ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 1971
S e r i a : AUTOMATYKA z . -17 ■ Nr k o l . 302
HENRYK KOLKA K a te d ra E l e k t r o n i k i
PEWNE PROBLEMY ZWIĄZANE Z ZAGADNIENIEM STEROWANIA
CZASCWC-OPTYMALNEGO 03IEKTCW LINIOWYCH Z ZERAMI W FUNKCJI PRZEJŚCIA
S t r e s z c z e n i e . W a r t y k u l e z o s t a ł y p r z e d s ta w io n e pewne uwagi d o t y c z ą c e p r a k t y o z n e j s t r o n y problemu s t e r o w a n i a o b i e k t a m i lin io w y m i z z e r a m i w f u n k c j i p r z e j ś c i a .
D o k ł a d n i e j z o s t a ł p r z e d s ta w io n y problem . p oszukiw ania t r a n s f o r m a o j i T ( Y / Z ) . Na p r z y k ł a d z i e o b ie któw o p is a n y c h równaniem różniczkowym 2 r z ę d u pokazano p r o s t y sp osób wy
z n a c z a n i a obszarów G^. Rozważono o g ó l n i e s t r u k t u r ę u k ła d u s t e r u j ą c e g o z u w zg lę d n ie n iem p o t e n c j a l n y c h ź r ó d e ł błędów, J a k i e mogą w y s t ą p i ć w rz e c z y w is ty m u k ł a d z i e .Oceniono wpływ ty oh ź r ó d e ł b ł ę a u na d o k ła d n o ść u k ł a d u . Rozważania z obra zo
wano w ykresam i praoy u k ł a d u , zamodelowanego na maszynie a - n a l o g o w e j .
W w i ę k s z o ś c i przypadków w l i t e r a t u r z e po św ię co n e j układom optymalnym rozważa s i ę s t e r o w a n i e o b i e k t a m i , k t ó r e są o p is a n e równaniem różniczkowym z a w ie ra ją c y m s y g n a ł s t e r u j ą c y b e z pochodnych ( n p . praoe [ 2 ] , p ] , [8j).
Inny p r z y p a d e k t j . s t e r o w a n i e ozasowo-optymalne o b i e k t a m i , k t ó r e p o s i a d a j ą w swej f u n k c j i p r z e j ś c i a z e r a , J e s t rozważany w p ra o a c h [ 1 ] , p ] , [4],
zasady maksimum ze wzglądu na i s t n i e n i e , n i e c i ą g ł o ś c i t r a j e k t o r i i w p r z e s t r z e n i Y, w c h w il a c h p r z e ł ą c z e ń w a r t o ś c i s y g n a ł u s t e r u j ą c e g o . Trudność t ę można ppkonać p rz e z z a s to s o w a n ie pewnej t r a n s f o r m a o j i T ( Y / Z ) . D z i ę k i n i e j otrzymujemy o b i e k t e k w iw a le n t n y , zd e f in io w a n y w p r z e s t r z e n i Z, do k t ó r e g o możemy j u ż z a sto so w a ć z f s a d ę maksimum.
A r t y k u ł n i n i e j s z y ma na o e l u p r z e d s t a w i e n i e pewnych uwag związany oh z praktyozc^m za sto so w a n iem t e o r i i s t e r o w a n i a cz asowo-opty m aln ego do o b i e k tów lin i o w y o h z z e r a m i w f u n k c j i p r z e j ś c i a .
1 . Wstęp
2 . Z d e f in io w a n ie problemu
Rozważamy o b i e k t o p is a n y f u n k o j ą p r z e j ś c i a H(D)
H (D) = Y (D) m r r
^ D1 )
jS
D->)(1 )
W arunki początkowe u k ła d u są o k r e ś l o n e p r z e z w e k to ry :
*c =
y ( o ) ' u ( 0 )
y ( o ) ¿ ( 0 )
• •
• o r a z U 0 = «
• ( n - 1 )
• (n-1 )
y ( o ) u (o ).
( 2 )
(w p rzypadku ogólnym, m < n - my d la u p r o s z c z e n i a przyjm ujem y, me m=n).
Z ad a n ie p o le g a na tym, by w le d z ą o , że o b i e k t ' j e s t w p o ł o ż e n i u p o c z ą tk o wym, o k reślo n y m p r z e z w ektory Yo i Uo , z n a le ź ó s t e r o w a n i e opty m aln e (w s e n s i e czasowym), k t ó r e p r z e p ro w a d z i o b i e k t w p r z e s t r z e n i Y z p o ł o ż e n i a Yo , do końcowego Y1 , przy czym po z a k o ń c z e n i u s t e r o w a n i a o b i e k t w i n i e n po- z o s t a ó w tym p o ł o ż e n i u . I s t n i e j e s z e r e g metod sto3owanycn do ro zw iązyw a
n i a te g o r o d z a j u z a g a d n i e ń . N a j c z ę ś c i e j s t o s u j e s i ę dwie z n i c h : 1 . Metoda programowania dynamicznego
2 . Zasada maksimum - P o n t r i a g l n a .
Bellmana
W r o z w a ż a n ia c h o p i e r a ć s i ę będziemy na z a s a d z i ę maksimum, k t ó r e j k ła d n e sfo rm u ło w a n ie z n a j d u j e s i ę w prac y [8] .
O g ó ln ie w ię c o b i e k t możemy o p i s a ć układem równań różnio zkow yoh ( 3 ) . d o -
Y = F ( Y D ) ,
g d z ie
*1 y2
> > ‘ u C n - l )
• u = «
• •
• *
U
( 3 )
Pewne problemy związane z za g a d n ie n ie m s t e r o w a n i a . . . 35
W p rzypadku o b i e k t u l i n i o w e g o , równanie ( 3 ) przyjm uje p o s ta ó ( 3 ł )
Y = A Y + B U . ( 3 ’ )
Załóżmy, że s y g n a ł s t e r u j ą o y u ( t ) j s a t f u n k c j ą o k r e ś l o n ą , p r z e d z i a ł a mi c i ą g ł ą , k t ó r a p o s ia d a w dowolnym, skończonym p r z e d z i a l e c z a s u oo n a j wyżej skońc zoną i l o ś ć punktów n i e c i ą g ł o ś c i pie rw sz ego r o d z a j u . Załóżmy t a k ż e , że pochodne u ^ ( t ) d l a j = 1 , 2 . . . n i s t n i e j ą w i n t e r e s u j ą c y m n a s p r z e d z i a l e c z a s u poza punktam i n ie o i ą g ł o ś c i , w k t ó r y o h p o s i a d a j ą lewo i p ra w o stro n n e g r a n i c e o r a z , że w a r t o ś c i s y g n a ł u s t e r u j ą c e g o u ( t ) s ą zaw ar
t e w p r z e d z i a l e - — o C < U ( t ) < oC, g d z i e oC > O .
Dla t a k z d e fin io w a n e g o d o p u s z c z a ln e g o s y g n a ł u s t e r u j ą c e g o , otrzymamy w n-wymiarowej p r z e s t r z e n i fa z o w e j Y t r a j e k t o r i ę , k t ó r a b ę d z i e l i n i ą p r z e d z i a ł a m i o l ą g ł ą ( j e j punkty n i e c i ą g ł o ś c i odpow iadają an a lo g ic z n y m punktom na w y k r e s i e s y g n a ł u s t e r u j ą c e g o u ( t ) * ^ .
J a k wiadomo d l a o b i e k t u o p is a n e g o równaniem ty p u (3* ) do z n a l e z i e n i a s t e r o w a n i a optymalnego n ie można stosowaó zasady P o n t r i a g l n a ( 6 ) .
Z a s t u s o w a m e t r a n s f o r m a o j i T(Y/Z) pozwala na p r z e j ś c i e z p r z e s t r z e n i Y do Z t a k , by otrzymany w t e n sposób c b i e k t ek wiw alentny b y ł o p is a n y rów-i naniem :
Ż = A, 2 + i u ,
g d z i e h - J e s t m a c ie rz ą kolumnową.
Wówczas do t a k i e g o o b i e k t u b ę d z i e można za stosow a ć za sa dę maksimum w c e l u o k r e ś l e n i a s t r a t e g i i o p t y m a l n e j .
3 . Omówienie t r a n s f o r m a o j i T(Y/Z)
Mamy o b i e k t o p is a n y układem równań ró ż n ic z k o w y c h :
przy czym
Y - A Y + B O ,
■ r , ( n ) 1
7 1 u
( n - 1 )
• u
• •
• : U - •
• •
. yń. u
( 4 ’ )
w)Dokładne sfo rm u ło w a n ie te g o problemu można z n a l e ź ć r o z ę ś o i 2 prac y (4) l u b w p r a c y ( 5 ) .
Z d e f in iu j e m y T(Y/'Z) J a k o : Y = C Z + D U 1?
gdzie U
„ ( r - 1 )
u Z1
( n - 2 )
u •
• : Z = •
• •
u _Bn
(5)
(
6
») Wstawia ją o ( 5 ) i ( 4 ’ ) otrzymamy:C Ż J- D = A (C Z + D ^ ) + B U,
a s t ą d o s t a t e c z n i e
Ż = (CT1 A C) Z + (C"1 A D) + (C-1 B) U - (C~1 D) U, . (6” )
J a k w i d a ć , warunek r e a l i z a c j i powyższy oh p r z e k s z t a ł c e ń j e s t n a s t ę p u j ą cy:
d e t C / 0 .
Równanie (6” ) możemy z a p is a ć w p o s t a c i :
Z *> A.Z+ H U .
(6’”)
(
6
)Ponieważ macierze C 1 D-w rćw_aniu (5) 3ą dowolne (musimy zapewnić d e t C / O) zatem dobieramy je t a k , by w równaniu (6) otrzymać w m iejsce H U - wyrażenie h . u , (gdzie h - maoierz kolumnowa).
W praoy |jl] au to rz y a p r i o r i pcdają ta k ą t r a n s fo rm a o ję przy pomocy u - kła d u równań a l e b ra ic z n y c h . Z akładają o n i , te macierz C j e s t maoierzą je d ro stk c w ą " .
*).Rozw ażają c d o k ł a d n i e j i s t o t ę p r z e k s z t a ł o e n l a T(Y/Z) dochodzimy do wnios
k u , że t a k i c h t r a n s f o r m a c j i i e s t z n a c z n ie w i ę o e j . Wynika t o s t ą d , źe a - by c z ł o n (H . U) w r ó w na niu ( 6 ) b y ł równoważny w y ra ż a n iu (Łu) musimy wy
zerować (n2 ) elementów m a c ie rz y H. D z i ę k i temu d l a w y zn a cz en ia elem e n
tów m a olerzy C i D - k t ó r y c h J e s t (2 n2 ) otrzymujemy ( n 2 ) równań o r a z o g r a n i c z e n i e na elem e n ty m a c ie rz y C w p o s t a o l (6m) . Ta r ó ż n i c a między i l o ó o i ą niewiadomych i warunków, pozw ala u n i e z a l e ż n i ć dobór elementów m a cie rz y P od elementów m a cie rz y C. Z p r a k ty o z n e g o punktu w id z e n i a wy-
f
od n ie J e s t więc p r z y j ą ć , że m a c ie r z C, n p . J e s t m a c ie rz ą Jednostkową co t e ż a u t o r z y praoy [1j o z y n i ą ) , bo wówczas A. = A. Lecz j a k widać n i e j e s t to je dyna droga prowadząca do o tr z y m a n ia r ó w n l a n ia (9*).Pewne problemy związane z z a g a d n i ę c ie m s t e r o w a n i a . . . 37
Wtfwozas to otrzymujemy równość A=A^ . Macierz D n a to m ia st przyjmuje postać
r 0 . . . . ... C h
h nO 1 bn -? hn -i
( 7 )
przy czym elementy macierzy h. przyjmują w a r to ś o i:
12 • # .n~1 h o « T)_ n
h . n - k b, k i** . i+ k
(8)
W r e z u l t a c i e otrzymamy o b ie k t ekwiwalentny pisany nowym układem równań:
V 0 1 0 ...0 E1
N
0 0 1 . . . 0 • b 2
•
•
• +
a
• a
0 0 ...0 1
•
•
a a
-Q E h n
o 1 n n n
( 9)
co można z a p i s a ć w p o s t a c i :
Ź » A-Z + łi*u ( 9 ’ )
4 . Omówienie s t e r o w a n i a w p r z e s t r z e n i s t a n u 2
•Ponie w aż o b i e k t o p is a n y układem równań ( 3 ) w o r z e s t r z e n i 7 t z o s t a ł przy pomocy t r a n s f o r m a c j i T(X /Z) sprowadzony do p o s t a o i o b i e k t u ekwiwe- l e n t n e g o j o p i s a n e g d układem równań ( 9 ) w p r z e s t r z e n i s t a n u 3 , zatem możemy t e r a s u ś o i ś l i ć problem s t e r o w a n i a d l a n a s z e g o o b i e k t u .
W p r z e s t r z e n i Z wyznaozam7 poozątkowy p unkt t r a j e k t o r i i ZQ. Zgodnie z równaniem ( 3 ) p u n k t t e n odpowiada punktom Xo 1 Uo, k t ó r a s ą o k r e ś l o n e n a s t ę p u j ą c o :
Xo - I ( t 0“ >
TJo - 0
(
1 0)
Ponieważ t r a j e k t o r i a Z ( t ) j e s t f u n k c j ą c i ą g ł ą , w ię c w c h w i l i t = t 0 p r z e - o h o d z i ona p r z e z punkt Zo = Z ( t Q) = Z ( t 0~) = Z ( t 0+ ) . Zastanówmy s i ę o b e c n i e nad tym, co s i ę d z i e j e w p r z e d z i a l e c z a s u t >• t 1 ( g d z i e t 1 - moment, w którym o b i e k t o s i ą g a żądane p o ło ż e n i e końcowe Y.j = X(t., + ) = 0 ) . Żądamy, aby o b i e k t p o z o s t a ł w p o ł o ż e n i u końcowym, t o znaczy musimy z n a l e ź ó d l a t > t 1 t a k ż e s t e r o w a n i e d o p u s z c z a ln e u ( t ) , aby o d p o w iad a ją ca mu t r a j e k t o r i a b y ł a o p i s a n a równaniem:
S p e łn ie n ie tego warunku wymaga, aby sterow anie u ( t ) d la t > t^ było t a kim sterowaniem dopuszczalnym, k tó r e s p o łn ia równanie:
Oznaczany p r z e z G* z b i ó r w s z y s t k i c h punktów 11^ = U ^ t ^ ) = U ^ f t * ) p r z e s t r z e n i Ü.J t a k i c h , że r o z w i ą z a n i a rów nania (11) z warunkami początkowymi w p u nkcie U, s p e ł n i a j ą d l a t >• t . o g r a n i c z e n i a n a r z u c a n e p r z e z s t e r o w a -
*
J.
n i e d o p u s z c z a l n e . Cozywióoie t a k zd e f in io w a n y z b i ó r G} b ę d z i e zbiore m d o -
*— J.
o k n ię ty m . W podobny sposób w p r z e s t r z e n i s t a n u Z z d e f i n i u j e m y z b i ó r Gs - jako z b i ó r t a k i c h punktôv; , że o d p o w iad a ją one zgodnie z równaniem ( 5 ) w szy s tk im parom punktów (Y^ = C i 0^ £ G *). T e r a s w ięc p o s ta ra jm y s i ę z d o f i n l o w a i problem s t e r o w a n i a w p r z e s t r z e n i Z:
J e ż e l i p r z e z U * ( t ) ( d l a t >• t o ) ozraozymy s t e r o w a n i e o p ty m a ln e , k t ó r e w minimalnym c z a s i e T = t 1 - t Q p r z e p r o w a d z i nam o b i e k t w p r z e s t r z e n i Y z p o ł o ż e n i a początkowego ï o , do końcowego Y^ < prz.y ozym o o i e k t t e n d l a t >- t.j p o z o s t a n i e w tym p o ł o ż e n i u końcowym ( t z n . Y ( t ) = Y ( t ^ ) = Y^, d l a t > t . . ) , t o wówozas:
a ) 0 * ; t ) w p r z e d z i a l e c z a s u t [. < t < t 1 j e s t f u n k c j ą p r z e d z i a ł a m i s t a ł ą . W tym p r z e d z i a l e s t e r o w a n i e wynika z r o z w i ą z a n i a z a g a d n i e n i a s t e r o w a - n ' a czasow ^-optym aloego z punktu Zo do z b i o r u G*.
b ) d l a c z a s u t > t^ s t a r o w a n i e pokrywa s i ę z ro zw ią zan iem ró w n a n ia ( 1 1 ) , k t ó r e g o warunek początkowy j e s t w p u n k o ie :
Y ( t ) - Y1 = 0 d l a t > t 1 .
+ - - (1 1)
tt, = - D- 1 C Z1 . ( 11’ )
(Równanie (11’ ) można o trz y m a j z ( 5 ) p r z e z z a ł o ż e n i e Y « C ) .
Pewne problemy zw iązane z z a g a d n i e n ie m s t e r o w a n i a . . . 39
5 . O k r e ś l e n i e obsz arów G*■ ■ '■ ... Z
W l i t e r a t u r z e [ 1] - problem po sz u k iw a n ia ró w n a n ia t r a j e k t o r i i d la t > t 1 i w yznaczenie o b s z a r u G* j e s t szczegółow o ro z w a ż o n y . A utor wycho
d z i z z a ł o ż e n i a , że j e ś l i d l a t > t 1 o b i e k t j e s t w p o ł o ż e n i u Y (t)= Y (t., )=
= O, to Jak wynika z ( 5 )
P ierw gzy wyraz r o z w i ą z a n i a z a p i s a n y ja k o i l o c z y n s k a l a r n y b ę d z i e m i a ł p o - s t a ó :
d e f i n i c j i p ro w a d zi c z ę s t o do zło ż o n y c h z a l e ż n o ś c i . P r ó c z t e g o , z z. l e ż n o ś - o i t e j n ie wynika z b y t w y r a ź n i e , i ż z b i ó r G£ j e s t ś o i ś l e związany z p o s t a c i ą ró w n a n ia ( 1 1 ) , a J e s t to pomocne w z r o z u m ie n i u i s t o t y t r a n s f e r m a o j i T(Y /Z ) i p ó ź n i e j s z e g o sp o so b u d e f i n i o w a n i a problem u s t e r o w a n i a w p r z e s t r z e n i 2 . Rozważmy t e r a z t e n problem sz c z e g ó ło w o , w y k o r z y s t u j ą c do tego o e l u o b i e k t o p is a n y równaniem różniozkowym 2 r z ę d u w p o s t a o i :
0 = C Z + D U
s t ą d z ^ ( t ) = - h Q. u ( t ) o r a z u ( t ) = - • z ( t ) •
W s ta w ia ją c ( 5 ” ) do ( 9 ) otrzymamy
( 5 ’ )
( 5 ” )
Z = Q Z (1 2)
S tą d otrzymamy r o z w i ą z a n i e , będąoe r ó w n a n i e m ' t r a j e k t o r i i w G*
Z ( t ) - e (12» )
Z a k ł a d a j ą c , że s y g n a ł s t e r u j ą c y ma o g r a n i c z e n i e t y p u | u ( t ) | < 1 , o trz y m a my warunek na Gz
G+ = { z : | < q ( t - t 1 ) , Z 1,( t 1 ) > | < 1 , d la r >. > t j . ( 1 4 )
P o s ta ó ( 1 4 ) j e s t b a r d z o niewygodna w u ż y c i u . O k r e ś l e n i e z b i o r u G* z t e j
(L?‘ + Da1 + a 2 ) . y ( t ) » (bgD2 + b1D+bQ) . u ( t ) . ( 1 5 )
Równanie t o można z a p i s a ć w p o s t a c i m acierzow ej
- a 2 » -a-]
0 0 0
*2 b 1 *o Y = AY + BU. (1 6)
P r z e z znaną t r a n s f o r ma o ję otrzymujemy r ó w n a n ie , o p i s u j ą o e o b i e k t z a s t ę p - ozy w p r z e s t r z e n i s t a n u Z:
i (17)
Zz \ [^o-8^ “ ! 31*2 -*2b2_
oo można z a p i s a ć w ektorow e:
Ż = A Z + h u .
Gdy Y ( t ) = Y1 “ 0 d l a t > t 1 , t o j a k Już s t w i e r d z i l i ś m y musi być s p e ł n l o -
V ' 0 1 V + bi^ib2
Ż2 -*2 H >^1b-| a1^2 ^2b2
b2u + b 1 u + bpU » O (1 8 )
o r a z
| u ( t ) | < 1 .
Równanie ( 1 8 ) można z a p i s a ć w p o s t a c i m aoierzowej
ro i
b . ' o b1 s j - s r
, g d z i e u1 « ü U2 - u1
( 1 9 )
R o z w iąz u jąc u k ł a d (195 otrzymujemy r o z w i ą z a n i e w p o s t a c i p a r a m e t r y c z n e j
ui - «y** uio» ^ o }
"2 - ^ 2 ( t » U1 0 ' “2 0 ’ -
( 2 0 )
Pewne płoniemy gwlgsana t za gad u l e n lam s k r a w a n i a . . . 41
Tafclloa 1
Równania ( 2 0 ) w p o ł ą c z e n i u z o g r a n i o z e n i e m |u^ ( 1 51 < 1 R a ją szukany ob
s z a r iły. Załóżmy, że b r z e g t e g o o b s z a r u J e s t o p is a n y układem :
u„ = f . ( t )
1 1 (2 1)
u2 = f 2 ( t ) .
Z d r u g i e j s t r o n y wiemy, że J e ż e l i t r a n s f o r m a c j a o p i s a n a J e s t równaniem:
Z = A1 Y + B1 U (22)
( ró w n a n ie (2 2 ) J e s t In n ą p o s t a c i ą ró w n a n ia ( 5 ) t o d l a t > t^ Y ( t ) = 0 i s ł u s z n a J e s t z a l e ż n o ś ó :
Z = B ^ . ( 2 3 )
Ponieważ znany p o s ta ó z b i o r u &*, zatem z a l e ż n o ś ó (2 3 ) pomoże nam l i niowo ( p o p r z e z m a c ie rz B ^ ) p r z e k s z t a ł c i ó z b i ó r Gy w odpovjl a d a J ą c y mu na p ł a s z c z y ź n i e z - z b i ó r G^.
P onieważ z b i o r y Gy s ą z b i o r a m i wypukłymi i dom knię tym i, zatem p r z e k s z t a ł c e n i e ( 2 3 ) b ę d z i e p r z e k s z t a ł c e n i e m lin iowym ty c h zbiorów w z b i o r y G*. Siając własności liniowych p r z e k s z ta łc e ń można prosto znajdowaó zbiory g£ .
O becnie p r z e d s t a w i ę k i l k a p rzykładów o b s z a r u Gy d l a o b i e k t u 2 r z ę d u o - p is a n e g o równaniem różniczkowym: ( 1 5 )
(D2 + a^D + a 2 ) . y ( t ) = (D2b 2 + Db^ + b Q) . u ( t ) .
7 . R e a l i z a c j a o b i e k t u ek w iw a len tn eg o i u k ł a d u s t e r o w a n i a
By o c e n ió w s p ó ł p r a c ę r z e o z y w l s t e g o u k ł a d u s t e r u j ą o e g o z ekwiwalentnymi o b i e k t e m , zmodelowano c a ł y u k ł a d r e g u l a c j i na maszynie a n a l o g o w e j . O b ie k t ste ro w a n y j e s t o p is a n y równaniem różniczkowym 2 r z ę d u . J a k wiadomo, d la t a k i e g o o b i e k t u o b s z a r G* może byó punktem, odolnkie m l u b i n n ą f i g u r ą p ł a s k ą .
Zastanówmy s i ę Jak1 wygląda o a ł y u k ł a d r e g u l a c j i . J a k t o j e s t pokazane na r y s . 1 a , J e s t t o u k ł a d z a m k n ię ty z a w i e r a j ą c y dwa c z ł o n y : o b le K t z a s t ę p czy i u k ł a d s t e r u j ą c y .
Przy ozyn
US 1. - u k ł a d s t e r u j ą c y , r e a l i z u j ą c y s t e r o w a n i e w G*
TJS 2 - u k ł a d s t e r u j ą c y , r e a l i z u j ą o y s t e r o w a n i e poza obszarem G*
BP - u k ł a d w y b i e r a j ą c y s t e r o w a n i e z US 1 , l u b z US 2 w z a l e ż n o ś c i od p o ł o ż e n i a w e k to r a s t a n u o b i e k t u w p r z e s t r z e n i s t a n u Z.
PSwne proolemy zw iązane z z a g a d n ie n ie m 's t e r o w a n i a . . . 43 N a to m ia s t s t r u k t u r ę o b i e k t u z a s t ę p c z e g o p r z e d s ta w io n o na r y s . I b . Na r y s . 2 p r z e d s ta w io n o d o k ł a d n i e j budowę o b i e k t u z a s t ę p c z e g o ,
U Obiekt Z
ekHiual.
U U
Obiekt Y
T M Z
R y s . 1a R y s . 1 b
g d z i e :
u - s y g n a ł s t e r u j ą c y
Y - s y g n a ł wyjściowy o b i e k t u ste ro w a n eg o
R - o z ło n dynamiczny ( r ó ż n i c z k u ją c y )
A1 , B1 - o p e r a t o r y l i n i o w e ( p a t r z równanie 22 i 5)
W - s u m a t o r .
Problem t w o r z e n i a o b i e k t u ekw iw a lentnego p r z e d s t a w i ę na p r z y k ł a d z i e obiek-4 t u o p is a n e g o r ó w n a n i e ą
(D2 .+ Da1 + a 2 ) . y ( t ) = (b^D + b o ) . u ( t ) . .
O dpowiadająca temu rów naniu s t r u k t u r a o b i e k t u z a s t ę p c z e g o 'p r z e d s t a w i o n a J e s t na r y s . 3 .
Rozważny p o s z c z e g ó ln e elem enty o b i e k t u , z a ą t ę p c ę e g o
- mamy o b i e k t ste ro w a n y - zamodelowany na maszynie a n a lo g o w e j ■ p o s i a d a . Jako w e j ś c i e s y g n a ł u ( t ) o r a z dwa w y j ś c i a ^ 1 J 2
- o p e r a t o r A1 - w tym przypadku n i e i s t n i e j e , ponieważ m a o le rz A^ J e s t m a c ie rz ą Jednostkową
- o p e r a t o r - z r e a liz o w a n y J e s t Jako wzmacnlaoz J ( l n w e r t o r ) - o p e r a t o r N - j e s t sumatorem.
A n a l i z u j ą c budowę p o sz c z e g ó ln y c h członów u k ła d u ( r y s . 2 ) możemy w s k a - zaó p o t e n c j a l n e ź r ó d ł a b łę dów , d z i ę k i którym p r o c e s r e g u l a c j i j e s t w w i e -
________
i o
_
L_1 J
jy*.
/
ty*
- /
L.
- S —L 4 r łl
...
b r r o w
O
R y s . 3
l u p rzy p a d k a c h b a r d z o o d l e g ł y od przewidywanego t e o r e t y c z n i e . P rz e d e w szy s tk im o p e r a t o r y A^ i W r e a l i z u j ą zadane o p e r a c j e z pewnym b łę d e m . Wyjątkowego omówienia wymaga c z ł o n R . J e s t t o u k ł a d elementów r ó ż n i c z k u j ą c y c h . Znane są problemy j a k i e I s t n i e j ą przy d o k ł a d n e j r e a l i z a c j i t e j o - p e r a c j l , d l a t e g o t e ż przy o c e n i e prac y t a k i e g o e l e m e n tu n a l e ż y u w zg lę d n ić ta k ż e w y s tę p u j ą c y t u b ł ą d m etody.
Ponieważ wskazane z o s t a ł y główne ź r ó d ł a b ł ę d n e j prac y o b i e k t u z a s t ę p c z e g o , zastanówmy s i ę k r ó t k o nad d o k ł a d n o ś c i ą prac y u k ła d u s t e r u j ą c e g o . J e ż e l i rozważymy n p . o b i e k t , o p is a n y równaniem'.
y « b 1u + t c u .
Z a k ł a d a j ą c , że b^ = i , b Q = & > 0 , o r a z | u j < 1 s t w i e r d z i m y , że z b i ó r G* J a s i t u z d e f in io w a n y n a s t ę p u j ą c o :
a s t r a t e g i a optym alna w p ł a s z c z y ź n i e Z b ę d z i e t a k a , Jak to pokazano na r y s . 4 .
Tyra c z te re m przypadkom s t e r o w a n i a , k t ó r e s ą uw id ooznione na r y s . 4 , od
p o w iad a ją p r z e b i e g i czasowe sygnałów s t e r u j ą c y c h pokazane na r y s . 4 .
J e ż o l i t - >T+ oraz G^ o k r e ś l i ć fu n k c ją z1 = & (Z2 ) , to sterow anie po
za G* można o k r e ś l i ć Jako: z
u » s i g n ^ ( z 2 ) - z j .
Pewne problemy zw iązane z z a g a d n i e n ie m s t e r o w a n i a » . . _____________________ 45
R y s . 4 R y s . 4 ł
W G* n a t o m i a s t :
N a to m ia s t s t r u k t u r a u k ł a d u s t e r u j ą c e g o może być t a k a , Jak t o pokazano na r y s . 5 .
i
Obiekt ■ U L t - , .u m
Zt
t y
i p
US2
i b A R y s . 5
Pokazane na r y s . 5 u k ła d y US1 1 (JS2 mogą byó z r e a l i z o w a n e w różny s p o s ó b . Je dna z t a k i c h możliwych r e a l i z a c j i j e s t pokazana na r y s . 6a i r y s . 6 b .
J a k więc w ld a ó , wymagane J e s t , by US2 wykrywał o b s z a r G* będący o d c i n k ie m . T a k i u k ł a d j e s t nie m ożliw y do z r e a l i z o w a n i a , d l a t e g o t e ż budujemy u- k ł a d wykrywająoy o b s z a r G ^ będący p r o s to k ą t e m ( |z^| < 6 jz2 | < i ) . W " z e c z y w i s t o ś c i otrzymujemy o l s z a r G^2 o k r e ś l o n y n a s t ę p u j ą c o :
1 + ó., < Z? < - 1-H52 J <s3 < Z1 <
W n io sk i odnosz ąc e s i ę do prac y te g o u k ła d u s t e r u j ą c e g o można sformułować n a s t ę p u j ą c o :
a ) Nie Każdy o b s z a r Gz j e s t możliwy do r e a l i z a c j i z zasady b u d u je s i ę o b - sz a* , z1 / *B.
b ) W rze es y w i s t o ś c i o trzymujemy w wyniku o b s z a r G*2 r - J e s t to poważ
ne ź r ó d ł o b ł ę d u .
c ) Sam p r z e k a ź n i k P d z i a ł a j ą c z op ó źn ien ie m w nosi dodatkowy b ł ą d .
d ) W r z e c z y w i s t o ś c i s y g n a ł u ( t ) , j a k i ma byó dołą cz o n y na w e j ś c i e o b i e k t u , gdy 2 6 G* r ó ż n i s i ę w y ra ź n i e od wymaganego. Tak n p . w naszym p r z y p a d ku żądamy, by u = - z 2 , a w r z e c z y w i s t o ś c i ma on p o s ta ó u 1 = - k z 2 - 6
(p rz y czym Ic ¡i 1 1 i / 0 ) .
Omówione powyżej ź r ó d ł a błędów w r z e c z y w is ty m u k ł a d z i e o d d z i a ł y w u j ą r a zem i r e z u l t a t końcowy s t e r o w a n i a J e s t tr u d n y do p r z e w i d z e n i a . Przy r e a l ł -
Pewne problemy związane z z a g a d n ie n ie m s t a l o w a n i a . 47
z a o j i obiektów na maszynie analogowej otrzymano r e z u l t a t y , a n a l i z a k tó rych wykazała, ża najpow ażniejszy wpływ na dokładność praoy układu wywie
r a j ą :
1) Różnina między żądanym obszarom G* i rzeczywistym G^2* 2) Dokładność r e a l i z a o j l t r a n s f o r m a c j i T (Z /Z ).
Na r y s . 7 przedstawiono proces sterow ania obiektem opisanym równaniem różniczkowym
j ■ » + f t t (¡6 > 0 ) .
R ę k o p is z ło ż o n o w R e d a k c j i w d n iu 2 0 .1 .1 9 7 0 r .
LITERA TD RA
[1] A th an s K i c h a e l , F a l b L . P e t e r - OPTIMAL OCNTROL, Ko GRAW RILL BOOK COMPANY, New York 1 9 6 6 .
[2] B o ł t i a n s k i j W.G. - M a t i e m a t i o z i e s k l j e m is to dy o p tim a ln o g o u p r a w l i e n i - J a , Moskwa 1966 r .
[3] Dmowski R. - STEROWANIE OPTZMALHE DLA OBIEKTYW O TRZEPPSTOKCŚCl ZAWIE
RAJĄCEJ ZERa - PP.ACA DOKTORSKA (1964 r . ) .
[4] G e ss in g R . - STEROWANIE CZASCWO-OPTYMALNE OBIEKTAMI O FUNKCJACH PRZEJ
ŚCIA ZAWIERAJĄCYCH ZERA. PRACA HABILITACYJNA NR 91 - ZESZYT NAUKOWY PO LIT . ŚL. Nr 251 (1969 r . ) .
[5] G e s s in g R. - S ta r o w a n ie ozasowo-optymalne d l a o b ie k tó w , k t ó r y o h f u n k c j e p r z e j ś c i a p o s i a d a j ą z e r a . Arcalwum a u t o m a t y k i i t e l e m e c h a n i k i (w d r u k u ) .
[ 6] G e s s ln g R. - Time O p tim a l C o n t r o l o f P l a n t s Whose T r a n s f e r F u o t i o n C o n t a in s Z ero3 . Z a st o s o w a n ia m a te m a ty k i (w d r u k u ) .
[7] Feldbaum A.A . - Podstawy t e o r i i optym alnych układdw s t e r o w a n i a —196'/ s . [ 8] P o n t r i a g i n L . S . , B o ł t l a n s k i j W.G., G am krelidze R.W ., Miszozenko E . F . - M a t i e m a t i o z i e s k a j a t i e o r i j a o p t i m a l n j o h p r c o le s s o w - Moskwa-19 6 1 r .
P e 3 d u e
B CTaTŁe flaHo o n p e^ eaeK ae n p o d a e u u ynpaBJieHua b npooT pascT B e y h b npo- CTpaacTBe
3
s r a od^eKTOB, onzcaHHŁcc $yHKUnek n e p e ^ a i n , HMenmefi H yai., P acouoT peK a TpaaciJopM aiuta T ( Y / z ) , MeTofl c o h c k s coBOKynHOCTeii a T a a - x e p e a a H s a u a a saaHBaneHTHoro o d i e a i a . c yueT ou noTeHUHaaBiant hotovshkob o-ohóok, aoTopŁie H o ry r BUCTynart a p e a atH o ii cw cTeue p e ry n iip o B a m ia .
S u m m a r y
l a th e p a p e r t h e problem s o f c o n t r o l i n th e N - d i m e n t i o n a l phase sp a c e Y and Z f o r o b j e c t s whioh were d e f i n e d by th e t r a n s f e r f u n o t i o n w i t h z e r o s haYe been d i s c u s s e d . The f o l l o w i n g phenomena were d e s c r i b e d i n th e p a p e r : . t r a n s f o r m a t i o n T (Y /Z ) , method o f l o o k i n g f o r G*, and method o f e q u i v a l e n t o b j e o t r e a l i z a t i o n , t a k i n g l n t h a o o o u n t p o s s i b l e s o u i o e 3 o f e r r o r s , which may a o c o u r in t h e a c t u a l o o n t r 'o l s y s t e m s .
