Rozwiązanie równania, czyli ile waży jabłko. Wprowadzenie Przeczytaj Infografika Sprawdź się Dla nauczyciela

(1)

Rozwiązanie równania, czyli ile waży jabłko

Wprowadzenie Przeczytaj Infograﬁka Sprawdź się Dla nauczyciela

(2)

Patrząc na wagę, która pozostaje w równowadze, możesz spróbować zgadnąć, ile waży jabłko. Co należy zrobić, aby przekonać się, czy mamy rację?

W przypadku równań, podobnie jak w wyrażeniach algebraicznych, można podstawiać liczby w miejsce niewiadomych. Otrzymane wówczas równości mogą być prawdziwe lub fałszywe. Jest to czasochłonne i czasami wymaga wielu prób, ale daje możliwość odgadnięcia rozwiązania.

Twoje cele

Obliczysz wartości liczbowe lewej i prawej strony równania.

Sformułujesz pojęcie rozwiązania równania i zbioru rozwiązań równania.

Sprawdzisz, czy dana liczba jest rozwiązaniem równania.

Określisz liczbę rozwiązań równania.

Rozwiązanie równania, czyli ile waży jabłko

Źródło: Artem Beliakin, [online], dostępny w internecie:

www.unsplash.com.

Źródło: GroMar Sp. z o.o..

(3)

Przeczytaj

Przykład 1

Podstawmy do lewej i prawej strony równania 4 · (x - 2) - x = 5 + x w miejsce niewiadomej x

liczbę -3

, a następnie odpowiemy na pytanie, czy otrzymaliśmy równość prawdziwą czy fałszywą.

Po podstawieniu liczby -3 w miejsce niewiadomej x

do lewej strony równania otrzymujemy wyrażenie:

L = 4( - 3 - 2) - ( - 3) = 4( - 5) + 3 = - 20 + 3 = - 17 Po podstawieniu liczby -3

w miejsce niewiadomej x

do prawej strony równania otrzymujemy wyrażenie:

P = 5 + (-3) = 5 - 3 = 2 Lewa i prawa strona równania przyjmują dla x

równego -3

różną wartość. Wynika stąd, że L ≠ P . Zatem po podstawieniu liczby -3

do obu stron równania otrzymaliśmy równość fałszywą. Liczba -3 nie spełnia tego równania.

Przykład 2

Podstawmy do lewej i prawej strony równania 4 · (x - 2) - x = 5 + x w miejsce niewiadomej x

liczbę 6

1 2

, a następnie odpowiemy na pytanie, czy otrzymaliśmy równość prawdziwą czy fałszywą.

Po podstawieniu liczby 6

1 2

do lewej strony równania otrzymujemy wyrażenie:

L = 4 · 6

1

2 - 2 - 6

1 2 = 4 · 4

1 2 - 6

1

2 = 18 - 6

1 2 = 11

1 2

Po podstawieniu liczby 6

1 2

do prawej strony równania otrzymujemy wyrażenie:

P = 5 + 6

1 2 = 11

1 2

Lewa i prawa strona równania przyjmują dla x równego 6

1 2

tą samą wartość. Wynika stąd, że L = P

( )

(4)

. Zatem po podstawieniu liczby 6

1 2

do obu stron równania otrzymaliśmy równość prawdziwą. Liczba 6

1 2

spełnia to równanie.

Pamiętasz?

Liczba spełnia dane równanie, jeżeli po podstawieniu jej w miejsce niewiadomej i wykonaniu działań po obu stronach równania, otrzymamy równość prawdziwą.

Deﬁnicja: Rozwiązanie równania

Liczbę, która spełnia dane równanie nazywamy rozwiązaniem równania lub pierwiastkiem równania.

Zbiór wszystkich liczb spełniających dane równanie nazywamy zbiorem rozwiązań równania.

Czy rozwiązaniem równania może być tylko jedna liczba?

Odpowiemy na to pytanie, analizując poniższy przykład.

Przykład 3

Sprawdzimy, czy liczby -5 , -3

, 0 , 3

są pierwiastkami równania 2x(x + 5) x²- 9 = 0 .

Podstawiając do równania w miejsce niewiadomej x liczbę -5

otrzymujemy:

2 · (-5)(-5 + 5) (-5)²- 9 = - 10 · 0 · 16 = 0

Zatem L = P , czyli liczba -5 spełnia równanie.

Podstawiając do równania w miejsce niewiadomej x liczbę -3

otrzymujemy:

2 · (-3)(-3 + 5) (-3)²- 9 = - 6 · 2 · 0 = 0

Zatem L = P , czyli liczba -3 spełnia równanie.

Podstawiając do równania w miejsce niewiadomej x liczbę 0

otrzymujemy:

( )

(5)

2 · 0 · (0 + 5) 0²- 9 = 2 · 0 · 5 · (-9) = 0

Zatem L = P , czyli liczba 0 spełnia równanie.

Podstawiając do równania w miejsce niewiadomej x liczbę 3

otrzymujemy:

2 · 3 · (3 + 5) 3²- 9 = 6 · 8 · 0 = 0

Zatem L = P , czyli liczba 3 spełnia równanie.

Liczby -5 , -3 , 0 , 3

spełniają równanie, zatem są pierwiastkami równania 2x(x + 5) x²- 9 = 0 .

Pokazaliśmy, że równanie może mieć nawet cztery rozwiązania. Od czego zatem zależy liczba rozwiązań danego równania? Tego dowiesz się z późniejszych materiałów.

Słownik

rozwiązanie równania

liczba, która spełnia dane równanie liczba spełniająca równanie

liczba, po podstawieniu której w miejsce niewiadomej do danego równania otrzymamy równość prawdziwą

( )

(6)

Infograﬁka

Polecenie 1

Przeanalizuj przykład przedstawiony na infograﬁce. Odpowiedz na pytanie, kiedy dana liczba spełnia równanie?

1. {audio}Podstawmy do lewej i prawej strony równania w miejsce niewiadomej x liczbę 1, a następnie odpowiedzmy na pytanie, czy otrzymaliśmy równość prawdziwą czy fałszywą.

2. {audio}Po podstawieniu liczby 1 w miejsce niewiadomej x do lewej strony równania otrzymujemy wyrażenie:

3. {audio}Po podstawieniu liczby 1 w miejsce niewiadomej x do prawej strony równania otrzymujemy wyrażenie:

4. {audio}Lewa strona równania przyjmuje dla x równego 1 inną wartość niż prawa strona. Zatem po podstawieniu liczby 1 do obu stron równania otrzymaliśmy równość fałszywą. Liczba 1 nie spełnia tego równania.

5. {audio}Podstawmy do lewej i prawej strony równania w miejsce niewiadomej x liczbę 3, a następnie odpowiedzmy na pytanie, czy otrzymaliśmy równość prawdziwą czy fałszywą.

6. {audio}Po podstawieniu liczby 3 w miejsce niewiadomej x do lewej strony równania otrzymujemy wyrażenie:

7. {audio}Po podstawieniu liczby 3 w miejsce niewiadomej x do prawej strony równania otrzymujemy wyrażenie:

8. {audio}Lewa strona równania przyjmuje dla x równego 3 wartość taką samą, jak prawa strona. Zatem po podstawieniu liczby 3 do obu stron równania otrzymaliśmy równość prawdziwą. Liczba 3 spełnia to równanie.

Polecenie 2

Sprawdź, czy liczba x = - 3

spełnia równanie 3 · (x - 1) = 2x + 3 .

Polecenie 3

Sprawdź, czy liczba x = 6

spełnia równanie 3 · (x - 1) = 2x + 3 1

2 3 4

5 6 7 8

(7)

.

(8)

Sprawdź się

Ćwiczenie 1

Oblicz, czy dla podanej wartości zmiennej lewa strona równania jest równa prawej stronie równania.

Wstaw w odpowiednie miejsce znak = lub ≠ .

≠, = , = , ≠

2x + 4 = x - 3, x = - 2 L ... P

z(z + 1) = 2z + 2, z = 2 L ... P v²+ 2v = v, v = - 1 L ... P

輸

Ćwiczenie 2

Połącz w pary równanie i liczbę, która jest jego rozwiązaniem.

<mn>4</mn></math>, <math><mo>-</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></math>,

</mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></math>, <math><mn>2</mn></math>, <math>

2x - 4 = 4 3v = v - 1 y = 2y - 2 3z = - 9

z + 1 = 1

1 2

t +

1 2 = 0

2x = x + 1

1 2

2x 3 = - 1

輸

Ćwiczenie 3

Zaznacz przykłady, w których podana liczba jest rozwiązaniem równania.

4(x + 1) - 3 = 6 - x x = 1 -2(-8x + 1) = 2x - 2 x - 1 x =

1 4

-3(a - 2) + 3(a + 1) = - (a + 2) a = - 11

1 3x +

3-2x 4 = x -

1

2 x = - 1

醙

( )

(9)

Ćwiczenie 4

Sprawdź, które równanie jest spełnione przez liczbę -

1

2. Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi.

2x - 4 = 4x - 3 -4 x +

1

2 = - 2 +

1 2x

2 - x =

x -1 -4

2x(x - 1) = - (x - 1)

醙

( )

Ćwiczenie 5

Zaznacz prawidłową odpowiedź. Liczbą spełniającą równanie 2(x - 3) + 7 = 4x - 4 jest:

2, 5 1, 5 -1, 5 2

醙

Ćwiczenie 6

Zaznacz czy zdanie jest prawdziwe czy fałszywe. Dane jest równanie x(x + 4) x²- 1 = 0 .

Liczbą spełniającą dane równanie jest 0:

Prawda Fałsz

Liczbą spełniającą dane równanie jest -4:

Prawda Fałsz

醙

( )

Ćwiczenie 7

Przenieś w wykropkowane miejsce taką liczbę, aby rozwiązaniem równania była podana liczba.

4, 5, 2, -2, 1

-3x + ... = 4, x = - 1 3x - 1 = - x + ..., x =

3 4

-(x + ...) = - 3x + 2, x = 3 ... · x + 5 = 25, x = 4

-(x - 1) + ... = - 2(x + 1), x = - 1

難

Ćwiczenie 8 難

(10)

Przeciągnij do odpowiedniego obszaru wszystkie liczby, które spełniają dane równanie.

<mn>0</mn></math>, <math><mn>0</mn></math>, <math><mo>-</mo><mn>11</mn></math>,

</math>, <math><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></math>, <math><mn>2</mn>

</math>, <math><mn>4</mn></math>

x²= 121

x³= 1

a³= - 27

2y(-y - 1)(3y - 1) = 0

x²- 4 (2 - x) = 0

( )

(11)

z³- 64 z = 0

( )

(12)

Dla nauczyciela

Autor: Jolanta Schilling Przedmiot: Matematyka

Temat: Rozwiązanie równania, czyli ile waży jabłko?

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres rozszerzony Podstawa programowa:

III. Równania i nierówności. Zakres podstawowy.

Uczeń:

1) przekształca równania i nierówności w sposób równoważny.

Kompetencje kluczowe:

kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji kompetencje w zakresie wielojęzyczności

kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii

kompetencje cyfrowe

kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się Cele operacyjne:

Uczeń:

oblicza wartość liczbową lewej i prawej strony równania

formułuje pojęcie rozwiązania równania i zbioru rozwiązań równania sprawdza, czy dana liczba jest rozwiązaniem równania

określa liczbę rozwiązań równania Strategie nauczania:

konstruktywizm

Metody i techniki nauczania:

analiza przypadku dyskusja

burza mózgów Formy pracy:

praca indywidualna praca w parach

praca całego zespołu klasowego Środki dydaktyczne:

komputery z głośnikami i dostępem do Internetu, słuchawki zasoby multimedialne zawarte w e‑materiale

tablica interaktywna/tablica, pisak/kreda

(13)

Przebieg lekcji Faza wstępna:

1. Nauczyciel podaje temat i cele zajęć oraz wspólnie z uczniami ustala kryteria sukcesu.

2. Wybrany przez nauczyciela uczeń przypomina poznane rodzaje równań i podaje przykłady.

Faza realizacyjna:

1. Uczniowie dyskutują jak sprawdzić, czy dana liczba jest rozwiązaniem równania. Poszukują odpowiedzi analizując konkretne przykłady. Wspólnie ustalają, co to jest rozwiązanie równania.

2. Uczniowie pracują w parach. Jeden uczeń podaje liczbę, która może być rozwiązaniem

przykładowego równania, drugi sprawdza, czy po podstawieniu tej liczby do równania otrzymamy równość prawdziwą. Następnie uczniowie zamieniają się rolami.

3. Uczniowie analizują infograﬁkę i omawiają ją wraz z nauczycielem.

4. Uczniowie indywidualnie wykonują ćwiczenia interaktywne 1‑6. Wspólnie omawiają odpowiedzi.

Faza podsumowująca:

1. Jako podsumowanie nauczyciel zadaje uczniom pytania dotyczące zbioru rozwiązań równania i liczby rozwiązań równania. Prosi wybranych uczniów o podanie przykładów równań, które mają jedno, dwa lub trzy rozwiązania.

2. Nauczyciel omawia przebieg zajęć, wskazuje mocne i słabe strony pracy uczniów, udzielając im tym samym informacji zwrotnej.

Praca domowa:

Zadaniem ucznia jest rozwiązanie ćwiczeń 7, 8 z sekcji „Sprawdź się”.

Materiały pomocnicze:

Rozwiązanie równania. Liczba rozwiązań równania Wskazówki metodyczne:

Infograﬁka może być wykorzystana przez chętnych uczniów do samodzielnego przygotowania mapy myśli prezentującej rodzaje równań (z konkretnymi przykładami znanych w matematyce równań).