Liczba zdarzeń w doświadczeniach losowych. Wprowadzenie Przeczytaj Infografika Sprawdź się Dla nauczyciela

(1)

Liczba zdarzeń w doświadczeniach losowych

Wprowadzenie Przeczytaj Infograﬁka Sprawdź się Dla nauczyciela

(2)

Czy wiesz, że w ruletkę grali już starożytni Grecy? Nowoczesną ruletkę wymyślił w 1645 r. nie kto inny jak matematyk – Blaise Pascal. Ruletka zwana jest też szatańską grą, bo suma wszystkich liczb w ruletce daje 666.

Badania nad możliwością wygranych w grach hazardowych, prowadzone miedzy innymi przez Pascala, przyczyniły się do powstania dziedziny matematyki, którą dzisiaj nazywamy rachunkiem

prawdopodobieństwa.

Koło ruletki europejskiej

Źródło: licencja: CC BY 2.0, dostępny w internecie: commons.wikimedia.org.

W 1842 r. francuski polityk i historyk Louis Blac wraz z bratem Francisem dołożyli 0 do ruletki, aby zwiększyć szanse wygrania kasyna. Założyli też pierwsze kasyno w Monako.

W ruletce, inaczej niż w innych grach hazardowych, dość łatwo obliczyć szansę traﬁenia konkretnego numeru.

Więc warto zgłębić tajniki rachunku prawdopodobieństwa, a w szczególności sposób określania liczby zdarzeń elementarnych oraz liczby zdarzeń sprzyjających dla danego doświadczenia losowego. Bo może i Ty kiedyś pojedziesz do Monako ...

Twoje cele

Określisz liczbę zdarzeń sprzyjających danemu zdarzeniu.

Wyznaczysz liczbę zdarzeń elementarnych danego doświadczenia losowego.

Wykorzystasz regułę mnożenia oraz regułę dodawania do zliczania obiektów kombinatorycznych.

Przedstawisz graﬁcznie przebieg doświadczenia wieloetapowego.

Liczba zdarzeń w doświadczeniach losowych

Źródło: licencja: CC 0, dostępny w internecie:

pxhere.com.

(3)

Przeczytaj

Chcąc określić liczbę wyników doświadczenia losowego, będziemy najczęściej korzystać ze wzorów kombinatorycznych, które przypominamy poniżej.

Wzory kombinatoryczne

Opis wzoru Wzór

Liczba permutacji zbioru n–elementowego. Pn=n!

Liczba k–elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru n–elementowego. Vnk=n!n-k!

Liczba k–elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru n–elementowego. Wnk=nk

Liczba k–elementowych kombinacji zbioru n–elementowego. Cnk=nk

Przykład 1

Doświadczenie losowe polega na wystawieniu ocen czterem uczniom, przy czym żaden nie może otrzymać oceny niedostatecznej ani celującej.

Określimy liczbę zdarzeń elementarnych dla tego zdarzenia, korzystając ze wzoru na wariację z powtórzeniami.

Każdy z czterech uczniów może otrzymać piątkę, czwórkę lub trójkę (trzy możliwości).

Zatem:

Ω=W34=34=81 Odpowiedź:

Liczba zdarzeń elementarnych jest równa 81.

Jeśli rozpatrywane zdarzenia są rozłączne, to w ich zliczaniu często przydaje się znajomość reguły mnożenia.

Reguła: Reguła mnożenia

Jeżeli wynik pewnego doświadczenia losowego zależy od kolejno podejmowanych m decyzji, to liczba wszystkich różnych wyników tych decyzji jest równa:

w1·w2·...·wm gdzie:

wk 1≤k≤m – liczba możliwości wyboru przy podejmowaniu decyzji k.

Przykład 2

Sześć osób ustawianych jest w szereg. Określimy liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu: panie A i B będą stały obok siebie.

Panie A i B mogą stać obok siebie w kolejności AB lub BA – mamy 2 możliwości.

Jeśli ponumerujemy miejsca, na których może stać sześć danych osób: 1, 2, 3, 4, 5, 6 to panie mogą zmieniać numery swoich miejsc następująco:

1 i 2 2 i 3 3 i 4

(4)

4 i 5

5 i 6 – 5 możliwości.

Pozostałe cztery osoby możemy ustawić na pozostałych czterech miejscach na 4! sposoby.

Zgodnie z regułą mnożenia otrzymujemy:

2·5·4!=10·24=240 Odpowiedź:

Mamy 240 zdarzeń sprzyjających zdarzeniu: panie A i B będą stały obok siebie.

Przykład 3

Doświadczenie polega na tworzeniu z cyfr 1, 2, 3, 4 liczb trzycyfrowych o niepowtarzających się cyfrach. Określimy moc zbioru zdarzeń elementarnych dla tego doświadczenia.

Zapiszmy liczbę trzycyfrową w postaci ABC, gdzie A – cyfra setek, B – cyfra dziesiątek, C – cyfra jedności.

Wtedy na miejscu:

A – może stać jedna z czterech cyfr 1, 2, 3, 4 – cztery możliwości;

B – może stać jedna z pozostałych trzech cyfr – trzy możliwości;

C – pozostały już tylko dwie cyfry do wyboru – dwie możliwości.

Aby określić liczbę wszystkich możliwości, korzystamy z reguły mnożenia.

4·3·2=24 Odpowiedź:

Można utworzyć 24 liczb spełniających warunki zadania, czyli Ω=24.

Przykład 4

Z urny zawierającej kule: białą, niebieską, żółtą, ﬁoletową losujemy jednocześnie trzy kule. Określimy ile jest możliwych wyników losowań.

Wydaje się, że rozwiązanie powinno być analogiczne jak w Przykładzie 3. Jednak tak nie jest, bo przy jednoczesnym losowaniu, nie jest ważna kolejność losowania kul.

Zatem otrzymany wynik 4·3·2=24 musimy podzielić przez liczbę ustawień trzech kul, czyli 3·2·1=6

Otrzymujemy:

24:6=4

Zauważmy, że wynik można było otrzymać, wypisując wszystkie możliwości:

b, n, ż b, n, f b, ż, f n, ż, f

(5)

Odpowiedź:

Mamy cztery możliwości wyników losowań.

Nie zawsze będziemy rozpatrywać tak proste przykłady, jak powyżej, zatem warto przypomnieć jeszcze jedną przydatną regułę.

Reguła: Reguła dodawania

Jeżeli decyzję d1 można podjąć na w1 sposobów, a decyzję d2 na w2 sposobów oraz decyzje d1 i d2 wzajemnie się wykluczają, to liczba sposobów na jakie można podjąć te decyzje jest równa:

w1+w2

Zatem, gdy dany zbiór jest sumą rozłącznych parami podzbiorów i znana jest liczba elementów każdego podzbioru, to liczba elementów zbioru jest sumą liczb elementów wszystkich podzbiorów.

Przykład 5

Ze zbioru cyfr 1, 2, 3, 4 losujemy czterokrotnie ze zwracaniem po jednej cyfrze. Wylosowane cyfry zapisujemy jako kolejne cyfry liczby czterocyfrowej. Obliczymy, ile można otrzymać w ten sposób liczb, których suma cyfr jest równa 6.

Rozpatrzymy dwa przypadki:

1. W zapisie liczby występuje trzy razy cyfra 1 oraz jeden raz cyfra 3. Są cztery takie liczby:

1113, 1131, 1311, 3111.

2. W zapisie liczby występuje dwa razy cyfra 2 i dwa razy cyfra 1. Jest sześć takich liczb:

1122, 2211, 1212, 2112, 2121, 1221.

Z reguły dodawania wynika, że wszystkich liczb spełniających warunki zadania jest:

4+6=10 Odpowiedź:

Można otrzymać 10 liczb spełniających warunki zadania.

W zadaniach probabilistycznych często zachodzi potrzeba określenia liczby możliwych podzbiorów zbioru zdarzeń elementarnych. Może w tym pomóc twierdzenie przedstawione poniżej.

Twierdzenie: Twierdzenie o liczbie podzbiorów zbioru zdarzeń elementarnych

Jeżeli zbiór zdarzeń elementarnych Ω jest zbiorem skończonym i zawiera n elementów, to liczba wszystkich możliwych podzbiorów tego zbioru (czyli zdarzeń losowych) jest równa 2n (włączając w to zbiór pusty i Ω).

Wśród nich podzbiorów k–elementowych jest:

nk=n!k!n-k!

gdzie:

k=0, 1, 2, ..., n.

Przykład 6

Niech Ω=1, 2, 3, 4. Zbiór ten zawiera cztery elementy. Na podstawie twierdzenia o liczbie podzbiorów zbioru zdarzeń elementarnych, stwierdzamy, że można utworzyć 24=16 podzbiorów tego zbioru.

Wypiszmy te zbiory (zdarzenia):

1, 2, 3, 4 – są 4 podzbiory jednoelementowe,

(6)

1, 2, 1, 3, 1, 4, 2, 3, 2, 4, 3, 4 – jest 6 podzbiorów dwuelementowych, 1, 2, 3, 1, 2, 4, 1, 3, 4, 2, 3, 4 – są 4 podzbiory trójelementowe, Ω, ∅ – są 2 podzbiory niewłaściwe.

Przykład 7

Z talii 52 kart losujemy bez zwracania dziesięć kart.

Określimy liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu: A – wylosowano jednego asa, dwa króle i trzy damy.

W talii są cztery asy, cztery króle i cztery damy:

41 – wybieramy jednego asa spośród czterech, 42 – wybieramy dwa króle spośród czterech, 43 – wybieramy trzy damy spośród czterech,

404 – pozostałe cztery karty, które losujemy, wybieramy spośród czterdziestu pozostałych po odrzuceniu wszystkich asów, wszystkich króli i wszystkich dam.

Korzystając z reguły mnożenia, otrzymujemy:

A=41·42·43·404

A=4!1!·3!·4!2!·2!·4!3!·1!·40!4!·36!

A=4·37·38·39·40=8773440 Odpowiedź:

Liczba zdarzeń sprzyjających wylosowaniu z talii kart asa, dwóch króli i trzech dam jest równa 8773440.

W określaniu liczby zdarzeń elementarnych lub liczby zdarzeń sprzyjających dla danego doświadczenia losowego wieloetapowego, może niekiedy pomóc interpretacja graﬁczna tego doświadczenia.

Przykład 8

Mamy dwie urny. W pierwszej urnie są trzy kule białe i dwie zielone. W drugiej urnie jest jedna kula biała, 3 zielone i jedna kula niebieska. Rzucamy monetą. Jeśli wypadnie orzeł – wyciągamy kulę z pierwszej urny. Jeśli wypadnie reszka – wyciągamy kulę z drugiej urny. Obliczymy moc zbioru zdarzeń elementarnych dla tego doświadczenia. Określimy liczbę zdarzeń sprzyjających wyciagnięciu kuli zielonej lub niebieskiej.

Przebieg doświadczenia zilustrujemy za pomocą drzewa. Zaczynamy od punktu, który nazwiemy START. Na starcie znajduje się moneta, którą rzucamy. Rezultaty rzutu monetą umieszczamy w węzłach. Odcinki łączące kolejne węzły to krawędzie. Ciąg krawędzi łączących początek drzewa z węzłem końcowym to gałąź.

(7)

Każde zdarzenie elementarne (czyli wynik) odczytujemy poruszając się tylko po jednej z jego gałęzi.

Zatem:

Ω={(O, B),(O, Z), (R,B),(R, Z),(R, N)} i Ω=5.

Oznaczmy:

A – wyciągnięto kulę zieloną lub niebieską.

Z drzewka odczytujemy zdarzenia sprzyjające zdarzeniu A.

A={(O, Z), (R, Z), (R, N)}, zatem A=3.

Słownik

twierdzenie o liczbie podzbiorów zbioru zdarzeń elementarnych

jeżeli zbiór zdarzeń elementarnych Ω jest zbiorem skończonym i zawiera n elementów, to liczba wszystkich możliwych podzbiorów tego zbioru (czyli zdarzeń losowych) jest równa 2n (włączając w to zbiór pusty i Ω); wśród nich podzbiorów k–elementowych jest:

nk=n!k!n-k!

gdzie:

(8)

k=0, 1, 2, ..., n

(9)

Infograﬁka

Polecenie 1

Określając liczbę zdarzeń elementarnych danego doświadczenia losowego lub liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających danemu zdarzeniu, często wykorzystujemy tzw. zasadę włączeń i wyłączeń. Obejrzyj infograﬁkę, pokazującą przykłady zastosowania tej metody.

1

(10)

2

3

4

(11)

4

5

6

7

8

9

10

11

(12)

1. Zapisy równoważne

A∩B=A+B-|A∪B|

A∪B+A∩B=A+|B|

2. Wypisujemy wszystkie liczby naturalne mniejsze od 1000. Ustalimy ile jest zdarzeń sprzyjających zdarzeniu: P - wypisane przez nas liczby są podzielne przez 2, 3 lub 5.

3. {audio}Jest 499 liczb podzielnych przez 2.

4. {audio}Są 333 liczby podzielne przez 3.

9. {audio}Są 33 liczby podzielne przez 30.

10. {audio}Korzystamy z zasady włączeń i wyłączeń dla trzech zbiorów.

11. {audio}Liczba zdarzeń sprzyjających jest równa 733.

Polecenie 2

W grupie 104 osób 86 uczy się języka francuskiego, 44 osoby uczą się języka angielskiego, a 4 osoby nie uczą się żadnego z tych języków. Spośród tych osób wylosowano jedną osobę. Oblicz, ile jest zdarzeń sprzyjających zdarzeniu: Z – wylosowana osoba uczy się języka francuskiego i języka angielskiego.

(13)

Sprawdź się

Ćwiczenie 1

Doświadczenie polega na ustawieniu w sposób losowy pięciu osób w szeregu. Ile jest zdarzeń sprzyjających zdarzeniu: między panem W i panią W będą stały dwie osoby?

32 25 24 10

輸

Ćwiczenie 2

Na klombie rosną róże, bratki i stokrotki. Zerwano w sposób losowy pięć kwiatów. Moc zbioru zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu jest równa:

15 21 35 53

輸

Ćwiczenie 3

Doświadczenie losowe polega na tworzeniu wyrazów ze wszystkich liter słowa biurko. Określ liczbę zdarzeń sprzyjających podanym zdarzeniom. Wpisz odpowiednie liczby.

Zdarzenie A: wszystkie utworzone wyrazy rozpoczynają się od litery u. Liczba zdarzeń sprzyjających wynosi: ...

Zdarzenie B: wszystkie utworzone wyrazy rozpoczynają się od sylaby ko. Liczba zdarzeń sprzyjających wynosi: ...

Zdarzenie C: wszystkie utworzone wyrazy rozpoczynają się od sylaby biu. Liczba zdarzeń sprzyjających wynosi: ...

Zdarzenie D: żaden z utworzonych wyrazów nie kończy się na ur. Liczba zdarzeń sprzyjających wynosi:

...

醙

(14)

Ćwiczenie 4

Dopasuj opis doświadczenia losowego z odpowiadającą mu liczbą zdarzeń elementarnych.

<mi>n</mi><mo>-</mo><mi>k</mi></mrow></mfenced><mo>!</mo></mrow></mfrac></math>,

<math><mfenced separators="|"><mtable><mtr><mtd><mi>n</mi><mo>+</mo><mi>k</mi><mo>-

</mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mtd></mtr>

</mtable></mfenced></math>, <math><msup><mi>n</mi><mi>k</mi></msup></math>

Rozmieszczamy k nierozróżnialnych kul w n

ponumerowanych szuﬂadach, przy założeniu, że w każdej szuﬂadzie może znaleźć się co najwyżej jedna kula.

Rozmieszczamy k rozróżnialnych kul w n

ponumerowanych szuﬂadach, przy założeniu, że w każdej szuﬂadzie może znaleźć się co najwyżej jedna kula.

Rozmieszczamy k identycznych kul w n rozróżnialnych szuﬂadach.

醙

Ćwiczenie 5

Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe.

Z talii 52 kart można wylosować 10 kart tak, aby był wśród nich co najmniej jeden as na 5210-4810 sposobów.

Z talii 52 kart można wylosować 6 kart tak, aby były wśród nich karty wszystkich kolorów na 4·131·132·42 sposobów.

Z talii 52 kart można wylosować 10 kart tak, aby był wśród nich dokładnie jeden as na 489·41 sposobów.

Z talii 52 kart można wylosować 13 kart tak, aby wśród nich były dokładnie dwa asy i dokładnie dwie damy na 42·449·42 sposoby.

醙

(15)

Ćwiczenie 6

Doświadczenie polega na zapisywaniu liczb ośmiocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero.

Określamy ile jest zdarzeń sprzyjających zdarzeniu: A – zapisano takie liczby, w których występują dwie dziewiątki i trzy piątki.

Uzupełnij rozwiązanie zadania, przeciągając odpowiednie liczby.

49, 5, 28, 73, 20, 3, 74, 37, 7

Wybieramy miejsce dla dziewiątek. Jest 82= takich miejsc.

Wybieramy miejsce dla piątek. Jest takich miejsc.

Na pozostałych miejscach mogą wystąpić cyfry: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8.

Jest ciągów trójelementowych ze zbioru siedmioelementowego.

Wynika z tego, że:

A=42·74·

醙

Ćwiczenie 7

Doświadczenie polega na umieszczeniu w czterech szuﬂadach sześciu krawatów i pięciu apaszek. kreśl liczbę zdarzeń elementarnych tego doświadczenia. Wynik zapisz w postaci jednej potęgi.

難

Ćwiczenie 8

Wielokąt wypukły ma n wierzchołków n≥3, n∈ℕ. Doświadczenie polega na jednoczesnym wylosowaniu dwóch wierzchołków. Określ liczbę zdarzeń sprzyjających wylosowaniu wierzchołków wyznaczających przekątną tego wielokątna.

難

(16)

Dla nauczyciela

Autor: Justyna Cybulska Przedmiot: Matematyka

Temat: Liczba zdarzeń w doświadczeniach losowych Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres rozszerzony, klasa III lub IV Podstawa programowa:

XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Zakres podstawowy.

Uczeń:

1) oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji

kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii

kompetencje cyfrowe

kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się Cele operacyjne:

Uczeń:

określa liczbę zdarzeń sprzyjających danemu zdarzeniu

wyznacza liczbę zdarzeń elementarnych danego doświadczenia losowego

wykorzystuje regułę mnożenia oraz regułę dodawania do zliczania obiektów kombinatorycznych przedstawia graﬁcznie przebieg doświadczenia wieloetapowego

Strategie nauczania:

konstruktywizm

Metody i techniki nauczania:

rybki w akwarium praca z ekspertem Formy pracy:

praca w grupach

praca całego zespołu klasowego Środki dydaktyczne:

komputery z dostępem do Internetu w takiej liczbie, żeby każdy uczeń miał do dyspozycji komputer Przebieg lekcji

Faza wstępna:

1. W domu wybrana grupa uczniów – ekspertów – miała za zadanie przygotowanie mini wystąpień

(17)

mających na celu przypomnienie wzorów, twierdzeń i sposobów wyznaczania liczby obiektów kombinatorycznych.

2. Początek zajęć jest prowadzony metodą „rybki w akwarium”. Uczniowie przysłuchują się dyskusji (wzbogaconej prezentacjami) prowadzonej przez uczniów – ekspertów, przypominającej

najważniejsze sposoby zliczania obiektów kombinatorycznych.

3. Nauczyciel podaje temat i cele zajęć, uczniowie ustalają kryteria sukcesu.

Faza realizacyjna:

1. Uczniowie pracują w małych grupach. Pod kierunkiem ekspertów zapoznają się z treściami zapisanymi w sekcji „Przeczytaj” i rozwiązują ćwiczenia interaktywne.

2. Podsumowaniem tej części zajęć jest opracowanie i rozwiązanie przez każdą grupę zadania, którego rozwiązanie wymaga zastosowania zasady włączeń i wyłączeń dla trzech zbiorów danych. Mogą przy tym korzystać z infograﬁki.

3. Każda z grup prezentuje swoje zadanie na forum klasy.

Faza podsumowująca:

1. Eksperci omawiają pracę grup, którymi kierowali, wskazany przez nauczyciela uczeń przedstawia krótko najważniejsze elementy zajęć, poznane wiadomości, ukształtowane umiejętności.

2. Nauczyciel omawia przebieg zajęć, wskazuje mocne i słabe strony pracy uczniów, ocenia pracę grup i par.

Praca domowa:

Zadaniem uczniów jest napisanie co najmniej dwóch przykładów praktycznego wykorzystania sposobów określania liczby zdarzeń elementarnych/sprzyjających danym zdarzeniom.

Materiały pomocnicze:

Podzbiory zbioru skończonego (treść podstawowa) Reguła mnożenia, reguła dodawania

Wskazówki metodyczne:

Infograﬁkę można wykorzystać w czasie zajęć poświęconych działaniom na zbiorach.