Nierówności sprzeczne i tożsamościowe. Wprowadzenie Przeczytaj Infografika Sprawdź się Dla nauczyciela

(1)

Nierówności sprzeczne i tożsamościowe

Wprowadzenie Przeczytaj Infograﬁka Sprawdź się Dla nauczyciela

(2)

Nie zawsze uda się znaleźć ograniczony (bądź jednostronnie ograniczony) przedział będący rozwiązaniem danej nierówności.

W tej lekcji poznasz nierówności, których rozwiązanie nie istnieje lub wręcz przeciwnie – jest ona spełniana przez wszystkie liczby rzeczywiste.

Twoje cele

Sformułujesz deﬁnicję nierówności tożsamościowych oraz deﬁnicję nierówności sprzecznych.

Rozpoznasz nierówności tożsamościowe i nierówności sprzeczne.

Dopiszesz do nierówności takie wyrażenia arytmetyczne lub algebraiczne, aby otrzymać nierówność tożsamościową lub sprzeczną.

Nierówności sprzeczne i tożsamościowe

Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

(3)

Przeczytaj

Przykład 1

Przeanalizujemy rozwiązanie nierówności x²> - 9.

Dziedziną nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych. Po podstawieniu do lewej strony nierówności dowolnej liczby rzeczywistej otrzymamy liczbę nieujemną (bo kwadrat dowolnej liczby jest zawsze większy lub równy 0). Prawa strona nierówności jest liczbą ujemną. Zatem nierówność L > P jest zawsze prawdziwa.

Zbiorem rozwiązań nierówności x²> - 9 jest zbiór ℝ.

Przykład 2

Rozwiążemy nierówność i sprawdzimy, ile liczb rzeczywistych należy do zbioru rozwiązań nierówności

x +

2x -4

2 < 2(x + 3).

Dziedziną nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych.

2x + 2x - 4 < 4(x + 3) 4x - 4 < 4x + 12 4x - 4x < 12 + 4

0x < 16 0 < 16

Nierówność ta jest zawsze prawdziwa, niezależnie od tego, jaką liczbę podstawimy w miejsce x.

Zbiorem rozwiązań nierówności x +

2x -4

2 < 2(x + 3) jest zbiór ℝ.

Deﬁnicja: Nierówność tożsamościowa

Nierównością tożsamościową nazywamy nierówność, która jest spełniona przez każdą liczbę należącą do dziedziny tej nierówności.

Przykład 3

Przeanalizujemy rozwiązanie nierówności x²< - 2.

Dziedziną nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych. Po podstawieniu do lewej strony nierówności dowolnej liczby rzeczywistej otrzymamy liczbę nieujemną (bo kwadrat dowolnej liczby jest zawsze większy lub równy 0). Prawa strona nierówności jest liczbą ujemną. Zatem nierówność L < P jest zawsze fałszywa. Nie istnieje liczba, która będzie spełniała tę nierówność.

Zbiorem rozwiązań nierówności x²< - 2 jest zbiór pusty.

Przykład 4

Rozwiążemy nierówność i sprawdzimy, ile liczb rzeczywistych należy do zbioru rozwiązań nierówności

x +

3x -1

2 > 2,5(x + 1).

Dziedziną nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych.

2x + 3x - 1 > 5(x + 1)

(4)

5x - 1 > 5x + 5 5x - 5x > 5 + 1

0x > 6 0 > 6

Nierówność ta jest zawsze fałszywa, niezależnie od tego, jaką liczbę podstawimy w miejsce x.

Nie istnieje liczba, która będzie spełniała tą nierówność.

Zbiorem rozwiązań nierówności x +

3x -1

2 > 2,5(x + 1) jest zbiór pusty.

Deﬁnicja: Nierówność sprzeczna

Nierównością sprzeczną nazywamy nierówność, której nie spełniona żadna liczba należącą do dziedziny tej nierówności.

Słownik

nierówność tożsamościowa

nierówność, która jest spełniona przez każdą liczbę należącą do dziedziny tej nierówności nierówność sprzeczna

nierówność, której nie spełnia żadna liczba należąca do dziedziny tej nierówności

(5)

Infograﬁka

Polecenie 1

Obejrzyj infograﬁkę przedstawiającą rodzaje nierówności wraz z przykładami.

1. Nierówności sprzeczne {audio}Zbiorem rozwiązań nierówności sprzecznej jest zbiór pusty. Nie istnieje liczba rzeczywista, która spełnia nierówność.

2. Nierówności tożsamościowe {audio}Do zbioru rozwiązań nierówności tożsamościowej należy każda liczba rzeczywista.

3. Inne nierówności {audio}Do zbioru rozwiązań każdej z zapisanych nierówności należy nieskoczenie wiele liczb rzeczywistych.

Polecenie 2

Narysuj mapę myśli prezentująca rodzaje nierówności. Do każdego z rodzajów napisz po 3 przykłady nierówności.

1 2 3

(6)

Sprawdź się

Ćwiczenie 1

Przeciągnij nierówność arytmetyczną do odpowiedniego obszaru.

</mfenced><mo>≥</mo><mn>1</mn></math>, <math><msqrt><mn>2</mn></msqrt><mo>>

</mo><mn>1</mn></math>, <math><msup><mn>1</mn><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn>

</mrow></msup><mo>≥</mo><mn>0</mn></math>, <math><msup><mn>2</mn><mrow><mo>-

</mo><mn>2</mn></mrow></msup><mo>≥</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac>

</math>, <math><msqrt><mn>1,44</mn></msqrt><mo>≤</mo><mn>1,3</mn></math>, <math>

<msqrt><mn>5</mn></msqrt><mo><</mo><msup><mn>2</mn><mn>3</mn></msup></math>,

Nierówności prawdziwe:

Nierówności fałszywe:

Ćwiczenie 2

Wybierz nierówność, która nie jest tożsamościowa.

3(1 + x) + 2 ≥ 5 + 3x 2x + 3 > 2x - 1 2(x + 5) < 8 4(1 + 2x) ≤ 5 + 8x

(7)

Ćwiczenie 3

Wybierz nierówność sprzeczną.

4x > 2x x + 1 > x + 2 x - 1 > x - 2 2(x + 1) ≥ 2x + 1 Ćwiczenie 4

Przeciągnij w odpowiednie miejsce taką liczbę lub wyrażenie algebraiczne, aby nierówność była sprzeczna.

3x + 1, -7x + 4, 12, -8x - 12, 7, -7x + 6, 3x+3, 5x 3x>3x+

8x-7≤2- 4x+2<x+

1-7x≥4+

Ćwiczenie 5

Przeciągnij w odpowiednie miejsce takie wyrażenie algebraiczne, aby nierówność była tożsamościowa.

x+3, 3x, -3x, 5x, 6x, 2x, x+3, -3x+8 2x-1≥-3x-2+

613+x≤2+

5x+7≥4x+

8-2x≥x+

(8)

Ćwiczenie 6

Przeciągnij nierówność do odpowiedniego obszaru.

<mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mi> </mi><mo>≥</mo><mn>4</mn></math>, <math><mo>-

</mo><mn>7</mn><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>></mo><mo>-</mo>

Nierówności sprzeczne:

Nierówności tożsamościowe:

Inne nierówności:

(9)

Ćwiczenie 7

Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe.

Nierówność -x2-4<0 jest sprzeczna.

Nierówność -5x≤0 jest tożsamościowa.

Nierówność 4x2+1≥1+4x2 jest tożsamościowa.

Nierówność -x2-3<0 jest tożsamościowa.

x2≤0 ma jedno rozwiązanie.

Nierówność x2≥0 jest sprzeczna.

Rozwiązaniem nierówności x-5≤-5-x jest dowolna liczba rzeczywista.

Rozwiązaniem nierówności x3>-1 jest każda liczba rzeczywista.

Nierówność x≥x+3 nie posiada rozwiązania.

Ćwiczenie 8

Dla jakich wartości parametru p nierówność x+4<p-3 jest sprzeczna?

(10)

Dla nauczyciela

Autor: Jolanta Schilling Przedmiot: Matematyka

Temat: Nierówności sprzeczne i tożsamościowe Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres podstawowy Podstawa programowa:

III. Równania i nierówności. Zakres podstawowy.

Uczeń:

1) przekształca równania i nierówności w sposób równoważny.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji kompetencje w zakresie wielojęzyczności

kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii

kompetencje cyfrowe

kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się Cele operacyjne:

Uczeń:

formułuje deﬁnicję nierówności tożsamościowych i nierówności sprzecznych rozpoznaje nierówności tożsamościowe i nierówności sprzeczne

dopisuje do nierówności takie wyrażenia arytmetyczne lub algebraiczne, aby otrzymać nierówności tożsamościowe lub sprzeczne

uzasadnia zakwaliﬁkowanie danej nierówności do określonej kategorii tworzy procedury budowy nierówności określonego typu

Strategie nauczania:

konstruktywizm

Metody i techniki nauczania:

stoliki zadaniowe dyskusja

Formy pracy:

praca w grupach

praca całego zespołu klasowego Środki dydaktyczne:

komputery z głośnikami i dostępem do Internetu, słuchawki zasoby multimedialne zawarte w e‑materiale

tablica interaktywna/tablica, pisak/kreda

(11)

Przebieg lekcji Przed lekcją:

Nauczyciel prosi uczniów o przygotowanie przykładów nierówności, które zawsze są prawdziwe oraz takich, które nie mają rozwiązań.

Faza wstępna:

1. Nauczyciel podaje temat i cele zajęć oraz wspólnie z uczniami ustala kryteria sukcesu.

2. Wybrani wcześniej przez nauczyciela uczniowie podają przykłady prostych nierówności, które są zawsze prawdziwe i przykłady nierówności, które nie mają rozwiązań.

Faza realizacyjna:

1. Każdy uczeń otrzymuje od nauczyciela 10 przykładów prostych nierówności liniowych. Następnie uczniowie starają się podzielić nierówności na grupy, według własnych kryteriów.

2. Uczniowie podzieleni na grupy 4 – 6 osobowe omawiają rezultaty swojej pracy i porównują dokonane podziały. Tworzą wspólny schemat ilustrujący rodzaje nierówności ze względu na rozwiązanie.

3. Uczniowie oglądają infograﬁkę i omawiają go wraz z nauczycielem.

4. Uczniowie w parach rozwiązują zadania metodą stolików zadaniowych. Na każdym stoliku znajdują się 2 zadania do rozwiązania. Warunkiem przejścia do następnego stolika jest poprawne rozwiązanie danych zadań. Para, która najszybciej rozwiąże wszystkie zadania otrzymuje stopień bardzo dobry.

Faza podsumowująca:

1. Jako podsumowanie nauczyciel zadaje uczniom pytania dotyczące określania rodzaju nierówności ze względu na rozwiązanie.

2. Nauczyciel omawia przebieg zajęć, wskazuje mocne i słabe strony pracy uczniów, udzielając im tym samym informacji zwrotnej.

Praca domowa:

Uczniowie, którzy nie rozwiązali wszystkich zadań pozostałe wykonują w domu.

Materiały pomocnicze:

Encyklopedia. Matematyka, wyd. Greg, Kraków 2019.

Wskazówki metodyczne:

Multimedium może być wykorzystane przez chętnych uczniów do samodzielnego przygotowania mapy myśli prezentującej rodzaje nierówności (z konkretnymi przykładami znanych w matematyce

nierówności).

Przetwarzam wzory matematyczne: 53%