy u÷ o· zy´c rurki na p÷ aszczy´znie oraz jak uformowa´c lin ¾ e, aby obszar ograniczony nimi by÷najwi ¾ ekszy? Za÷ o· zy´c, · ze istnieje trójk ¾ at o bokach a; b; c:

a

b c

c) (N) W wierzcho÷ kach trójk ¾ ata o bokach a; b; c zamocowano oczka, przez które przewlec- zono sznurek o d÷ ugo´sci l (l > a + b + c) : Jak nale· zy go uformowa´c, aby ogranicza÷na- jwi ¾ eksze pole?

a c b

Rachunek prawdopodobie´ nstwa

1. (N) Losowy zbiór Cantora. W chwili t = 0 z przedzia÷ u [0; 1] usuni ¾ eto odcinek o d÷ ugo´sci

1

3

: Wyboru odcinka dokonano losowo: z jednakowym prawdopodobie´nstwem mog÷ y to by´c lewy, prawy albo ´srodkowy. W kolejnych sekundach post ¾ epowanie jest powtarzane. Naj- pierw wybierany jest losowo przedzia÷spo´sród dotychczas otrzymanych (wybór odbywa si ¾ e z prawdopodobie´nstwami proporcjonalnymi do d÷ ugo´sci dotychczas utworzonych prze- dzia÷ ów), a nast ¾ epnie usuwamy losowy odcinek o d÷ ugo´sci równej

d÷ ugo´sci wybranego odcinka. Fragment ten jest odcinany z ko´nca albo ze ´srodka przedzia÷ u (z prawdopodo- bie´nstwami

).

a) Znale´z´c warto´s´c oczekiwan ¾ a liczby odcinków oraz warto´s´c oczekiwan ¾ a d÷ ugo´sci naj- d÷ u· zszego odcinka po n sekundach.

b) Wyznaczy´c warto´s´c oczekiwan ¾ a miary zbioru otrzymanego po niesko´nczonej liczbie losowa´n.

2. Na parkingu samochody s ¾ a ustawione w n rz ¾ edach po m pojazdów w ka· zdym. Kierowcy przychodz ¾ a losowo na parking i chc ¾ a wyjecha´c swoimi pojazdami. Samochód mo· ze opu´sci´c parking tylko wtedy, gdy we wszystkich poprzednich rz ¾ edach b ¾ edzie wolne przynajmniej jedno miejsce.

"

Obliczy´c prawdopodobie´nstwo, · ze wszyscy kierowcy opuszcz ¾ a parking bez czekania.

3. Widzowie przychodz ¾ a losowo do sali kinowej i zajmuj ¾ a swoje miejsca w ustalonym rz ¾ edzie.

Obliczy´c prawdopodobie´nstwo zdarzenia, · ze nikt nie b ¾ edzie musia÷prosi´c o przepuszczenie przez osoby, które usiad÷ y wcze´sniej. Za÷ o· zy´c, · ze rz ¾ ad ma n miejsc, które mo· zna zajmo- wa´c dochodz ¾ ac z obu stron. Ponadto przyj ¾ a´c, · ze je· zeli widz mo· ze zaj ¾ a´c swoje miejsce bez proszenia o przepuszczenie, to tak zrobi.

4. a) Zmienna losowa X ma rozk÷ ad jednostajny na przedziale [0; 1]. Pokaza´c, · ze zmien- na losowa Y (!) = 0; x

x

x

: : :, gdzie 0; x

x

x

: : : oznacza rozwini ¾ ecie dziesi ¾ etne liczby X(!) , ma tak· ze rozk÷ ad jednostajny na przedziale [0; 1]:

b) (N) Zmienna losowa T ma rozk÷ ad normalny N (0; 1): Czy zmienna losowa Z(!) =

: : : x

x

x

; y

y

y

: : : ; gdzie : : : x

x

x

; y

y

y

: : : oznacza rozwini ¾ ecie dziesi ¾ etne liczby

T (!); ma tak· ze rozk÷ ad normalny N (0; 1)?

Równania funkcyjne i ró· zniczkowe

1. (N) Statek S po przep÷ yni ¾ eciu r mil od portu P znajduje si ¾ e w odleg÷ o´sci:

a) f (r) = r

1 + r ; b) f (r) = r

1 + r

od prostoliniowego brzegu (o´s x). Znale´z´c równanie y = g (x) toru statku. Przyj ¾ a´c, · ze trajektoria statku jest wykresem funkcji klasy C

:

P

S

f(r) r

y=g(x)

x y

2. (H) Niech T oznacza rodzin¾ e niepustych i ograniczonych podzbiorów otwartych przes- trzeni R

; a (X) - miar ¾ e Lebesgue’a zbioru X 2 T : Czy ka· zda funkcja f : T ! R

; która dla dowolnych roz÷¾ acznych zbiorów X; Y 2 T spe÷nia warunek:

f (X [ Y ) = (X)

(X) + (Y ) f (X) + (Y )

(X) + (Y ) f (Y ) ;

ma posta´c f (X) = p + k r (X) ; gdzie r (X) oznacza ´srodek masy jednorodnego zbioru X; p jest pewnym wektorem z R

; a k - liczb ¾ a rzeczywist ¾ a?

3. Znale´z´c wszystkie wielomiany p; które dla ka· zdego x 2 R spe÷niaj ¾ a nierówno´s´c p x

6 [p (x)]

6 p x

:

Rozwi ¾ aza´c t ¾ e nierówno´s´c w klasie funkcji ci ¾ ag÷ ych na [1; 1):

4. Znale´z´c funkcje ci ¾ ag÷ e f : R

! R

; które zachowuj ¾ a iloczyn:

a) skalarny, tj. dla dowolnych x; y 2 R

spe÷ niaj ¾ a równo´s´c f (x) f (y) = x y;

b) wektorowy, tj. dla dowolnych x; y 2 R

spe÷ niaj ¾ a równo´s´c f (x) f (y) = x y;

c) mieszany, tj. dla dowolnych x; y; z 2 R

spe÷ niaj ¾ a równo´s´c [f (x) f (y)] f (z) = (x y) z:

21

Teoria liczb

W tym rozdziale p

oznacza k-t ¾ a liczb ¾ e pierwsz ¾ a, P - zbiór liczb pierwszych, a (n) - liczb ¾ e liczb pierwszych nie wi ¾ ekszych od n:

1. (H) Pokaza´c, · ze macierz kwadratowa dowolnie wype÷ niona nie powtarzaj ¾ acymi si ¾ e ele- mentami zbioru

f p p : p 2 Pg jest nieosobliwa.

2. Niech S

(k 2 N) b ¾ edzie wielomianem takim, · ze dla ka· zdej liczby naturalnej n mamy 1

+ 2

+ : : : + n

= S

(n) :

Znale´z´c wszystkie pary (k; l) (k < l) liczb naturalnych takie, · ze wielomian S

(x) jest podzielny przez wielomian S

(x) :

3. Pokaza´c, · ze 410 jest najwi ¾ eksz ¾ a liczb ¾ a naturaln ¾ a, przez któr ¾ a jest podzielny wyznacznik ka· zdego sudoku. Czy ka· zde sudoku jest macierz ¾ a nieosobliw ¾ a?

4. Dla liczby naturalnej n > 2 niech s

oznacza „´sredni ¾ a liczb ¾ e pierwsz ¾ a” spo´sród liczb pierwszych nie wi ¾ ekszych od n: Pokaza´c, · ze liczba s

jest asymptotycznie równa n

2 ; gdy n ! 1: Formalnie, niech

s

= p

+ p

+ : : : + p

(n) :

Wtedy

n!1

lim s

n = 1 2 :

5. Znale´z´c wszystkie pary (x; n) 2 Q f2; 3; 4; : : :g takie, · ze:

a) x

bx

c = 0:123456789; b) x

bx

c = 0:0123456789:

6. (H) Pokaza´c, · ze dla ka· zdej liczby naturalnej n zachodzi nierówno´s´c

( 1)

det 2 6 6 6 6 6 4

ln 2 ln 3 ln 4 : : : ln (1 + n) ln 3 ln 4 ln 5 : : : ln (2 + n) ln 4 ln 5 ln 6 : : : ln (3 + n)

.. . .. . .. . . .. .. .

ln (n + 1) ln (n + 2) ln (n + 3) : : : ln (n + n) 3 7 7 7 7 7 5

< 0:

Ponadto

n!1

lim det 2 6 6 6 6 6 4

ln 2 ln 3 ln 4 : : : ln (1 + n) ln 3 ln 4 ln 5 : : : ln (2 + n) ln 4 ln 5 ln 6 : : : ln (3 + n)

.. . .. . .. . . .. .. .

ln (n + 1) ln (n + 2) ln (n + 3) : : : ln (n + n) 3 7 7 7 7 7 5

= 0:

Zadania ró· zne

1. a) Pokaza´c, · ze · zadnego ÷ uku wykresu wielomianu stopnia co najmniej drugiego nie mo· zna przesun ¾ a´c o wektor tak, aby przystawa÷do innego ÷ uku wykresu.

x y

2. Czy ka· zda funkcja ci ¾ ag÷ a i rosn ¾ aca na R, która ma nast¾ epuj ¾ ac ¾ a w÷ asno´s´c: d÷ ugo´s´c frag- mentu wykresu po÷ o· zonego nad ka· zdym przedzia÷ em d÷ ugo´sci 1 jest taka sama, ma posta´c:

f (x) = bx + g (x bxc) + g (1) bxc ;

gdzie g jest pewn ¾ a funkcj ¾ a ci ¾ ag÷¾ a i rosn ¾ ac ¾ a na przedziale [0; 1], a b - pewn ¾ a nieujemn ¾ a sta÷¾ a?

x y

a a+1

y=f(x)

3. Pokaza´c, · ze krzywa jest zawarta w zbiorze D R

i wype÷ nia go g ¾ esto:

a) = sin t cos t

; cos t sin t

: t 2 R ; D = f(x; y) : jxj + jyj 6 1g ; b) = sin t sin t

; cos t sin t

: t 2 R ; D = f(x; y) : x

+ y

6 1g ; c) = sin t; cos t

: t 2 R ; D = f(x; y) : jxj 6 1; jyj 6 1g :

a) b) c)

23

Artyku÷ y i ksi ¾ a· zki o podobnej tematyce

1. Asuman G. Aksoy, Mohamed A. Khamsi, A Problem Book in Real Analysis, Series:

Problem Books in Mathematics, Springer, New York 2010.

2. Titu Andreescu, Dorin Andrica, Complex numbers from A to ... Z, Birkhäuser, Boston, 2006.

3. Titu Andreescu, Dorin Andrica, Number Theory. Structures, Examples and Prob- lems, Birkhäuser, Boston, 2009.

4. Titu Andreescu, Oleg Mushkarov, Luchezar Stoyanov, Geometric Problems on Max- ima and Minima, Birkhäuser, Boston, 2006.

5. Gerald L. Alexanderson, Leonard F. Klosinski, Loren C. Larson, The William Low- ell Putnam Competition. Problems and Solutions, 1965–1984, Mathematical Association of America, New York 1985.

6. Ed. by Vladimir I. Arnold, Arnold’s Problems, Springer, Berlin, Heidelberg, New York and PHASIS, Moscow 2005.

7. Vladimir I. Arnold, Matematiµceskij trivium - I, Usp. Mat. Nauk, Vol. 46, No 1 (1991), str. 225-232.

8. Vladimir I. Arnold, Matematiµceskij trivium - II, Usp. Mat. Nauk, Vol. 48, No 1 (1993), str. 211-222.

9. Józef Bana´s, Stanis÷ aw W ¾ edrychowicz, Zbiór zada´ n z analizy matematycznej, PWN, Warszawa 2012.

10. Piotr Biler, Alfred Witkowski, Problems in Mathematical Analysis, Series: Pure and Applied Mathematics, Vol. 132, Marcel Decker, New York 1990.

11. Piotr Biler, Tadeusz Nadzieja, Problems and Examples in Di¤erential Equations, Series: Pure and Applied Mathematics, Vol. 164, Marcel Decker, New York–Basel 1992.

12. Marcel Berger, P. Pansu, J. P. Berry, X. Saint-Raymond, Problems in Geometry, Series: Problem Books in Mathematics, Springer, New York 1984.

13. Béla Bollobás, The Art of Mathematics. Co¤ee Time in Memphis, Cambridge Uni- versity Press, Cambridge 2007.

14. Vladimir Boltyanski, Horst Martini, Petru S. So÷ tan, Excursions into Combinatorial Geometry, Springer, Berlin 1997.

15. Daniel D. Bonar, Michael J. Khoury, Real In…nite Series, Series: Classroom Resource

Materials, Mathematical Association of America, Washington 2006.

25

16. Peter Brass, William Moser, János Pach, Research Problems in Discrete Geometry, Springer, New York 2005.

17. Judita Cofman, Numbers and Sharpes - Revisited. More Problems for Young Mathematicians, Clarendon Press, Oxford 1995.

18. Judita Cofman, What to Solve?, Problems and Suggestions for Young Mathe- maticians, Oxford University Press, Oxford 1990.

19. Contests in Higher Mathematics 1949–1961. In Memoriam Miklos Schweitzer, Akademiai Kiado, Budapest 1968.

20. Hallard T. Croft, Keneth J. Falconer, Richard K. Guy, Unsolved Problems in Geom- etry, Series: Problem Books in Mathematics, Springer, New York 1991.

21. Artur Engel, Problem–Solving Strategies, Series: Problem Books in Mathematics, Springer, New York 1997.

22. Dušan Djuki´c, Vladimir Jankovi´c, Ivan Mati´c, Nikola Petrovi´c, The IMO Compendium.

A Collections of Problems Suggested for the International Mathematical Olym- piads: 1959-2004, Series: Problem Books in Mathematics, Springer, New York 2006.

23. B. P. Demidowicz, Zbiór zada´ n z analizy matematycznej, T. 1–3, Wydawnictwo

„Naukowa Ksi ¾ a· zka”, Lublin 1992–93.

24. A. A. Ya. Dorogovtsev, Analiza matematyczna. Zbiór zada´ n, Wydawnictwo „Szko÷ a Wy· zsza”, Moskwa 1987.

25. Ed. A. Ya. Dorogovtsev, Mathematics Today, No. 1- 6, Naukova Dumka, Kijev 1983-90.

26. Martin Ericson, Aha! Solutions, Spectrum, Mathematical Association of America, Washington 2009.

27. Dmitry Fomin, Alexey Kirichenko, Leningrad Mathematical Olympiad 1987-1991, MathPro Press, Westford 1994.

28. Bernard R. Gelbaum, Problems in Real and Complex Analysis, Series: Problem Books in Mathematics, Springer, New York 1992.

29. R¼ azvan Gelca, Titu Andreescu, Putnam and Beyond, Springer, New York 2007.

30. George T. Gilbert, Mark I. Krusemeyer, Loren C. Larson, The Wohascum County Problem Book, Mathematical Association of America, New York 1993.

31. Ed. Rick Gillman, A Frendly Mathematics Competions. 35 Years of Teamwork in Indiana, Mathematical Association of America, New York 2003.

32. Andrew M. Gleason, Robert. E. Greenwood, Leroy M. Kelly, The William Lowell Putnam Competition. Problems and Solutions, 1938–1964, Mathematical Asso- ciation of America, New York 1980.

33. Rados÷ aw Grzymkowski, Roman Witu÷ a, Metody rachunkowe w algebrze, cz. I,

Wydawnictwo Pracowni Komputerowej Jacka Skalmierskiego, Gliwice 2000.

26

34. Rados÷ aw Grzymkowski, Roman Witu÷ a, Wybrane zagadnienia z funkcji zespolonych i transformaty Laplace’a, Wydawnictwo Pracowni Komputerowej Jacka Skalmier- skiego, Gliwice 2001.

35. Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, Series: Problem Books in Mathematics, Springer, New York 1994.

36. Paul R. Halmos, Linear Algebra Problem Book, Dolciani Mathematical Expositions - No. 16, Mathematical Association of America, Washington 1995.

37. Paul R. Halmos, Problems for Mathematicians, Young and Old, Dolciani Mathe- matical Expositions - No. 12, Mathematical Association of America, Washington 1991.

38. G.H. Hardy, A Course of Pure Mathematics, Cambridge University Press, Cambridge 2005.

39. Jiµrí Herman, Radan Kuµcera, Jaromír Šimša, Equations and Inequalities. Elemen- tary Problems and Theorems in Algebra and Number Theory, Canadian Math- ematical Society, Springer, New York 2000.

40. Edyta Hetmaniok, Damian S÷ ota, Roman Witu÷ a, Twierdzenia o warto´sciach ´sred- nich, Wydawnictwo Politechniki ´Sl ¾ askiej, Gliwice 2012.

41. Wies÷ awa Kaczor, Maria Nowak, Zadania z analizy matematycznej, cz. I, Liczby rzeczywiste, ci ¾ agi i szeregi liczbowe, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2005.

42. Wies÷ awa Kaczor, Maria Nowak, Zadania z analizy matematycznej, cz. II, Funkcje jednej zmiennej - rachunek ró· zniczkowy, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2005.

43. Wies÷ awa Kaczor, Maria Nowak, Zadania z analizy matematycznej, cz. III, Ca÷ - kowanie, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006.

44. Kiran S. Kedlaya, Bjorn Poonen, Ravi Vakil, The William Lowell Putnam Compe- tition. Problems and Solutions, 1985–2000, Mathematical Association of America, New York 2002.

45. Victor Klee, Stan Wagon, Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory, Dolciani Mathematical Expositions - No. 11, Mathematical Association of America, Washington 1991.

46. Péter Komjáth, Vilimos Totik, Problems and Theorems in Classical Set Theory, Series: Problem Books in Mathematics, Springer, New York 2006.

47. Loren C. Larson, Problem–Solving Through Problems, Series: Problem Books in Mathematics, Springer, New York 1992.

48. Ed. Andy Liu and Bruce Shawyer, Problems from Murray Klamkin, Mathematical Association of America and Canadian Mathematical Society, Washington 2009.

49. Edward Lozansky, Cecil Rousseau, Winning Solutions, Series: Problem Books in Math- ematics, Springer, New York 1996.

50. B. M. Makarov, M. G. Goluzina, A. A. Lodkin, and A. N. Podkorytov, Selected Prob-

lems in Real Analysis, American Mathematical Society, New York, 1992

27

51. Ed. R. Daniel Mauldin, The Scottish Book, Birkhauser Verlag, Basylea, 1981.

52. R. Daniel Mauldin, Stanis÷ aw M. Ulam, Mathematical Problems and Games, Ad- vances in Applied Mathematics, Academic Press, New York, 1987.

53. Donald J. Newman, A Problem Seminar, Series: Problem Books in Mathematics, Springer, New York 1998.

54. Andrzej Nowicki, Podró· ze po imperium liczb, Cz. 1-15 , Olszty´nska Wy· zsza Szko÷ a Informatyki i Zarz ¾ adzania, Olsztyn i Toru´n 2008-2011.

55. Oprac. Edward Piegat, Zadania Hugona Steinhausa - znane i nieznane, O…cyna Wydawnicza GiS, Wroc÷ aw 2005.

56. George Polya, Gabor Szegö, Problems and Theorems in Analysis I, Integral Cal- culus. Theory of Functions, Series: Classics in Mathematics, Springer, New York 1998.

57. George Polya, Gabor Szegö, Problems and Theorems in Analysis. Volume II, Theory of Functions. Zeros. Polynomials. Determinants. Number Theory.

Geometry, Series: Classics in Mathematics, Springer, New York 1998.

58. Franciszek Prus-Wi´sniowski, Szeregi rzeczywiste, Wydawnictwo Uniwersytetu Szcze- ci´nskiego, Szczecin 2005.

59. Edmond Ramis, Claude Deschamps, Jacques Odoux, Analyse. Exercices avec solu- tions, Tome I, Masson, Paris 1984.

60. Edmond Ramis, Claude Deschamps, Jacques Odoux, Analyse. Exercices avec solu- tions, Tome II, Masson, Paris 1985.

61. Robert Siba, Patryk Miziu÷ a, Zbiór zada´ n z analizy i algebry, Wydawnictwo Naukowe Uniwesytetu Miko÷ aja Kopernika, Toru´n 2013.

62. Ed. by Stanley Rabinowitz, Index to Mathematical Problems 1980-1984, MathPro Press, Westford 1992.

63. Ed. by Stanley Rabinowitz and Mark Bowron, Index to Mathematical Problems 1975-1979, MathPro Press, Westford 1999.

64. Szymon Rabsztyn, Damian S÷ ota, Roman Witu÷ a, Funkcje gamma i beta, Tom I, Wydawnictwo Politechniki ´Sl ¾ askiej, Gliwice 2012.

65. Szymon Rabsztyn, Damian S÷ ota, Roman Witu÷ a, Funkcje gamma i beta, Tom II, Wydawnictwo Politechniki ´Sl ¾ askiej, Gliwice 2012.

66. Teodora-Liliana T. R¼ adulesku, Wincen¸tiu D. R¼ adulesku, Titu Andreescu, Problems in Real Analysis: Advanced Calculus on the Real Axis, Springer, New York 2009.

67. Zbigniew Romanowicz, Edward Piegat, 100 zada´ n z b÷ yskiem, Dolno´sl ¾ askie Wydawnictwo Edukacyjne, Wroc÷ aw 1996.

68. B. I. Ro· zkow, G. D. Kurdewanidze, N. G. Pan…ow, Zbiór zada´ n ze studenckich

olimpiad matematycznych, Wydawnictwo UDN, Moskwa 1987.

28

69. W. A. Sadowniczyj, A. S. Podkolzin, Zadania studenckich olimpiad matematycz- nych, Wydawnictwo „Nauka”, Moskwa 1978.

70. W. A. Sadowniczyj, A. A. Grigorian, S. B. Koniagin, Studenckie olimpiady matema- tyczne, Wydawnictwo Uniwersytetu Moskiewskiego, Moskwa 1987.

71. Wac÷ aw Sierpi´nski, 250 zada´n z elementarnej teorii liczb, Biblioteczka matema- tyczna, WSiP, Warszawa 1986.

72. Zbigniew Skoczylas, Category Theorem for Family of Continuous Multifunctions, Bull. Pol. Sci., Ser. Math. Vol. 84 (1985), pp.

73. Christopher G. Small, Functional Equations and How to Solve Them, Series: Prob- lem Books in Mathematics, Springer, New York 2007.

74. Florentyn Smarandache, De…nition, Solved and Unsolved Problems, Conjectures and Theorems in Number Theory and Geometry, Ed. By M.L. Perez, Xiquan Publishing House, 2000.

75. Florentin Smarandache, Only Problems, Not Solutions!, Xiquan Publishing House, Phoenix, Chicago 1993.

76. Alexander Soifer, The Colorado Mathematical Olympiad and Further Explo- rations. From the Mountains of Colorado to the Peaks of Mathematics, Springer, New York 2011.

77. Hugo Steinhaus, 100 zada´ n, Przedsi ¾ ebiorstwo Handlowo-Us÷ ugowe DPI, Warszawa 1993.

78. Paulo N. de Souza, Jorge-Nuno Silva, Berkeley Problems in Mathematics, Series:

Problem Books in Mathematics, Springer, New York 2004.

79. Ed. Gabor J. Szekely, Contests in Higher Mathematics. Miklos Schweitzer Com- petitions 1962–1991, Series: Problem Books in Mathematics, Springer, New York 1995.

80. The New Scottish Book (1946-1958), Wybór problemów: Hugo Steinhaus, Ed. Hen- ryk Fast, Stanis÷ aw ´Swierczkowski, Instytut Matematyczny Uniwersytetu Wroc÷ awskiego, Wroc÷ aw 1965.

81. The Otto Dunkel Memorial Problem Book, Mathematical Association of America, New York 1957.

82. G. A. Tonojan, W. N. Sergeev, Studenckie olimpiady matematyczne, Wydawnictwo Uniwersytetu w Erewaniu, Erewa´n 1985.

83. Charles Trigg, Mathematical Quickies, McGraw–Hill Book Company, New York–

London 1967.

84. Ed. Li Ta-Tsien, Problems and Solutions in Mathematics. Major American Universities Ph.D. Qualifying Questions nad Solutions, World Scienti…c, Singapur 1998.

85. Stanis÷ aw Marcin Ulam, A Collection of Mathematical Problems, Los Alamos Labo- latories, New Mexico 1969.

86. Ed. N. B. Wasiliev, Zadaµcnik "KBAHTA". Matematyka, cz. 1- 3, Biuro "Kwan-

tum", Moskwa 1997.

29

87. Roman Witu÷ a, Liczby zespolone, wielomiany oraz rozk÷ ady na u÷ amki proste, Tom 1. Podstawowe operacje na liczbach zespolonych, Wydawnictwo Politechniki

´Sl ¾ askiej, Gliwice 2010.

88. Roman Witu÷ a, Liczby zespolone, wielomiany oraz rozk÷ ady na u÷ amki proste, Tom 2. Równania, nierówno´sci oraz odwrotna transformata Laplace’a, Wy- dawnictwo Politechniki ´Sl ¾ askiej, Gliwice 2010.

89. Roman Witu÷ a, Liczby zespolone, wielomiany oraz rozk÷ ady na u÷ amki proste, Tom 3. Wybrane zagadnienia o wielomianach, Wydawnictwo Politechniki ´Sl ¾ askiej, Gliwice 2010.

90. Paul Zeitz, The Art and Craft of Problem Solving, John Wiley & Sons, Inc., Hobo- ken, 2007.

91. Fuzhen Zhang, Linear Algebra. Challenging Problems for Students, The John

Hopkins University Press, Baltimore and London 1996.

30