Elipsoida ziemska

Elipsoida ziemska

Justyna Chojnacka, Grzegorz Karwasz

=DNáDG'\GDNW\NL)L]\NL

8QLZHUV\WHW0LNRáDMD.RSHUQLNDZ7RUXQLX

$UW\NXá\SRSXODUQRQDXNRZHZW\PZUHQRPRZDQ\FKF]DVRSLVPDFK>@, okre- ĞODMąNV]WDáW=LHPLMDNRÄQLHUHJXODUQ\NDUWRIHO´7\PF]DVHPUyĪQLFHZ]JOĊGQH

PLĊG]\GRNáDGQ\PNV]WDáWHPDHOLSVRLGąVąU]ĊGX

^±5

promienia Ziemi, nato- PLDVWHOLSVRLGDOQHVSáDV]F]HQLHZ\QRVL7HVDPHSXEOLNDFMHQLHZ\MDĞQLa- Mą GODF]HJR HOLSVRLGD ]LHPVND PD WDNLH UR]PLDU\, D QLH LQQH 5R]ZDĪDQLD

o NV]WDáFLH =LHPL Vą GOD QDV SUHWHNVWHP GR SU]\SRPQLHQLD lub wprowadzenia ]DJDGQLHĔ ] elektrostatyki i JUDZLWDFML Z W\P SRMĊü WDNLFK MDN SRZLHU]FKQLD

ekwipote QFMDOQDLJUDGLHQWSRWHQFMDáX

&]ĊĞü,

-DNLHJRNV]WDáWXMHVWÄNXOD´]LHPVND"

-DNLHJRNV]WDáWXMHVW=LHPLD"2GSRZLHGĨ]QDMąZV]\VF\± RF]\ZLĞFLHNXOLVWHJR.

W zasadzie jest ona QLHFRVSáDV]F]RQDQDELHJXQDFKZVNXWHNUXFKXREURWRZe- go. :U]HF]\ZLVWRĞFL NV]WDáW=LHPLRGELHJDRGHOLSVRLG\LSU]\SRPLQDWDNLSo- JQLHFLRQ\NDUWRIHO>@NWyU\QD]\ZDP\JHRLGą.

Podobnie jak w wielu i QQ\FK SUREOHPDFK G\GDNW\F]Q\FK RGSRZLHGĨ jest QLHFRWDXWRORJLF]QDNV]WDáWNXOL]LHPVNLHMWRziemsko±kula, czyli geoida. Nadal nie ZLHP\LOHZ\QRVLVSáDV]F]HQLHGODF]HJRGRNáDGQLHW\OHQDLOHJHRLGDUyĪQL

VLĊ RG HOLSVRLG\ L MDNą UROĊ RGJU\ZDMą áDĔFXFK\ JyUVNLH L URZ\ RFHDQLF]QH

W istocie WRQDZHWQLH]QDP\]DVDG\MDNWDNąziemsko±NXOĊ Z\]QDF]\ü

3UREOHPQLHMHVWE\QDMPQLHM]JHRJUDILLDOH]IL]\NLLWRZFDOHQLHáDWZ\FR

PRĪQD ]DXZDĪ\ü ZHUWXMąF NVLąĪNL ] JHRGH]ML L ] JHRIL]\NL NWyUH WR WUDNWXMą

SUREOHP Z VSRVyE ODNRQLF]Q\ ± ÄNV]WDáW =LHPL WR SRZLHU]FKQLDMHGQDNRZHJR

SRWHQFMDáXVLá\FLĊĪNRĞFL´>@2W\PĪHSUREOHPQDOHĪ\GRQDXNĞFLVá\FKZLe- G]LDá MXĪ .RSHUQLN NWyU\ ]DVWDQDZLDá VLĊ GODF]HJR ZRGD QLH VSá\ZD ] kuli ]LHPVNLHM2GNXOLVWRĞFL=LHPLLSUREOHPXZyG]DF]\QDVLĊMHJRDe revolutio- nibus: Ä7DNĪHLZRG\PRUVNLHXNáDGDMąVLĊGRSRVWDFLNXOLVWHMRF]\PZLHG]ą

ĪHJODU]HGRVWU]HJDMąF]Z\VRNRĞFLPDV]WXOąGVWDá\NWyUHJR]SRNáDGXRNUĊWX

MHV]F]HQLHZLGDü>«@:\SDGDáRWHG\DE\PQLHME\áRZyGQLĪOąGXE\ZRGD

QLHSRFKáRQĊáDFDáHM]LHPLVNRURREDWHHOHPHQW\QDVNXWHNVZHMFLĊĪNRĞFLGąĪą

GRWHJRVDPHJRĞURGND>«@MDNROąGLZRGDZVSLHUDMąVLĊQDMHGQ\PĞURGNX

FLĊĪNRĞFL=LHPLNWyU\MHVW]DUD]HPĞURGNLHPMHMREMĊWRĞFL:RGD, EĊGąF OĪHMV]ą, Z\SHáQLD UR]SDGOLQ\ ]LHPVNLH L GODWHJR PDáR MHVW ZRG\ Z VWRVXQNX GR OąGX

FKRFLDĪPRĪHQDSRZLHU]FKQLZLĊFHMZLGDüZRG\´ [4].

FOTON 114, J esieti 2011 33

Fot. l. (Pozioma) powieruhnia morza jest prostopadla do murarskiego ,.pionu". Kulka

położona ną poziomej płaszczyżnie pozostaje w spoczynku. Pion wskazuje kierunek wy- padkowej siły grawitacji i odśrodkowej siły bezwładności. a pnionUca p:nvierzcJuUę sta-

łego potencjału grawitacyjnego (linia brzego- wa w tle to port w GdaJisku, a czamy Ie wy margines to pionowa futryna okna)

Podsumowuj ąc, Kopemik zagadnienie kulistości

Ziemi

łączy z problemem wody oblew<l]ącej lądy i ze środkiem ciężkości Ziemi. Intuicja. jak wykażemy

dalej, genialna!

Kłopoty z zegarem

Jak wiadomo, okres wal1adla fizycznego zależy od wartości przyspieszenia ziemskiego, dlatego teżprecyzja zegarów była kluczowa w pomiarach

g.

Już w średniowieczu budowano niezłe zegary. Takim jest zegar na Ratuszu w Pradze i taki Jest w Kościele Mańackim w Gdansku. W zegarach tych spada-

jące wolno ciężarki napędzały system kół zębatych

a

poprzez nie wskazówki,.

figurki, kalendarz i resztę mechanizmów. Oczywiście, taki zegar nie mógł być

idealt1ie dokladtly

Fot. 2. Zegftr astronomiczny z Pragi (141011490) i z Kościoła

Mariackiego w Gdal><ku (1470, Hans Diilu>ger). Zegary budo- wane przed odkryciem przez Galileusza izochronizmu waha- dla matematycznego dokładne

b,.O nie mogły. Zegar w Gdańsku

zreko1><1luowany dzięki długim

staraniom prof. fizyki Politech-

nil<i Gdańskiej Andrzeja lanu-

szajtisa

:NDWHGU]HZ3L]LH*DOLOHXV]OLF]\áZDKQLĊFLD]ZLVDMąFHJR]NRSXá\NDQGHOa- EUX7DNSRGREQRRGNU\áL]RFKURQL]PZDKDGáD'URJDGRGRNáDGQHJR]HJDUDE\áD

RWZDUWD/HF]QLHGRNRĔFD1DOHĪDáRMHV]F]HSRáąF]\üREDPHFKDQL]P\± FLĊĪDr- NyZLZDKDGáD3LHUZV]\]HJDUWHJRW\SX]EXGRZDOL$QJOLF\D)UDQFX]-5i- FKHUSRND]DáĪHVSyĨQLDVLĊRQQDUyZQLNXRPLQXW\QDGREĊ:WHQ

VSRVyEVWZLHUG]RQRGRĞZLDGF]DOQLHRLOHSU]\VSLHV]HQLH]Lemskie jest mniejsze QD UyZQLNX QLĪ QD ELHJXQLH 3U]\F]\Qą MHVW RF]\ZLĞFLH UXFK REURWRZ\ =LHPL

i ]ZLą]DQH] QLPSU]\VSLHV]HQLH2EOLF]HQLDMHGQDNQLHGRNRĔFDVLĊ]JDG]DMą

Poprawka do przyspieszenia ziemskiego z powodu ruchu obrotowego Ziemi wynosi 0,0337 m/s

²

. Tymczasem standardowe przyspieszenie ziemskie wynosi 9,7803 m/s

²

QDUyZQLNXL22 m/s

²

QDELHJXQLHFRGDMHZLĊNV]ąUyĪQLFĊQLĪ

poprawka ]ZLą]DQD ] VLáą RGĞURGNRZą EH]ZáDGQRĞFL =JRGQLH ] Z\WáXPDF]e- niem Europejskiej Agencji Kosmicznej ESA, mniejsze przyspieszenie grawita- F\MQHQDUyZQLNXZ\QLND]ZLĊNV]HMRGOHJáRĞFLSXQNWyZQDUyZQLNXRGĞURGND

=LHPLQLĪSXQNWyZQDELHJXQLH7RVWZLHUG]HQLHQLHZ\MDĞQLD jednak elipsoi- GDOQHJRNV]WDáWX=LHPL&RZLĊFHMJG\E\NOXF]GRZ\MDĞQLHQLDNV]WDáWX=LHPL

OHĪDáZUR]ZDĪDQLDFKRZLHONRĞFLwypadkowej VLá\ G]LDáDMąFHMZUyĪQ\FKSXQk- tach globu WRPRĪQDE\Z\ZQLRVNRZDüĪH]SRZRGXPQLHMV]HMVLá\wypadko- wej QDUyZQLNXQLĪQDELHJXQDFK=LHPLDSRZLQQDXOHFUR]SáDV]F]HQLXMDNJOLQD

QDV]\ENRZLUXMąF\PNROHJDUQFDUVNLP.OXF]HPGRUR]ZDĪDĔRNV]WDáFLH=Le- mi nie jest ZLĊF]DJDGQLHQLHUyZQRZDJLVLá

:UyüP\ QD FKZLOĊ GR pewnego znanego schematu. 3RQLĪHM LOXVWUDFMD ]a- PLHV]F]DQDZZLHOXSRGUĊF]QLNDFKIL]\NLLJHRJUDILL

Rys. 3. 5R]NáDGVLáQDREUDFDMąFHMVLĊ=LHPL:DUWRĞüVLáy grawitacji F na kulistej nieobracająG

FHM VLĊ =LHPL MHVW WDND VDPD QD UyZQLNX i na biegunach. Dodatkowo na masy poza biegunem G]LDáDVLáD RGĞURGNRZDEH]ZáDGQRĞFL XNáDGQLHLQHUFMDOQ\

1D SRZ\ĪV]\P U\VXQNX VLáD odĞURGNRZa EH]ZáDGQRĞFL F

o

jest wyolbrzy-

PLRQDDOHQLH]WHJRSRZRGXU\VXQHNMHVWEáĊGQ\2WyĪ]VXPRZDQLHZHNWRUo-

FOTON 114, -HVLHĔ^{2011 35}

ZHVLá\JUDZLWDFML F

G

LVLá\RGĞURGNRZHMEH]ZáDGQRĞFL F

o

GDMHVLáĊ Q NWyUD

na rys. 3 nie jest SURVWRSDGáDGRSRZLHU]FKQL=LHPL6LáD Q PDZLĊFVNáDGRZą

Z]GáXĪSRZLHU]FKQL=LHPL6NáDGRZDWDSRZRGRZDáDE\UXFKPDVZRG\ZNLe- UXQNXUyZQLND, IDOHNLORPHWURZHMZ\VRNRĞFL

0DP\WXV\WXDFMĊDQDORJLF]Qą]SUREOHPHPáDGXQNXHOHNWU\F]QHJRQDSo- ZLHU]FKQLSU]HZRGQLNDàDGXQHNQDSRZLHU]FKQLSU]HZRGQLND PRĪHVLĊVZo- ERGQLHSU]HPLHV]F]DüWDNDMHVWGHILQLFMDÄSU]HZRGQLND´2LOHUR]NáDGáDGXn- NXQDSRZLHU]FKQLSU]HZRGQLNDE\áE\WDNLĪHZ]GáXĪ powierzchni przewodni- ND LVWQLDáDE\ VNáDGRZD ZHNWRUD QDWĊĪHQLD SROD LQQ\PL VáRZ\ LVWQLDáDE\ VLáD

HOHNWU\F]QD Z]GáXĪ SRZLHU]FKQL, WR áDGXQHN HOHNWU\F]Q\ SU]HPLHV]F]DáE\ VLĊ

WDNGáXJRDĪQRZ\UR]NáDGáDGXQNX]QLZHORZDáE\WRSROH3ROHHOHNWU\F]QHQD

powierzchni SU]HZRGQLNDQLHPDZLĊFVNáDGRZHM styczQHM:áDĞFLZ\U\VXQHN

dla Äkuli´ ziemskiej to U\V.XOD]LHPVNDPXVLE\üVSáDV]F]RQD7\ONRZyw- czas wektor Q MHVWZNDĪG\PSXQNFLH=LHPLSURVWRSDGá\GRMHMSRZLHU]FKQL

0RĪQD Z\ND]DüĪHZyZF]DV=LHPLDMHVWHOLSVRLGą1DU\VGRNRQDOLĞP\WHJR

graficznie ± UR]FLąJDMąFNRáR]U\VZ poziomie.

Rys. 4. (OLSVRLGDREURWRZDMHVWÄLGHDOQą´SRZLHU]FKQLą=LHPL7\ONRZW\PSU]\SDGNXZHNWRU

VLá\ Q QLHPDVNáDGRZHMstycznej do powierzchni Ziemi

Jak ZLĊFZ\]QDF]\üWĊHOLSVRLGĊPHWRGąUR]ZDĪDĔIL]\F]Q\FK":UyüP\GR

HOHNWURVWDW\NL6WZLHUG]HQLHĪHUR]NáDGáDGXQNXQDSRZLHU]FKQLMHVWWDNLĪHQLH

Z\WZDU]D VNáDGRZHM styczQHM SROD PRĪQD Z\UD]Lü WHĪ Z LQQ\ VSRVyE So- wierzchnia SU]HZRGQLNDMHVWSRZLHU]FKQLąRVWDá\PSRWHQFMDOH elektrycznym.

.ROHMQHHWDS\ UR]XPRZDQLD Z\NUDF]DMą SR]D SURJUDP V]NRá\ ĞUHGQLHM FKRü

QLHSU]HNUDF]DMąXPLHMĊWQRĞFLZLHOXXF]QLyZ3U]\WRF]P\GREU]H]QDQHZ]o-

U\ QD HQHUJLĊ potencjaOQą E

^p

w polu grawitacyjnym (lub elektrostatycznym)

i QDZDUWRĞüVLá\JUDZLWDFML F SRFKRG]ąFHRG masy punktowej (lub áDGXQNX

punktowego).

E

_p

= ±GMm/r (1)

i

F = GMm/r

²

(2)

gdzie M MHVW PDVą FLDáD Z\WZDU]DMąFHJR SROH JUDZLWDF\MQH m PDVą FLDáD

umieszczonego w tym polu, G VWDáąJUDZLWDFML, a r ± RGOHJáRĞFLąRGĞURGNDFLDáD

Z\WZDU]DMąFHJRSROHJUDZLWDF\MQH

'ZDZ]RU\EDUG]RÄSRGREQH´.WR]QDUDFKXQHNUyĪQLF]NRZ\RGUD]XZLG]L

ĪHVLáDMHVWSRFKRGQąHQHUJLLpotencjalnej po zmiennej r (ze znakiem minus).

F = ±dE

^p

/dr (3)

5]HF]\ZLĞFLHSRFKRGQąIXQNFMLy = 1/x jest funkcja yƍ= ±1/x

²

=DXZDĪP\ĪH w UyZQDQLX(1) MHVW]QDNPLQXVSRSUDZHMVWURQLHHQHUJLDRGG]LDá\ZDQLDJUa- wi WDF\MQHJR GZyFK PDV MHVW ujemna ± PDV\ VLĊ SU]\FLąJDMą, F]\OL VLáD G]LDáD

w kierunku ±rHQHUJLDURĞQLHZNLHUXQNXr i (wynosi zero dla r = ’.

Mamy DUJXPHQWSU]HPDZLDMąF\]DW\P ĪHVLáDMHVWSRFKRGQąHQHUJLL potencjalnej SRSU]HVXQLĊFLXDQDWĊĪHQLHSRODSRFKRGQąSRWHQFMDáX-HVWQLm Z]yUQDSUDFĊW

W = Fs (4)

gdzie s MHVW SU]HVXQLĊFLHP :]yU WR RF]\ZLĞFLH EDUG]R EDUG]R XSURV]F]RQ\ &R

]URELüMHĞOLVLáDQLHMHVWVWDáD"7U]HEDZyZF]DVPQRĪ\üFKZLORZąVLáĊSU]H] frag- ment GURJL QD MDNLP VLáD MHVW Z PLDUĊ VWDáD ,QQ\PL VáRZ\ QDOHĪ\ FDáNRZDü VLáĊ

Z]GáXĪPDá\FKRGFLQNyZGURJLGs1LHFROHSV]\Z]yUQDSUDFĊPDZLĊFSRVWDü

W œF ds (5)

7HQQLHVSRGREDáE\VLĊLIL]\NRPLPDWHPDW\NRPDOHQDPWDNDSRVWDüZ\VWDUF]\

&DáNRZDQLHWRRSHUDFMDÄRGZURWQD´GRUyĪQLF]NRZDQLDF]\OL

F = dW/ds (6)

DSRQLHZDĪZ\NRQDQDSUDFDW R]QDF]DVWUDFRQąHQHUJLĊUyZQDQLDLVąUyw- QRZDĪQH

Aby ]UR]XPLHüGODF]HJR=LHPLDPDNV]WDáWHOLSVRLG\SRWU]HEQDMHV]F]HG\JUe- VMD ] NDUWRJUDILL: NWyU\P NLHUXQNX Sá\Qą VWUXPLHQLH Z JyUDFK" 2F]\ZLĞFLH

w Gyáto znaczy ZSRSU]HNSURVWRSDGOHGRSR]LRPLF&RZLĊFHMVWUXPLHQLH

Sá\Qą WDP JG]LH SR]LRPLFH Vą XáRĪRQH QDMJĊĞFLHM ]RE rys. 5. 5]HNL Sá\Qą

w kierunku JG]LHMHVWQDMZLĊNV]\VSDGHNWHUHQX

FOTON 114, J esieti 2011

Dumy 948 •

(

37

Rys. 5 Aby się w gótaclt nie zmę­

cz>", należy cbodzić wzdłuż pozio- mic. Wzdłuż poziomic nie wznosi- my się ani w górę ani w

dóL

nie zmienia się więc nasza en~Tgia po- teucjalna. Rzeki natomiast płyną

w kierunku największego spadku -

prosłof"dle do poziomic i 111m gdzie

są one najgęS<:ieJ ułożone (Courtesy:

Wyd. Witaliskil

Możemy podsumować

nasze dotychc

zasowe rozwazani

a.

Między silą

a

energią (łub analog~cznie: między natężeniem poła

a

potencjałem)

zachodzi

następujący związek:

natężenie poła (dl

a pola

grawit

acyjnego

nazywane też

przyspieszenie m grawit acyj nym) jest prostopadle do

powierzchni ekwip

otencjalnych i jest

zawsze zwrócone w stronę mai

ej

ącego po

ten ej alu.

Przepiękny wzór znajdziemy np. ^\V WJ'kladach R. Feytunana: natężenie pola E jest gradientem potencjału f' (ze z.nalciem minus: natężenie pola ma kierunek .spadku. po- tencj al u)

E=-gradV=-VV

(7)

gdzie pog:JUbione E i pogrubiony operator na\~ b. przypominają. że zamieniamy pole skalarne (czyli potencja!) na pole wektorO\ve (czyli natężenie pola).

W

pokoju

powierzchnią

stalego

potencjału grawitacyjnego (powierzchnią ekwipotencjalną)

jest p oziomo ustawiony

stół. Kropla

wody p ozostaje na nim w równow

adze, nie spływa.

Aby

więc po "kuli

ziemskiej" nie

przelewały się

kilom etrowe

fale,

jej

po-

wierzchnia musi

być powierzchnią stałego potencjału

grawit acyjnego. Rozu-

miemy więc rys.

4 w nowy sposó

b: el

ipsoida jest

powierzchnią ekwipotencjalną

wypadkowego pola

siły

grawitacji i

sily odśrodkowej bezwładności.

Jak

wyglą­

da powierzchnia

ekwipotencj alna w

wirującym

akwarium z

wodą znajdującym się

w

stałym,

pi onowym p olu

grawitacyjnym pokazuj

e fot. 6.

Fot. 6. Na cząstki zttajdujące się no po-

wierzcłuU swobodnej w wilującym akwarium

działa sila grawitacji i sila odśrodkowa bez-

wladt\Ości. Powierzchnia wody, w ptofilu parabolo, jest w .kożdym punkcie ptasiopadła

do wypadkowej tych dwóch sil. Powierzchnia wodyjest powierzchnią ekwipotencjalną

Jakie rozmiary ma elipsoida będąca powierzchnią ekwipotencjalną na wiru-

jącej kuli o rozmiarach i masie Ziemi wyliczymy w drug~ej części artykułu.

L ite1-:. tur:l

[l) Dovide Castelvecchi. The Geoid: Why a map oj Emth~ g~·avit_r yields a potato- shaped planet, Scientific American, 01.04.2011 http://blogs.s<ientificamericon.com/

observations/20 l l /04/0 l /!he-geoid-why-o-m a p-o f-earths-gravity-yields-a-potato- 'J>apecl-planet/

[2) W. Niedzicki, Geoida, Ambemet, http:/Avww.ambemet.pl/Filmy.php#Geoida, zob. też: http://dydaktyko.fizyka.wnk.pl/Physics_is_ftulimovies/geoidal .mpg [3) R. Dmowska, Fi=yka skorupy i wnęn·=a Ziemi, w: EncJ>Idopedia Fi=yiO Wspól-

c=esnej, PWN, Warszowal973, s.8!:5

[4] M. Kopernik,

O obrotach cial niebieskich.

t ltun. L.A. Birkemn ajer, Wydawnictwo

ZakładNarodowy \m. Ossalit\skich, Wrocław 2004, Księga pierwsza, s. 3:5-40

Część

II

Elipsoida ziemska

Na rozważaniach o powierzchniach ekwipotenqalnych i gradientach pola gra- witacyjnego problemy z powierzchnią Ziemi dopiero się zaczynają. Potrafimy

obliczyć powierzchnie ekwipotencjalne dla ładunku Oub masy) punktowej lub masy kulistej: są to po prostru powierzchnie sferyczne. Aj

ak

jest w przypadku elipsoidy? Dokładne rozwiązanie wymaga złożonych metod matematycznych, ale daje się modelowo uprościć.

Czymjest elipsoida? Widziana z bieguna jest to kula o promieniu bieguno- wym,.,, z dodatkową masą skupioną głównie w strefie równikowej (rys. 1).

FOTON 114, J esieti 2011 39

Rys. l. Elipsoidę, w dużym przybliżeniu, ale akceptow•lnym dla obliczenia polencjalu, możemy uważać za kulę o promieniu biegunowym r11 z dodatkową masą w postaci pierścienia dookoła

równika

Potenqał jest wielkością addytywną, możemy więc potencjał grawitacyjny na biegunie obliczyć jako sumę potencjału pochodzącego od kuli o promieniu r0

i potencjału piedcienia o masie wynikającej z różnicy mas elipsoidy i kuli o protmemu

r,.

Z danych geograficznych znanty pr01meń biegunowy ¹ równikowy Zietm (ten ostatni większy o 21 km) oraz średnią gęstość Ziemi' - 5, 515 g/cnl (taką

gęstosć, pośrednią między gęstością żelaza a gęstością granitu, ma na przykład minerał piryt FeSl)· W obliczeniach przyjmiemy 5-6

cyfr

znaczących. z przy- czyn, które będąjasne na koricu artykułu). Oto dane wyjściowe:

rr =

6,378245 · 10⁶m -promiet1 równikowy Ziemi,

r, =

6, 356752 · 10⁶m- p:romiet1 biegunowy Ziemi,

Pz

= 5, 515 ·l 0³

k~ - średnia gę stość

^Ziemi,

m

Mz=

5,9741 · 10²' - masa Zietni (dla sprawdzenia

poprawno ści

rachunków),

ml . -·

G= 6,67428-10-¹¹- -l -stała grawttaqt.

kg·s

l. Potencjał grawitacyjny dwóch kul o promieniach równych pronuentowt biegunowemu albo równikowemu, odpowiednio,

ro

albo r •.

'Nie znamy dokładnych gęstosc1 zewnętrznych W!llSłw Zienu (na pewi\D Więcej niż 3 g/cm').

W zerowym przybliżeni\1 przyjmujemy S.ednią gęstośc Ziemi (5,5 g/cm'>. co daje poprawkę nieco za dużą-Dopiero przyjęcie .mniejszej gęstośd zewnętrznych wustw Ziemi, mniej więcej

jak prawdopodobna gęstośc płaszcza (3,3-3,6 g/cm') pop••wia zgod!10ść obliczonej powierzcllni ekwipotencjalnej z rzeczywi<tymi rozmiaruui elipsoidy ziemskiej.

D3RWHQFMDáJUDZLWDF\MQ\NXOLRSURPLHQLXUyZQ\Pr

^b

:

Z b

b

V G M r

 ˜ (1)

0DVĊ =LHPL Z\]QDF]DP\ SU]HNV]WDáFDMąF Z]yU

Z ^Z Z Z

. M

M V

U V Ÿ U ˜

W miejsce V podstawiamy 4 ʌ

³

3

^b

V r REMĊWRĞüNXOLVWąGRWU]\PXMHP\ĪH

4 ʌ

3

Z Z

3

b

M U ˜ r

LSRU]ąGNXMąFZ]yUGRVWDMHP\ĪH

4 ʌ

2

b

3

Z b

V  G ˜ U ˜ ˜ . r (2)

-HVWWRZDĪQ\Z\QLNLPZLĊNV]\SURPLHĔNXOLW\PSU]\WHMVDPHMJĊVWRĞFL ZLĊNV]\SRWHQFMDáQDjej powierzchni FKRG]LRZDUWRĞüEH]Z]JOĊGQą.

3RGVWDZLDMąF RGSRZLHGQLH GDQH OLF]ERZH RWU]\PXMHP\ ZDUWRĞü SRWHQFMDáX

JUDZLWDF\MQHJRNXOLRSURPLHQLXUyZQ\PSURPLHQLRZLELHJXQRZHPX=LHPL

7 2 2

6, 22715 10 m

b

s

V  ˜ .

E3RWHQFMDáJUDZLWDF\MQ\NXOLRSURPLHQLXUyZQ\P r

^r

:

.RU]\VWDMąF ]H Z]RUX 2 QD SRWHQFMDá JUDZLWDF\MQ\ ]DVWĊSXMąF Z QLP r

^b

promieniem UyZQLNRZ\P r

^r

, D WDNĪH SRGVWDZLDMąF SR]RVWDáH GDQH OLF]ERwe RWU]\PXMHP\ZDUWRĞü SRWHQFMDáXGODNXOLRSURPLHQLXr

^r

:

7 2 2

6, 26933 10 m

r

s

V  ˜ .

3RWHQFMDáQDUyZQLNXZW\PRV]DFRZDQLXE\áE\ZLĊNV]\ (w liczbach bez- Z]JOĊGQ\FKQLĪQDELHJXQLH$OHSRZROL

2. :NáDGSRWHQFMDáXVLá\odĞURGNRZHMEH]ZáDGQRĞFLGRSRWHQFMDáXJUDZLWDF\j- nego Ziemi.

3U]HPLHV]F]DMąF VLĊ Z]GáXĪ SURPLHQLD QD ZLUXMąFHM WDUF]\ OXE NXOL prze- ]Z\FLĊĪ\üPXVLP\VLáĊRGĞURGNRZąRLOHSRUXV]DP\VLĊZNLHUXQNX centrum).

3U]HPLHV]F]DMąFVLĊZLĊFZ\NRQXMHP\SUDFĊ: przypadku pola grawitacyjne- JR]Z\NRQDQąSUDFąF]\OL]H]PLDQąHQHUJLLSRWHQFMDOQHM NRMDU]\P\SRWHQFMDá

JUDZLWDF\MQ\ 3U]H] DQDORJLĊ VLOH RGĞURGNRZHM SU]\SLVDü PRĪHP\ VWRVRZQ\

SRWHQFMDáNWyU\XPRZQLHQD]ZLHP\ SRWHQFMDáHPVLá\RGĞURGNRZHMSRMDZLDVLĊ

RQQSZWHRULL]GHU]HĔ %H]WHJRSRWHQFMDáXZ\OLF]RQDSRZLHU]FKQLDHOLSVRLG\

FOTON 114, -HVLHĔ^{2011 41}

nie XZ]JOĊGQLDáDb\ HIHNWyZ ]ZLą]DQ\FK ] REURWHP =LHPL $E\ Z\]QDF]\ü

SRWHQFMDáVLá\RGĞURGNRZHMVNRU]\VWDP\]HZ]RUX]F]ĊĞFL,DUW\NXáX

Przyspieszenie od ĞURGNRZHVLá\EH]ZáDGQRĞFLPDZDUWRĞü

a = Ȧ

²

R, (3)

gdzie 2ʌ

Z T MHVWSUĊGNRĞFLąNąWRZą, a R MHVWRGOHJáRĞFLąRGRVLREURWX

3RWHQFMDáVLá\odĞURGNRZHM

¹

Z\QRVLZLĊF

2 2

1

o

2

V  Z R (4)

WDN DE\ SRFKRGQD SRWHQFMDáX SR ]PLHQQHM R Z]LĊWD ]H ]QDNLHP PLQXV E\áD

UyZQDprzyspieszeniu RGĞURGNRZHPXa.

Dla Ziemi T = 23 h 56 min (nie 24 KVWąG 7, 28877 10

⁵

rad Z ˜

^

s .

3RGVWDZLDMąF GR Z]RUX QD V

o

SR]RVWDáH GDQH OLF]ERZH GRVWDMHP\ ZDUWRĞü SRWHQFMDáu VLá\ odĞURGNRZHM NWyUa ZSá\ZD QD NRĔFRZą ZDUWRĞü SRWHQFMDáX

grawitacyjnego:

6 2 2

0,10806 10 m

o

s

V  ˜ .

 3R]RVWDMą GR SROLF]HQLD SRSUDZNL HOLSVRLGDOQH 3RWHQFMDá SRFKRG]ąF\ RG

SLHUĞFLHQLDQLHMHVWWUXGQ\GRSROLF]HQLD:V]\VWNLHHOHPHQW\PDV\SLHUĞFLe- nia UyZQLNRZHJR ]QDMGXMą VLĊ Z WHM VDPHM RGOHJáRĞFL RG ELHJXQD UyZQHM

2 2

,

b r

r  r Z]yUSU]\MPXMHZLĊFSRVWDü

a) 3RSUDZNDHOLSVRLGDOQDQDELHJXQLHGRSRWHQFMDáXGODNXOLRSURPLHQLXr

b

) wynosi

1

2 2 2

( )

P pb

r b

V G M

r r  ˜

 (5)

gdzie:

V

pb

± SRWHQFMDáSLHUĞFLHQLDSRZVWDáHJRZRNyáNXOLRSURPLHQLXr

b

, M

P

± PDVDSLHUĞFLHQLD

0DVĊ SLHUĞFLHQLD REOLF]\P\ RGHMPXMąF RG PDV\ =LHPL ± elipsoid\ PDVĊ

Ziemi ± kuli o promieniu UyZQ\P SURPLHQLRZL ELHJXQRZHPX 6WąG

18ZDĪQ\F]\WHOQLN]DXZDĪ\ĪHREOLF]DQ\SRWHQFMDáÄVLá\GRĞURGNRZHM´SU]HPQRĪRQ\SU]H]

PDVĊSRUXV]DMąFHJRVLĊFLDáDMHVWFRGRZDUWRĞFLEH]Z]JOĊGQHMUyZQRZDĪQ\HQHUJii kinetycznej WHJRFLDáDòmX².

4

2

4

3

Mp = Pz ·

3 ^{n · r, -13 - Pz · }mb}

^Po podstawieniu

dattych

liczbowych

»Jb.$tt Z'UIIti-~Jip:wida masa Zinó-kN.li

otrzymujemy

M p = 4. 017678 ·I0

¹¹

kg, czyli

mme.J niż l% m

asy

całej

Ziemt.

Podstawiając masę pierścienia do wzom (

5) wyznaczamy

wattość

po

prawki do p

o ten ej al u

- - ? . 6ml

v,. -

^0,

^-9778

^lO

_s

^{l .}

UwzględniaJąc tę elipsoirdalną poprawkę

otrzymujemy

wartość potencjału

Ziemi na biegunie:

7 6 1 m¹

V..r =

-6, 22715· lO -

O

, 29778-10

=

-6,35693-10 -₁-

~~

' ... s

b)

Poten.:jał

piedcienia (poprawka elipsoidalna na

brakujące' czasze biegu- nowe, zob. tys. 2) dla kuli o promieniu

r,:

R:f.'. 2 Elipsoida widziana z równika, to kula o pro- mieniu tównikowym r, od której odjęto dwie czapy nad biegunami. Brakujące czapy zastępujemy w obli- czemach równoważnymi ,y·eumymi masami umiesz- czonymi na biegunach

·Stosujemy takie prz)bliżenie p=z aualogię z elekhostatyi<ą.leśli jakieś cia!o jest w swej obję­

łoSet Jedoorodtue naładowane elekh)<znie, a pewlUI jego część jest elekh)<zrue obojębut, to może­

my oblicZ)'Ó potencjał wywołany takim ładunkiem przyjmując, że całe cia!o jest naładowane, po czym odjąć prz)"zyoek od części nienaładowanej zakladając, Z. dodatkowo ta część jest naładowa­

na przeciwnie. Brakująca masa na ·czaszach biegunoW)"h elipsoidy. w potóMUUliu do kuli o pto- tnieniu tóWllikowym (czyli większym niż biegunowy) to jakby "ujemna" masa !)"h czasz.

FOTON 114, -HVLHĔ^{2011 43}

1

2 2 2

( )

p p r

r b

V G M r  r

0DVĊ tego

^*

SLHUĞFLHQLD REOLF]DP\ RGHMPXMąF RG PDV\ NXOL R SURPLHQLX r

r

PDVĊ=LHPL ± elipsoidy: 4 ʌ 

^{3 2}

   NJ

²²

p

3

Z r r b

M ˜ U r  r r ˜ Zauwa Ī

P\ĪHPDVDczasz biegunowych MHVWGZDUD]\PQLHMV]DQLĪSLHUĞFLHQLDUyZQi- kowego.

2EOLF]DMąFSRWHQFMDáUyZQRZDĪQHJRSLHUĞFLHQLDRWU]\PXMHP\SRSUDZNĊ

6 2 2

0,14965 10 m .

p r

s

V  ˜

Znak Ä´ R]QDF]DĪHSRSUDZNĊRGMĊOLĞP\ RGSRWHQFMDáXNXOLRSURPLHQLXr

^r

± w analogii ]SRWHQFMDáHPelektrostatycznym EUDNXMąFąPDVĊQDczaszach bie- gunowych WUDNWXMHP\ MDN áDGXQHN HOHNWU\F]Q\ SU]HFLZQHJR ]QDNX 3RWHQFMDá

grawitacyjny V

r,g

QLHXZ]JOĊGQLDMąF\SRWHQFMDáXRGĞURGNRZHJRZ\QRVLZLĊF

QDUyZQLNX

7 7 7 2

, 2

6, 269332 10 0,014965 10 6, 254367 10 m s

r pr

r g

V V

V  ˜  ˜  ˜

8Z]JOĊGQLDMąF dodatkowo SRWHQFMDá RGĞURGNRZ\ GRVWDMHP\ ĪH FDáNRZLW\

SRWHQFMDáJUDZLWDF\MQ\V

^r

SXQNWyZQDSRZLHU]FKQLZiemi±elipsoidy wynosi na UyZQLNX

,

7 7 7 2

2

6, 254367 10 0,010806 10 6, 26517 10 m s

r g o

r

V V

V  ˜  ˜  ˜ .

3RWHQFMDá JUDZLWDF\MQ\ QD ELHJXQLH L QD UyZQLNX Vą w takim oszacowaniu UyZQH]GRNáDGQRĞFLąGR3RZLHU]FKQLDZLUXMąFHMLVSáDV]F]RQHMQDELe- JXQDFK=LHPLMHVWZLĊFSRZLHU]FKQLąHNZLSRWHQFMDOQą

0RĪQD SRWHQFMDá\QDUyZQLNXLELHJXQLHRV]DFRZDüGRNáDGQLHMDOHQDOHĪa- áRE\WHJRGRNRQDüQLH]DSRPRFą]JUXEQ\FKSU]\EOLĪHĔDOH NRU]\VWDMąF]Pe- WRGUDFKXQNXFDáNRZHJRDSRQDGWRWU]HED]QDü]ZLĊNV]ąGRNáDGQRĞFLąJĊVWRĞü

UyĪQ\FKZDUVWZ=LHPL

2EOLF]RQHZDUWRĞFLSRWHQFMDáyZV

b

, V

r,g

oraz V

o

LGRĞZLDGF]DOQHZDUWRĞFLr

r

i r

b

SRSU]H]F\WRZDQ\MXĪNLONDNURWQLHZ]yUSR]ZDODMąZSURVW\VSRVyE

²

*-HVWWRLQQ\SLHUĞFLHĔQLĪRPDZLDQ\ZF]HĞQLHMQDVWHn MHVWÄELHJXQRZ\´

2=RJyOQHJRZ]RUXLZ]RUyZQDSRWHQFMDá\JUDZLWDF\MQ\LRGĞURGNRZ\GHGXNXMHP\ĪH

ab =Vb/rb, a ar = Vr,g/rr+2Vo/rrQDELHJXQLHLUyZQLNXRGSRZLHGQLR

REOLF]\üSU]\VSLHV]HQLH]LHPVNLHQDUyZQLNXLELHJXQLH:DUWRĞFLWDNREOLF]RQH

Z\QRV]ąPV

²

i 9,843 m/s

²

RGSRZLHGQLRZQLH]áHM]JRGQRĞFL]ZDUWo- ĞFLDPLGRĞZLDGF]DOQ\PLF\WRZDQ\PLQDSRF]ąWNXDUW\NXáX

3RGVXPRZXMąFLGHDOQ\NV]WDáW=LHPLRGELHJDRGU]HF]\ZLVWHJRXNV]WDáWRZa- nia  ,GHDOQD SRZLHU]FKQLD=LHPL WR WDNDMDNą SU]\EUDáRE\ PRU]H FDáNRZLFLHMą REOHZDMąFH± SRZLHU]FKQLDPRU]DMHVWZNDĪG\PSXQNFLHHNZLSRWHQFMDOQDÄSo- ]LRPD´DLQQ\PLVáRZ\SURVWRSDGáDGRsumy VLá\JUDZLWDFML LRGĞURGNRZHMVLá\

EH]ZáDGQRĞFLĝURGHN=LHPLWRQLHMHMĞURGHNJHRPHWU\F]Q\DOHSXQNWGRNWyUe- JR]ELHJDMąVLĊZV]\VWNLHÄSLRQ\´PXUDUVNLH]DZLHV]RQHZUyĪQ\FKPLHMVFDFKQD

powierzchni Zie PL-DNSLVDá.RSHUQLN± MHVWWRĞURGHNFLĊĪNRĞFL=LHPL

Przyspieszenie grawitacyjne WRSRFKRGQDSRWHQFMDáXZ]GáXĪSURPLHQLD ± je- ĞOL ZLĊF SRZLHU]FKQLD HNZLSRWHQFMDOQD SU]HELHJD GDOHM RG ÄĞURGND´ =LHPL WR

przyspieszenie grawitacyjne jest tam mniejsze, jak WRPD PLHMVFHQDUyZQLNX

Przedstawione obliczenie poprawki do powierzchni ekwipotencjalnej wynikają

FHM]UXFKXREURWRZHJR=LHPLLMHMVSáDV]F]HQLDMHVWG\GDNW\F]QLHLQVSLUXMąFH

FKRüSRGUĊF]QLNLWHJRWHPDWXXQLNDMą

Dodatkowe, lokalne poprawki dla ustalenia referencyjnego, grawitacyjnego NV]WDáWX=LHPLF]\OLNV]WDáWX geoidyZ\QLNDMą]ORNDOQ\FKUyĪQLFZJĊVWRĞFL

SáDV]F]D:LĊNV]DJĊVWRĞüVNDáGDMHZLĊNV]ąEH]Z]JOĊGQą ZDUWRĞüSRWHQFMDáXQD

powierzchni. Z kolei, p RQDGSRZLHU]FKQLą=LHPLZDUWRĞü EH]Z]JOĊGQDSRWHn- FMDáX]PQLHMV]DVLĊ]Z\VRNRĞFLą1DGVNDáDPLFLĊĪNLPLSRZLHU]FKQLHHNZLSo- WHQFMDOQHSU]HELHJDMąZLĊFZ\ĪHMGDOHMRGĞURGND=LHPLQLĪQDd VNDáDPLOHk- kimi. Europejska Agencja Kosmiczna (ESA) stwierdza: ÄQDGSRGPRUVNąJyUą

morze wybrzusza s LĊNXJyU]H´.

'RĞZLDGF]DOQHZ\]QDF]HQLHUHIHUHQF\MQHMSRZLHU]FKQL=LHPLQLHMHVWEy- QDMPQLHMSURVWHQDOHĪ\PLHU]\üVLáĊJUDZLWDFMLZSREOLĪXSRZLHU]FKQL=LHPL

i Z\]QDF]\ü]W\FKSRPLDUyZNV]WDáWSRZLHU]FKQLHNZLSRWHQFMDOQHM8F]\QLá

WRRVWDWQLRF]Xá\VDWHOita *2&(QDOHĪąF\GR(6$ODWDMąF\QDPDáHMZ\VRNo- ĞFLNPL XĪ\ZDMąF\GRNRUHNW\WUDMHNWRULLVLOQLNyZQDVWUXPLHQLHMRQyZ

NVHQRQRZ\FK3RWZLHUG]LáRQQLHZLHONLHRGFK\OHQLDRGSRZLHU]FKQLHOLSVRLG\

U]ĊGX±100 m, +80 m, w rejonie Oceanu Indyjskiego i Islandii, odpowiednio.

Paradoksalnie, w UHMRQLH +LPDODMyZ SRZLHU]FKQLD UHIHUHQF\MQD JHRLG\ SU]e- biega pod SRZLHU]FKQLą HOLSVRLG\ QDMZ\ĪV]H JyU\ ĞZLDWD WR GU\IXMąFD NUD

OHNNLFKVNDá

362JyOQLHSRPLDU\VLá\FLĊĪNRĞFLSRWUDILP\SU]HSURZDG]Lü]GRNáDGQRĞFLą

GRF\IU]QDF]ąF\FK2GG]LDá\ZDQLHJUDZLWDF\MQH.VLĊĪ\FDL6áRĔFDGDMHSR

SU]HFLZOHJá\FK VWURQDFK UyZQLND UyĪQLFH RGSRZLDGDMąFH ]PLDQLH SR]LRPX

SRZLHU]FKQL HNZLSRWHQFMDOQHMU]ĊGX NLONX PHWUyZMDN WR REUD]XMąSU]\Sá\Z\

FOTON 114, J esieti 2011 45

m orza

³.

Na ó smą cy frę znaczącą lokalnej sily grawit acji ma wpływ rozmie sz- czenie

wieżowców

w otoczeniu badanego punktu, zob. [ l ].

Rozważania

o Ziemi oblanej morzami i powierz chniach ekwipotencj alnych wyj asniaj

ą

nie tylko

spóżnianie się

zegarów na równiku i elip soidalny

kształt

n aszego globu, ale

potwierdzają

ruch obrotowy Zi emi.

.

/ ·- l

' ; # / J j' ' ^i;,

,

_.

. 'J . . ..

- ' .

~ -

Podziękowania

Fot. l. Wbrew l'OZJXlWS'Zechnionym. a niepełnym cytowaniem, napis na JXlmniku w TofUluu glosi ,,Ruszy! Zienuę, wstrzymał Słońce i 11iebo". To

włamie wilujące niebo, ,,którego rozmiarów nie znamy, a być może znać

nie możeruf [4], nieJXlkoiło Mikołaja Kopenrika pięćset lat tenm (JXl- W'Sianie Ko:mmtar:a jest datowane gdzieś nuędzyrokiem 1510 a 1514)

Autorzy

dziękują

panu redaktorowi Witoldowi Zawadzkiemu za

wnikliwą

lek-

turę rękopisu

i cenne uwagi.

L itn·a tur:l

[l) Ew:opej skaAgencja Kosmiczna, http://www.e sa.intlim agesiC2 _gravity _ crop.jpg [2) R.H. Steward, lnb·oduction to Physical Oceanography,

http;//oceamvorld.tamu.edulresources/ocng_textbooklchapterl7/chapterl7 _04.htm [3) Irving Michelson, Tides'Tortured Theory,. Btdettin of the Atomie Scientists, March

1974, zob. http://booh.google.com

[4) M. Kopemik, O obrotach cial niebieskich, tlunt. L.A Birkenmajer, Wydawnictwo

ZakładNarodowy im. Ossalitiskich, Wrocław 2004

' Amplituda plyw<iw oceaniczn::,<:h określona z jXltencja!u grawitacyjnego· i JXllencja!u do-

ŚIOdkowego jest 1ądu metrów, więcej niż rzeczywiste pływy na otwartym oceanie. Decydujący wpływ na wielkość pływów mają zjawiska mecha>uki ciec:y [2].

ZagadJuenia pływów oceaniczn::,<:h próbowali rozwiązywac najW)bibliejsi ucze1u od Sir Ne- wtolUI przez Markiza de Laplace 'a do Lorda Kelvina [3], a na n-. t wielki JXll<ki matematyk i ftlozof eJXlki romantyzmu Józef Maria Hoene Wroński. Żaruternu z nich tak do końca się to rue

udało. więc my nie b~dziemysię tego runvet podejmować_ .