Igor K IE R K O S Z P olitechnika K o szaliń sk a
Z A S T O S O W A N IE A L G O R Y T M Ó W G E N E T Y C Z N Y C H D O O P T Y M A L IZ A C J I R O Z K R O J U E L E M E N T Ó W P Ł A S K IC H
S tr e sz c z e n ie . W pracy o m ów iono m ożliw ość zasto so w an ia a lg o ry tm ó w gen ety czn y ch d o optym alizacji ro zk ro ju m ateriałów w dw uw ym iarow ym p roblem ie ro z k ro ju . Problem p o le g a n a ro z k ro ju p ro sto k ątn y ch płyt na szereg p ro sto k ątn y ch części przy założeniu g ilo ty n o w e g o cięcia d w u sto p n io w eg o . P rzed staw io n o sp o só b k o d o w a n ia ro zw iązań o ra z o p e ra to ry g en ety czn e. Z am ieszczono rów nież w yniki obliczeń dla p rzy k ład o w y ch zadań ro z k ro ju d w u w y m iaro w eg o i jednow ym iarow ego.
O P IM IZ A T IO N O F C U T T IN G M A T E R IA L S IN T H E 2D C U T T IN G S T O C K P R O B L E M U S IN G G E N E T IC A L G O R IT H M S
S u m m a r y . T h e p ap er presents th e application o f genetic algorithm fo r o p tim izatio n o f th e c u ttin g in th e 2D C u ttin g S to ck Problem . T he problem o f cu ttin g re c ta n g u la r pieces from re c ta n g u la r sh eets w ith minim um loss is analysed. M o reo v er, w e a ssu m e th a t th e c u ttin g m ach in e is ju s t able to cu t the rectangles in tw o phases w ith a single straig h t cut.
T h e c o d in g m eth o d o f this problem and th e genetic o p e ra to rs are show n. T h e num erical ex am p les to illu strate th e p ro p o sed algorithm are solved.
1. W stęp
W ażn y m zag ad n ien iem w zarządzaniu przem ysłem je s t problem o szczęd n o ści su ro w ców i m ateriałó w . Je d n ą z operacji technologicznych, przy któ rej p o w sta ją z n a czn e odpady, jest ro zk ró j m a te ria łó w na części p o trzeb n e do w ykonania o k reślo n eg o w y ro b u . S p o só b p o d ej
ścia do p ro b lem u ro z k ro ju je s t w dużej m ierze uzależniony od dziedziny p ro d u k cji, w której proces cięcia je s t realizow any. W ynika to z ró żnorodności ro zk raw an y ch m ateriałó w w yjścio
wych, te ch n ik ro z k ro ju i organizacji p ro cesó w produkcyjnych [5], W pracy ro z w a ż a n y je s t problem o p ty m a ln e g o ro z k ro ju p ro sto k ątn y ch płyt na szereg p ro sto k ą tn y c h elem en tó w . R o z- krawanym m ateriałem m o g ą być: d rew niane płyty, arkusze papieru czy te ż tafle szkła.
O p ty m alizacja ro zk ro ju m ateriałów dokonyw ana je s t c zęsto z ro zró żn ien iem d w ó ch faz: g e n e ro w a n ia w z o ró w ro z k ro ju o raz rozw iązyw ania zad an ia op ty m alizacy jn eg o , p o leg ają
cego na o k reślen iu , ile płyt należy p ociąć zgodnie z każdym w zorem , aby w y k o n ać zam ó w ien ie
156 I. K ierk o sz
p ro d u k cy jn e. W opisanym w pracy podejściu do problem u obie te fazy p rz e b ie g a ją je d n o c z e śnie. W każdym k ro k u z ap ro p o n o w an eg o algorytm u p rzetw arzany je s t z b ió r d opuszczalnych ro zw iązań d an eg o zadania, przy czym pojedyncze rozw iązanie uw zględnia od razu sposoby ro z k ro ju w szy stk ich płyt w ykorzystanych w procesie produkcyjnym . A by p rz e tw a rz a n ie tak dużej ilości inform acji przebiegało efektyw nie, zdecydow ano się na z a sto so w a n ie algorytm ów g enetycznych.
W ażnym celem pracy było zap rojektow anie tak ieg o sposobu k o d o w a n ia o ra z dobranie tak ich o p e ra to ró w genetycznych, aby każde przetw arzan e rozw iązanie było ro zw iązan iem do
puszczalnym .
2. O p is p ro b lem u
P ro b lem p o leg a na ro zk ro ju p ro stokątnych płyt o je d n ak o w y ch w y m iarach na szereg p ro s to k ą tn y c h elem en tó w z uw zględnieniem ograniczeń co do liczby części p oszczególnych ty p ó w . C ięcie o d b y w a się jed y n ie po liniach prostych, rów nolegle do k raw ęd zi ark u sz a przez całą je g o długość. W fazie pierw szej cięcia otrzym ujem y pasy, natom iast w fazie drugiej - żą
d an e części (cięcie d w u sto p n io w e [5]). Jako kryterium oceny rozw iązań p rzy jęto w ydajność ro z k ro ju , tj. sto su n e k sum y pól pow ierzchni w ycinanych części do sum y pól p o w ierzch n i roz
k ro jo n y ch m ateriałó w w yjściow ych (w % ). K ryterium to podlega m aksym alizacji, co je s t rów n o w a ż n e m inim alizacji o d p ad u p ow stałego w procesie cięcia.
Rys. 1. P rzykładow y w zó r rozkroju Fig. 1. Som e pattern o f cutting
K ażd y sp o só b ro zk ro ju m ateriału będziem y nazyw ać w zorem cięcia . R y su n ek 1 przed
staw ia p rzy k ład o w y w z ó r ro zk ro ju płyt z zadania 1, ro zp atry w an eg o w dalszej części pracy.
W p ro w a d ź m y ozn aczen ia i pojęcia. Z ałóżm y, ż e dysponujem y jed n y m ro d zajem arku
szy w y jścio w y ch o w ym iarach W i S. Przyjm ijm y rów nież założenie, k tó re b ę d z ie obow iązy
w ać w całej pracy, że pierw sza faza cięcia odbyw ać się będzie p ro s to p a d le do w ym iaru W,
nazyw anego u m o w n ie w y so k o ścią arkusza. Indeksam i i = l , . . . , n ozn aczm y p o szczeg ó ln e rodzaje części p , k tó re chcem y uzy sk ać w procesie rozkroju. N iech i s,- b ę d ą w ym iaram i elem entu p r K ażd y elem ent m oże w ystąpić w d w óch orientacjach: (w,-, ±)) lub (s] , w{). Z b ió r w szystkich ro d z a jó w elem en tó w z uw zględnieniem ich orientacji m ożem y zap isać w postaci:
P = { P \ , P 2 Pn ’Pl >Pl ’ ■■■>Pn )
G órny indeks o z n acza o rien tację elem entu, a dolny je g o rodzaj. Z każdym elem entem zb io ru P zw iązany je s t inny rodzaj pasa, jak i m ożna u zyskać w pierw szej fazie ro zk ro ju . Z b ió r p a só w oznaczm y p rz e z K = {/ć| ,K .\ , . . . , K j , , K j , K f }.
W pierw szy m etap ie działania algorytm u dla k ażdego elem entu p t w y z n aczan a je s t t a ka liczba p a só w ty p u K } i K f , aby w ykonać zam ów ienie p ro d u k cy jn e przy jed n o cz esn ej minimalizacji o d p ad u b o czn eg o zw iązanego z pasem K f , gdzie / = 1 , 2 , . . . , « , j = 1,2. W a
runki te m o żem y zap isać w postaci:
i m in ( k ) y ) + k f y f ) dla k ) y ) + k f y f > x , [ m in [ ^ '( S v ] - y lt w lS, ) + k * ( S v f - y ^ s , ) } ' gdzie:
Xj - z a p o trz e b o w a n a liczba elem entów /-teg o typu, k j - liczba p a só w ty p u K f ,
y j - liczba elem en tó w typu p { zaw artych w pasie K f , v f - w y so k o ść p asa typu K f , przy czym vj - wh a v? = sh
W a rto ść w y rażen ia k j y j + k f y f ok reśla uzyskaną liczbę elem en tó w /-te g o ty p u , a w y
rażenie S v f - y f w j S j - w ielk o ść odpadu dla pojedynczego p asa K f . P rzyjm ując zało żen ie, że każdy nad m iar p onad za p o trz e b o w a n ą liczbę elem entów /-te g o typu ró w n ież tra k tu je m y ja k o odpad, dru g i w aru n ek w układzie (1) należałoby zapisać w postaci:
m in j^ C ^ /w ,+ £ i2Ą-)“ */wi-si] (2 )
P rz y ustalo n ej w arto ści k j , m inim alną liczbę p asó w typu K f , p o trz e b n ą do w y k o n an ia zam ów ienia, znajdujem y z e w zoru:
k~ = ceil
yj
(3)gdzie ceil je s t fu n k cją z a o k rąg lającą d an ą liczbę w g ó rę do najbliższej liczby całk o w itej. Z atem , aby w yzn aczy ć ta k ie k j i k f , dla których odpad boczny je s t najm niejszy, m o żn a p o słu ży ć się procedurą, k tó ra dla u stalo n eg o / o raz zm ieniających się w pętli w a rto śc i k j od 0 do
158 I. K ierkosz
ceil — oblicza ze w zo ru (3) w artości k f o raz w ielkość od p ad u , zap am iętu jąc najlepsze y y \ J
rozw iązanie. P rzy w yznaczonych ju ż dla każdego i w arto ściach k} i k f sform ułow any w p racy d w u w y m iaro w y problem rozkroju z cięciem dw ustopniow ym sp ro w a d z a się do ro z
k roju z cięciem je d n o sto p n io w y m , który z kolei m ożna utożsam iać z ro zk ro jem jed n o w y m ia
row ym . N a sz e zadanie m ożem y teraz sform ułow ać następująco: p ew n ą liczbę ark u szy w yj
ścio w y ch o w y so k o ści W należy pociąć na o kreśloną liczbę ( k f ) p a só w o w y so k o ściach v f . P ro b lem optym alizacji rozkroju polegać będzie na znalezieniu takich sp o so b ó w ro zk ro ju płyt w yjściow ych, dla k tó ry ch łączny o dpad pow stający przy cięciu będzie minim alny. K ryterium m inim alizacji o d p ad u m o żn a zam ienić na kryterium m inimalizacji liczby rozcinanych płyt w yj
ściow ych p o trzeb n y ch do uzyskania zam ów ionej liczby części. F ak t ten w ynika z e w zo ru na rz e c z y w istą w y d ajn o ść rozkroju
n
Iw,-
F c e l = ^ ---, (4)
m W S
g d z ie m je s t liczbą zużytych po d czas rozkroju płyt w yjściow ych. Im mniej płyt zużyjem y, tym w y d ajn o ść b ęd zie w iększa, a co za tym idzie - mniejszy p ow stanie odpad.
P rzy jm u jąc stu p ro c e n to w e w ypełnienie arkuszy w yjściow ych ze w zo ru (4 ) w yznaczyć m o ż n a m inim alną liczbę arkuszy p o trzeb n ą do w ykonania zam ów ienia:
= c eil
W S (5)
P o uw zględnieniu założeń dla sform ułow anego w pracy problem u m o żem y z e w zoru (4) w y zn aczy ć k res górn y m ożliw ej do uzyskania w ydajności ro zk ro ju (w % ):
n
Z w -
^ s u p = ~ w e - ' ' 0 0 % ( 6 )
Z a s to s o w a n a m eto d a będzie om ów iona dla przy k ład o w eg o zadania o ptym alizacji roz
k ro ju e lem en tó w płaskich. P rzykład ten m a ch arak ter ilustracyjny.
P rzyk ład : F irm a posiada surow iec w postaci płyt o jed n ak o w y m w ym iarze. O trzym uje zam ó w ien ie p ro d u k cy jn e na w ykrojenie czterech ty p ó w elem entów , po 10 sztu k k ażd e g o ro
dzaju. Przyjm ijm y:
- w ym iary płyt (arkuszy) - 140 x 208,
- w ym iary elem entów : y?, - 64 x 30, p 2 - 4 5 x 3 6 , p 3 - 7 0 x 2 5 , p A - 5 5 x 5 0 .
W yliczm y d la teg o zadania m inim alną liczbę płyt p o trzeb n ą do w y k o n an ia zam ó w ie n ia o raz m aksym alną m o żliw ą d o uzyskania w ydajność rozkroju. Z e w z o ró w (5) i (6 ) otrzym ujem y:
rnmn = c e il(2 .7 6 ) = 3 ; F Jup = 9 2 .0 3 % .
3. R ep rezen ta cja rozw iązan ia
B a rd z o istotnym asp ek tem badań nad m ożliw ością z a sto so w an ia a lg o ry tm ó w g e n e tycznych w ró żn y ch zagadnieniach optym alizacji je s t zap ro jek to w an ie o d pow iedniej do zadania struktury rep rezen tacji rozw iązania. Jednym z celów podjętych p rac było o p ra c o w a n ie ta k ie g o sposobu k o d o w a n ia ro zw iązan ia o raz zasto so w an ie takich o p e ra to ró w gen ety czn y ch , aby k a ż de o trzy m an e i p rz e tw arzan e rozw iązanie było rozw iązaniem dopuszczalnym . C hodziło w dużej m ierze o to , aby uch ro n ić się przed kon ieczn o ścią sto so w an ia różnych m eto d n ap raw y rozw iązania lub nakładania kary na rozw iązania naruszające o k reślo n e ogran iczen ia. W z a s to sow anym a lg o ry tm ie k ażd e rozw iązanie k o d o w an e je s t w postaci perm utacji Ip a s liczb n atu -
n
ralnych, g d z ie l p a s = ^ { k ] + k f ) - liczba pasów . P erm utacje te o k reślają kolejność, z ja k ą
i=i
w ro zk ro ju uw zg lęd n ian e są p o szczeg ó ln e pasy. Z ilustrujm y to na przykładzie.
W pierw szym etapie działania algorytm u, zg o d n ie z o p isan ą m e to d ą zn ajd o w a n a je s t liczba p a só w k ażd e g o ty p u ,p o trz e b n a do w ykonania zam ów ienia. D la o m aw ian e g o zad an ia otrzym ano n a stę p u ją c ą m acierz:
'o 4 ' '6 4 3 0 '
2 0
dla A / = 45 36
1 1 70 25
_1 2 55 50
D la p rzykładu k 2 = 2 o znacza, że w ro zk ro ju należy u w zg lęd n ić 2 pasy o w y so k o ści 45 ( A 2 = 4 5 ) . P o n ie w a ż Ipas = 1 , zatem rozw iązania b ę d ą k o d o w an e w p o staci 11-elem en towych perm utacji.
N a p o d sta w ie m acierzy k i i A j tw o rzo n y je s t w zo rzec, w zględem k tó re g o d e k o d o wane b ę d ą rozw iązania:
w zó r = (70 55 50 50 45 45 30 30 30 30 25)
160 I. K ierkosz
N a p o szczeg ó ln y ch pozycjach teg o w zo rca um ieszczono w y sokości p a só w (p o s o rto w an e), ja k ie b ę d ą uw zględniane w rozkroju. Z ałożono po n ad to , że w z o rz e c te n o d p o w iad a p erm utacji:
(1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11)
D la lo so w o w ygenerow anej perm utacji m ożna określić te ra z w zo ry ro zk ro ju p o szcze
gólnych płyt. P erm utacji
7 = (6 2 9 11 3 8 7 4 5 1 10) o d p o w ia d a n astęp u jący ciąg pasów :
(45 55 30 | 25 50 30 30 | 50 45 | 70 30)
P o uw zględnieniu ograniczenia, że sum a w ysokości pasó w um ieszczo n y ch na jednym ark u szu nie m o że p rzek ro czy ć w ysokości arkusza ( W = 1 4 0 ), otrzym ujem y sp o so b y rozkroju p o szczeg ó ln y ch płyt o ddzielone sep arato rem " | . O czyw iście, ko lejn o ść p asó w w p o szcze
góln y ch w z o ra c h , ja k ró w n ież kolejność sam ych w zo ró w rozkroju nie są isto tn e, stą d te ż dla różn y ch perm utacji m ożem y otrzym ać ta k ą sam ą w ydajność rozkroju.
O b liczo n a ze w zo ru (4 ) w ydajność rozkroju dla perm utacji T w yniosła 69 .0 2 % .
4. O p is a lg o ry tm u
Ja k o m e to d ę p rzetw arzan ia rozw iązań z a p ro p o n o w an o algorytm y genetyczne.
W sw ojej b u d o w ie zasto so w an y algorytm bazuje na elem entarnym algorytm ie genetycznym [1], W -
K rok i alg o ry tm u :
° G e n e ro w a n ie p o p u la c ji p o c zą tk o w e j
P o p u la c ja p o c z ą tk o w a składa się z losow o w ygenerow anych perm utacji, k tó re stano
w ią z a k o d o w a n y z b ió r rozw iązań danego zadania. K ażdy oso b n ik populacji p o cz ą tk o w e j pod
leg a ro z k o d o w a n iu i ocenie.
G łów n a pętla program u
2° S e le k c ja o so b n ikó w
S elek cja d o puli rodzicielskiej odbyw a się m e to d ą w yboru lo so w e g o w e d łu g re sz t bez p o w tó rz e ń [1], [4],
3° K rzyżo w a n ie
W celu d o b ra n ia o dpow iednich m etod przetw arzan ia ro zw iązań eksperym entow ano z różnym i o p e ra to ra m i genetycznym i, opisanym i w literaturze, a stosow anym i d o zad ań z repre
zen tacją p o rz ą d k o w ą (zadanie kom iw ojażera, harm onogram ow anie). P rz eb ad an o trz y o p e ra to ry k rz y ż o w a n ia [4]: k rzyżow anie z częściow ym o d w zo ro w an iem (P M X ), k rzy żo w an ie b azu ją
ce na p o rz ą d k u o ra z k rzyżow anie cykliczne (C X ). N ajlepsze efekty uzy sk an o dla k rzy żo w an ia cyklicznego. Z a c h o w u je o n o bezw zględne pozycje elem entów u ro d zicó w . M echanizm k rzy żow ania c y k liczn eg o zilustrujm y dla przykładow ych dw óch rodziców :
R l = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11) R 2 = (6 9 2 1 1 3 8 7 4 5 1 10).
S ta rtu ją c od p ierw szeg o elem entu pierw szego rodzica tw o rzy m y cykl o d w z o ro w a ń :
<-> 6 <r-> 8 <-> 4 <-> 11 <-> 10 .
P o to m k ó w tw o rzy m y p ozostaw iając na tych sam ych pozycjach elem enty u w zg lęd n io n e w w y ró żn io n y m cyklu, natom iast p o zo stałe elem enty w ym ieniam y m iejscam i m iędzy ro d zica
mi. O trzy m u jem y w te n sposób dw óch potom ków :
D l = ( 1 9 2 4 3 6 7 8 5 10 11) D 2 = (6 2 3 11 5 8 7 4 9 1 1 0 ).
4° M u ta c ja
M u ta c ja je s t o p e ra c ją p rzep ro w ad zan ą na pojedynczych osobnikach. Z a sto s o w a n o o p e rator p o leg ający na zam ianie miejscami d w óch lo so w o w ybranych elem en tó w w ciągu.
O sobnik
7? = (1 9 2 4 3 6 7 8 5 10 11) poddany m utacji dałby w w yniku ciąg:
D = (1 9 7 4 3 6 2 8 5 10 11)
5° O cen a p o p u la c ji
K a ż d y o so b n ik w populacji podlega p ro ced u rze d ek o d o w an ia i oceny. O c e n a o so b n ik a polega na obliczaniu zg o d n ie ze w zo rem (4) je g o przy sto so w an ia (w ydajności ro zk ro ju ).
K on iec pętli
O p u sz c z e n ie pętli n astęp u je po przekroczeniu ustalonej liczby iteracji lub w m om encie uzyskania w y d ajn o ści rów nej / 'j up.
6° W yp ro w a d zen ie w yników
162 I. K ierk o sz
5. W y n ik i o b liczeń
W p rz e p ro w ad zo n y ch obliczeniach przyjęto następujące w artości p a ra m e tró w alg o ry t
mu g en ety c zn eg o :
• ro zm iar populacji = 50,
• liczba p o k o leń = 80,
• p ra w d o p o d o b ie ń stw o k rzyżow ania = 0.6,
• p ra w d o p o d o b ie ń s tw o m utacji = 0.1.
Poniżej p rzy to czo n o w yniki obliczeń dla przykładow ych zadań ro zk ro ju . Z e w zględu na d u ż ą liczbę ro zk raw an y ch płyt ograniczono się jedynie d o p o d an ia uzyskanych w ydajności ro zk ro ju . W y dajność ro zk ro ju w yliczana je s t zgodnie ze w zorem (4), a co za tym idzie - każdy nad m iar p o n ad z a m ó w io n ą liczbę elem entów d anego rodzaju ró w n ież tra k to w a n y je s t ja k o odpad.
Z a d a n ie 1. W ym iary ark u sza - 4 0 x 2 0 8 . W ym iary i w ym agana liczba elem entów :
w y so k o ść 64 45 70 55
szero k o ść 30 36 25 50
liczba elem. 100 100 100 100
U zy sk an a w y d ajn o ść rozkroju: 86.28 % . Z a d a n ie 2. W ym iary ark u sza - 80 x 360.
w y so k o ść 60 57 54 51 48 45 42 39 36 33 30
sz e ro k o ść 15 16 18 19 21 22 24 25 27 28 30
liczba elem. 80 80 90 90 100 100 110 110 120 120 130
U zy sk an a w y d ajn o ść rozkroju: 9 2 .7 7 % .
Z a d a n ie 3. R o zk ró j jed n o w y m iaro w y [H ] [m ag]. W ym iary ark u sza - 4 x 1 .
w y so k o ść 3 4 5 6 7 8 9 10
szero k o ść 1 1 1 1 1 1 1 1
liczba elem. 5 2 1 2 4 2 1 3
U zy sk an a w y d ajn o ść ro zk ro ju 9 7.62% je s t rów na Fsup dla te g o zad an ia i z o sta ła znalezio
na w 23 pokoleniu.
P rzeb ieg p ro cesu poszukiw ania rozw iązania m ożna zilu stro w ać w ykresam i średniego p rz y s to so w a n ia populacji, w y rażo n eg o przez w ydajność ro zk ro ju (w % ) w kolejnych pok o le
niach. N a rysunku 2 p rzed staw io n o takie w ykresy dla zadania 1 o raz dla d w ó ch ty p ó w krzy
żo w an ia: C X i PM X .
R y s.2. W y k resy śred n ieg o przy sto so w an ia populacji w kolejnych k ro k ach algorytm u g e n e ty czn e g o dla k rzyżow ania C X i P M X
F ig.2. D iag ram s o f th e av erag e fitness o f population in th e next step s o f g en etic algorithm fo r C X and P M X c ro sso v er
6. U w a g i k o ń c o w e i w n io sk i
R ó ż n o ro d n o ś ć zagadnień ro zk ro ju m ateriałów nie daje p o d staw d o fo rm u ło w an ia o g ó l
nych w n io sk ó w na te m a t b u d o w y m odeli zagadnień ro zk ro ju i m eto d ich rozw iązyw ania. C o p raw d a w ie le za d a ń ro zk ro ju daje się sform ułow ać w postaci m odeli p ro g ra m o w a n ia liniow e
go, w ią ż e się to je d n a k z k o n ieczn o ścią uw zględniania ró żn o ro d n y ch o g ran iczeń zw iązan y ch z danym zag ad n ien iem o ra z z o g ro m n ą liczbą w z o ró w cięcia, k tó re pow inny być b ran e pod u w ag ę w obliczeniach. S kłada się to na d u żą zło żo n o ść o b liczen io w ą pro b lem u ro zk ro ju . Je d nak ze w z g lę d u na kom ercyjne znaczenie ro zw iązania teg o zagadnienia ce lo w e w y d aje się p o szukiw anie efek ty w n y ch alg o ry tm ó w obliczeniow ych. W śró d alternatyw nych m eto d p o sz u k i
w ania o p ty m a ln e g o (b ąd ź bliskiego optym alnem u) ro zw iązania c o ra z w ię k sz ą p o p u la rn o śc ią cieszą się alg o ry tm y genetyczne. P o d ję te badania miały na celu zbadanie efek ty w n o ści a lg o rytm ów g e n e ty c z n y c h w poszukiw aniu rozw iązań pew nych ty p ó w zad ań optym alizacji ro z kroju. Z a s to s o w a n a m eto d a nie g w arantuje, co p raw da, uzyskania o p ty m aln eg o ro zw iązania, jednak z a m ie sz c z o n e w p racy w yniki w ydają się obiecujące.
P rz e w id u je się kontynuację podjętych prac. B ę d ą on e zm ierzały w k ierunku p o sz u k i
w ania bard ziej efektyw nych, heurystycznych o p e ra to ró w genetycznych, ja k ró w n ie ż innych sp o so b ó w k o d o w a n ia rozw iązania, w ierniej oddających c h a ra k te r problem u. W celu p o sz e rz e nia o b sz a ru z a sto so w a ń zap ro p o n o w an ej m etody należy ró w n ież u w zg lęd n ić m o żliw o ść o k re ślania ró ż n y c h ro z m ia ró w arkuszy w yjściow ych.
164 I. K ierkosz
L IT E R A T U R A
1. G o ld b e rg D. E.: A lgorytm y genetyczne i ich zastosow ania. W N T , W arszaw a 1995.
2. H in terd in g R ., JulifF K .: A genetic algorithm for stock cutting: an ex p lo ratio n o f m apping schem es. T echnical R ep o rt 24 C O M P 3, V ictoria 1993.
3. H in te rd in g R ,, K han L.: G enetic A lgorithm s for C utting S to ck P roblem s: w ith and w ith o u t C o n tig u ity . T echnical R ep o rt 40 C O M P 12, V ictoria 1994.
4. M ich alew icz Z .: A lgorytm y genetyczne + struktury danych = p rogram y ew olucyjne. W N T , W a rs z a w a 1996.
5. Piasecki B.: O ptym alny rozkrój m ateriałów . W N T , W arszaw a 1978.
6. Z ając J.: D w u etap o w y algorytm g enerow ania w z o ró w ro zk ro ju elem en tó w płaskich. M a te riały IX K onferencji nt "M etody i środki p rojektow ania w sp o m ag an eg o k o m p u te ro w o ", W a rsz a w a 1993.
R ecenzent: D r hab.inż. K onrad W ala, p r o f A G H K raków
A b stra ct
T h e p a p e r p resen ts th e possibilities o f applying genetic algorithm s to op tim ize the c u t
ting o f m aterials in th e 2D C u ttin g S tock Problem . T he problem co n sists in c u ttin g many re c ta n g u la r elem ents (item s) o f different size from rectan g u lar sheets w ith th e m inim um w aste o f m aterial. T h e cu ttin g m achine is able to cut rectangles in tw o step s w ith a single straig h t cut (tw o -ste p cut).
T w o different types o f strips, w hich can be obtained in th e first p h ase o f cu ttin g , are c o n n e c te d w ith each elem ent. A t th e beginning w e determ ine such a set o f strip s th a t th e lateral w a sta g e is m inim ised and th e pro d u ctio n o rd e r is com pleted. T h u s o u r problem is red u ced to th e c u ttin g p ro b lem w ith o n e-step cut. N o w each potential solution to a p roblem m ay be re p re sen ted as a p erm u tatio n o f th e strips from this set. Strips are cut in the o rd e r in w hich th ey are re p re se n te d in th e p erm u ted list (chrom osom e). An initial population is built by g e n e ra tin g ran
d o m p erm u tatio n s. T h e re p ro d u ctio n o p e ra to rs have b een b o rro w ed from th e T rav ellin g Sale
sm an Problem . T h re e types o f c ro sso v e r o p erato rs: partially m apped reco m b in atio n (PM X ), cycle reco m b in atio n (C X ) and ord er-b ased recom bination have been analysed. T h e b e st results have b een o b tain ed fo r th e C X crossover. T he S econd g en etic o p e ra to r - m u ta tio n - replaces tw o ran d o m ly chosen num bers in a sequence.
T h e resu lts o f th e research show th at g en etic algorithm s can be useful in search in g for th e o p tim al (n e a r o ptim al) solution o f the C utting S to ck Problem . It w o u ld b e advisable to in d icate th e h eu ristic o p e ra to rs, specific to this problem .
