STATYSTYKA OPISOWA
Zadanie 1.
Wzrost [cm] pewnej grupy dziewcząt przedstawia się następująco: 150, 151, 151, 151, 152, 152, 152, 152, 153, 153, 153, 153, , 155, 155, 155, 155, 155, 155, 156, 156, 156, 156, 156, 157, 157, 157, 157, 158, 158, 158, 159, 159, 160, 161. Na podstawie danych utworzyć szereg rozdzielczy punktowy oraz szeregi rozdzielcze przedziałowe o interwale 1 cm oraz 2 cm, w dwóch wersjach: gdy przedziały klasowe mają wspólne granice oraz gdy nie mają wspólnych granic.
Zadanie 2.
Wzrost [cm] pewnej grupy chłopców przedstawia się następująco: 170, 171, 171, 171, 172, 172, 172, 172, 173, 173, 173, 173, , 175, 175, 175, 175, 175, 175, 176, 176, 176, 176, 176, 177, 177, 177, 177, 178, 178, 178, 179, 179, 180, 181, 217. Jaki jest przeciętny wzrost w badanej grupie? Jaką miarę położenia powinniśmy zastosować i dlaczego?
Zadanie 3.
W czteroosobowej rodzinie średnia miesięczna płaca wynosi 1300 zł. Jakie wynagrodzenie otrzymuje mama, jeżeli ojciec miesięcznie zarabia 1500 zł, syn 1300 zł, a córka 1200 zł?
Zadanie 4.
W małej prywatnej firmie zarobki pięciu zatrudnionych pracowników produkcyjnych
wyniosły po 500 zł, kierownik i księgowa dostali po 2 000 zł, natomiast właściciel: 10 000 zł.
Wyznacz średnią płacę w firmie. Ile osób zarabia poniżej średniej?
Zadanie 5.
Wysokość najważniejszych 11 szczytów w najwyższym pasmach górskich w Polsce przedstawia się następująco: 1315, 1333, 1346, 1557, 1723, 1894, 1987, 2064, 2301, 2438, 2499. Jaka jest średnia wysokość wymienionych szczytów?
Zadanie 6.
Rozkład braków w 50 partiach samochodów dostarczonych w ciągu trzech kwartałów do salonu Fiata przedstawiono w poniższej tabeli.
xi 2 3 4 5 6
ni 7 12 16 10 5
Obliczyć średnią, dominantę, medianę, kwartyle oraz zinterpretować otrzymane wyniki.
Zadanie 7.
Średni wiek w n-osobowej grupie uczniów wynosi 11 lat. Najstarszy członek grupy ma 17 lat, a średnia wieku pozostałych wynosi 10 lat. Ilu uczniów liczy ta grupa?
Zadanie 8.
Przeprowadzone wśród 200 studentów badania ankietowe dotyczące ich sytuacji rodzinnej dostarczyły informacji na temat liczby posiadanego przez nich rodzeństwa. Okazało się, że 30% studentów nie miało rodzeństwa, a 90% miało nie więcej niż jednego brata lub siostrę.
Natomiast 97% ogółu studentów posiadało nie więcej niż dwoje rodzeństwa oraz w badanej grupie studentów nie było ani jednego, który miałby więcej niż troje rodzeństwa.
a) Na podstawie powyższych informacji ustalić postać rozkładu studentów według liczby posiadanego rodzeństwa.
b) Określić i zinterpretować średnią, dominantę, kwartyle (oraz odpowiednio wybrane kwantyle).
Zadanie 9.
Współczynnik zmienności rozkładu płac w pewnym przedsiębiorstwie wynosi 10%, najwięcej pracowników otrzymuje pensję 1200 zł netto, połowa otrzymuje nie więcej niż 1300 zł.
Zakładając, że rozkład płac jest umiarkowanie asymetryczny, jak kształtuje się typowa pensja (netto) w tym przedsiębiorstwie?
Zadanie 10.
W zakładzie produkującym obuwie sportowe zbadano pracowników pod względem wieku rozpoczęcia pracy w tym zakładzie. Okazało się, że 25% rozpoczęło pracę przed
ukończeniem 20 roku życia. Połowa między 20. a 23. Zakładając, że wartości pozycyjnych współczynników zmienności są identyczne, podaj w jakim wieku najczęściej rozpoczynał pracę statystyczny pracownik, a jaki wiek rozpoczęcia pracy charakteryzuje przeciętnego pracownika. Uzasadnić rozwiązanie.
Zadanie 11.
W punkcie skupu makulatury studenci wykonali projekt ze statystyki badając pewną losowo wybraną próbę z populacji wagi oddawanej makulatury. Obliczono, że mediana wynosi 12 kg i umiejscowiona jest w przedziale od 10 kg do 15 kg, którego liczebność wynosi 35. Jaka jest liczebność badanej próby, jeśli 30 osób z tej próby oddało makulaturę o wadzę mniejszej niż 10 kg?
Zadanie 12.
Rozkład liczby spóźnień na zajęcia 100 losowo wybranych studentów w ostatnim roku kształtował się w następujący sposób:
Liczba spóźnień 0 1 2 3 4 5 i więcej
Liczba pracowników 10 15 40 15 10 10
Wiedząc dodatkowo, że średnia liczba spóźnień w ostatnim przedziale wynosiła 6,2 scharakteryzować przeciętną liczbę spóźnień pracowników oraz jej zmienność w badanym okresie.
Zadanie 13.
Zbadano zużycie wody w gospodarstwach domowych w pewnym wieżowcu i otrzymano następujące dane:
Zużycie w m3/os 2,5 i mniej 2,5-2,7 2,7-2,9 2,9-3,1 3,1-3,3 3,3 i więcej
Liczba osób 3 12 30 42 10 4
Obliczyć:
a) przeciętne zużycie wody przez osobę w tym wieżowcu, b) medianę,
c) dominantę, d) kwartyle,
e) wyznaczyć typowy obszar zmienności, f) określić stopień asymetrii,
g) czy rozkład jest lepto- czy platokurtyczny?
Zadanie 14.
Wzrost [w cm] 50 uczniów w pewnej szkole przedstawia się następująco: 160; 161; 161; 162;
162; 163; 163 163; 163; 163; 164; 164; 164; 164; 164; 165; 165; 165; 165; 166; 166; 166;
167; 167; 167; 168; 168; 168 169; 169; 170; 170; 170; 171; 171; 171; 172; 172; 173; 173;
174; 174; 175; 176; 176; 177; 178; 178; 179 180. Informacje o wadze [w kg] tych uczniów zawarto w tabeli:
Waga Odsetek uczennic
45-50 10
50-55 34
55-60 32
60-65 20
65-70 2
70-75 2
a) Utworzyć z szeregu szczegółowego szeregi rozdzielcze o rozpiętości równej 5, przyjmując za dolną granicę pierwszego przedziału wartość 160.
b) Obliczyć średni wzrost uczennic wykorzystując dane z wszystkich szeregów. Uzasadnić przyczynę różnic w otrzymanych wartościach.
c) Który z rozkładów cechuje większe zróżnicowanie, który większa asymetria, a który większe skupienie wartości wokół średniej?
Zadanie 15.
Skoczek narciarski A uzyskał na obiekcie o punkcie konstrukcyjnym 120 następujące wyniki (w metrach): 117; 117,5; 117,5; 118; 118; 119; 121,5; 121,5; 122; 123. Przeciętny skok skoczka B na tym samym obiekcie wynosił 119,7 m. , natomiast suma kwadratów długości skoków wyniosła 143320 (m. kw.). Obaj sportowcy oddali taką samą liczbę skoków. Który z nich skakał „równiej”?
Zadanie 16.
Analiza długości dziennych rozmów telefonicznych przyjętych do realizacji w ciągu jednego dnia w centrali pewnej firmy dostarczyła następujących informacji: [w min]
Czas trwania rozmów Dystrybuanta empiryczna Poniżej
3000 0,08
3400 0,21
3800 0,26
4200 0,31
4600 0,36
5000 0,48
5400 0,89
5800 1,00
Wiedząc, że najkrótszy czas trwania dziennych rozmów wynosił 2600 min, za pomocą klasycznych miar określić przeciętny poziom i zróżnicowanie czasu trwania dziennych rozmów.
Zadanie 17.
Dokonać wszechstronnej analizy porównawczej struktury wzrostu uczniów w dwóch klasach na podstawie danych zawartych w poniższej tablicy (wzrost w cm):
Od Do Liczba uczniów w klasie B Liczba uczniów w klasie A
158 161 3 2
161 164 5 3
164 167 8 6
167 170 15 8
170 173 6 15
173 176 3 6
Zadanie 18.
Obliczyć średnią prędkość pociągu między stacjami A i F, jeżeli na trasie są stacje B, C, D i E. Dane podane są w tabeli.
Odcinek trasy Odległość między stacjami [w km]
Średnia prędkość na odcinku [w km/h]
A – B 12 40
B – C 08 60
C – D 15 50
D – E 24 60
E – F 12 30
a) Czy większą część drogi pociąg jechał z prędkością większą od przeciętnej na trasie?
Odpowiedź uzasadnić.
b) Czy dłużej pociąg jechał z prędkością większą od średniej? Odpowiedź uzasadnić.
Zadanie 19.
Zbadano wiek pracowników cywilnych WKU na Śląsku. Okazało się, że 25% pracowników ma mniej niż 30 lat. Połowa jest między 30. a 40. rokiem życia. Zakładając, że rozkład jest symetryczny podaj jak kształtuje się typowy wiek pracownika, wiedząc, że współczynnik zmienności wynosi 20%.
Zadanie 20.
W oddziale pewnego banku największa liczba klientów instytucjonalnych zaciągnęła kredyt w wysokości 200 tys. złotych. Połowa zaciągnęła kredyt poniżej 500 tys. zł. Określ kierunek asymetrii.
Zadanie 21.
W oddziale stat-Banku co czwarty klient instytucjonalny zaciągnął kredyt nie większy nić 150 tys. zł. Połowa klientów zaciągnęła więcej niż 150 tys. zł. i mniej niż 600 tys. zł, a co drugi klient więcej niż 500 tys. zł. Natomiast w oddziale math-Banku połowa zaciągnęła kredyt wysokości 450 tys. zł. Co czwarty zaciągnął więcej niż 200 tys. zł., a trzech klientów z czterech zaciągnęło kredyt mniejszy niż 550 tys. zł. Który z rozkładów udzielonych kredytów cechuje silniejsza asymetria?
Zadanie 22.
Dane są rozkłady wieku dzieci w dwóch wieżowcach przedstawione w poniższych tabelach.
Wiek dzieci w latach
Liczba dzieci w wieżowcu A
0 – 4 7
4 – 8 13
8 – 12 15
12 i więcej 5
a) Czy można porównać siłę asymetrii tych rozkładów? Uzasadnić odpowiedź jeśli nie można, a w przeciwnym przypadku podać, który rozkład cechuje silniejsza asymetria.
b) W którym wieżowcu jest większe zróżnicowanie wieku dzieci? Odpowiedź uzasadnić.
Zadanie 23.
W oddziale math-Banku najwięcej pracowników zarabia netto 1800 zł. Połowa zarabia przynajmniej 1900 zł. Jeżeli współczynnik zmienności pensji w tym oddziale banku wynosi 10% oraz asymetria jest umiarkowana, podaj jak kształtuje się typowa pensja netto w tym oddziale math-Banku.
Zadanie 24.
Oblicz średnią prędkość samochodu, jeśli wiadomo, że:
a) samochód jechał 30 minut z prędkością 100 km/h i 45 minut z prędkością 60 km/h.
b) samochód jechał 50 km z prędkością 100 km/h i 45 km z prędkością 60 km/h.
Jakie średnie należy zastosować i dlaczego?
Zadanie 25.
Gęstość zaludnienia w dwóch pięćdziesięciotysięcznych miastach wynosiła: w pierwszym 1500 os./km2, a w drugim: 500 os./km2. Oblicz średnią gęstość zaludnienia obu tych miast.
Zadanie 26.
W Statlandii wyprodukowano pewien materiał w trakcie kilku procesów. W pierwszym procesie otrzymano 2 kg materii o gęstości 10 g/cm3, w drugim 3 kg materii o gęstości 20 g/cm3, a w trzecim 1 kg materii o gęstości 15 g/cm3. W ostatnim procesie zmieszano tak otrzymaną matrię i uzyskano 6kg gotowego materiału. Jaka jest średnia gęstość otrzymanego matriału? Jaką ma objetość uzyskany materiał?
Zadanie 27.
Wydajność pracy pewnej grupy robotników podana w sztukach wyprodukowanych podczas zmiany kształtuje się następująco:
18 15 14 13 17 19 17 21 17 17 12 18 15 16 17 17 17 17 16 14 15 16 16 12 19 20 19 12 20 18 Z powyższych danych utworzyć szeregi rozdzielczy punktowy i rozdzielczy przedziałowy (o interwale równym 2) i na ich podstawie określić średnia arytmetyczną, dominantę i kwartyle.
Zadanie 28.
Zbadano 50 wyrobów pewnej firmy pod względem ilości braków i otrzymano następujące dane:
xi 0 1 2 3 4 5
ni 15 20 9 3 2 1
Jakie wyroby przeważają w badanej produkcji: o ilości braków wyższej czy niższej od średniej?
Zadanie 29.
Płace pewnej firmy podlegają następującemu rozkładowi:
Płace w setkach zł Liczba osób
1 – 3 4
3 – 5 10
5 – 7 30
Wiek dzieci w latach
Liczba dzieci w wieżowcu B
0 – 3 6
3 – 6 7
6 – 9 9
9 – 12 14
12 i więcej 4
7 – 9 40
9 – 11 10
11 – 13 6
Wokół jakiej kwoty skupiają się płace najliczniejszej grupy pracowników? Jakie osoby przeważają: z płacą niższą, czy wyższą od średniej?
Zadanie 30.
Zbadano staż pracy w pewnym zakładzie, dane przedstawiono w tabeli:
Grupa wiekowa Staż w latach Liczba pracowników
Najstarsi 10 – 20 30
Średni 5 10 40
Najmłodsi 2 5 30
Przyjmuje się, że należy zwolnić 25% pracowników, jako kryterium przyjęto staż pracy i zwalniani są pracownicy o najniższym stażu pracy. Wyznacz staż pracy, do którego należy zwolnić pracownika.
Zadanie 31.
W pewnej prywatnej firmie wypłacono miesięczne premie uznaniowe wg następującego klucza: 5% ogółu zatrudnionych pracowników otrzymało po 200 zł, 60% dostało po 300 zł, 25% po 400 zł i 10% po 500 zł Obliczyć średnią premię przypadającą na jednego
zatrudnionego w firmie.
Zadanie 32.
Dany jest uporządkowany zbiór wartości zmiennej X={21, 35, 49, 63, 77, 93, 100}. Które z hipotetycznych wartości średniej należy od razu (bez liczenia) wykluczyć? Hipotetyczne wartości średniej: 14, 15, 19, 25, 34, 54, 60, 100, 104, 105. Odpowiedź uzasadnić.
Zadanie 33.
W firmie pracuje 25 osób. Cztery osoby zarabiają nie więcej niż 400 zł, osiem zarabia nie więcej niż 800 zł, piętnaście otrzymuje nie więcej niż 1200 zł oraz dwadzieścia jeden dostaje nie więcej niż 1600 zł. Pozostałe osoby stanowią ścisłe kierownictwo firmy, jednak żadna z nich nie zarabia więcej niż 3000 zł. Jaka jest wysokość przeciętnej płacy miesięcznej w przedsiębiorstwie?
Zadanie 34.
Zbadano rozkład średnich ocen ze statystyki na przestrzeni 10 lat na pewnym wydziale jednej z polskich uczelni. Wyniki przedstawiono w tabeli:
Lata 2004 2003 2002 2001 2000 1999 1998 1997 1996 1995 Średnia ocena 3,1 3,2 3,2 3,5 3,4 3,4 3,0 3,2 3,3 3,3
Liczba studentów
150 150 100 100 100 75 75 75 50 50
Jaka jest średnia ocen ze statystyki z 10 lat? Jaka jest średnia ze statystyki z ostatnich 5 lat?
Zadanie 35.
W przedsiębiorstwie Statexport pracuje 100 pracowników „fizycznych” i 25 „umysłowych”.
Typowy wiek pracownika fizycznego kształtuje się w przedziale od 30 do 40 lat. Średnia wieku pracowników umysłowych wynosi 25 lat. Typowy wiek wszystkich pracowników kształtuje się od 27 do 39 lat. Co można powiedzieć o wieku pana Heńka, który jest pracownikiem umysłowym?
Zadanie 36.
Uzupełnić dane dotyczące wzrostu (w cm) w dwóch klasach.
Średnia 160
Typowy obszar zmienności (157;165)
Współczynnik zmienności
Dominanta 160
Współczynnik asymetrii -0,2
Wariancja 25
Zadanie 37.
Przeprowadzono analizę statystyczną przedsiębiorstwa przemysłowego Statprod pod względem stażu pracy i wieku pracowników. Na podstawie wpisanych danych uzupełnij pozostałe.
Wiek Staż
Średnia 40
Typowy obszar zmienności 15-25
Wariancja 49
Zadanie 38.
W punkcie skupu zwierząt rzeźnych przeprowadzono badania próbne wagi cieląt. Wiadomo, że mediana wagi cieląt wynosi 46 kg i jest umiejscowiona w przedziale [40 kg, 50 kg], do którego należy 30 cieląt. Ponadto wiadomo, że w badanej zbiorowości jest 40 cieląt o wadze poniżej 40 kg. Ile liczy cała zbiorowość próbna?
Zadanie 39.
Czternastoosobowa grupa studentów pisała pracę kontrolną z matematyki. Wyniki sprawdzianu przedstawiają się następująco: 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5.
Podaj średnią ocenę ze sprawdzianu ora wskaż dominantę.
Oceń stopień zróżnicowania wyników sprawdzianu.
Zadanie 40.
Wydajność pracy pewnej grupy robotników podana w sztukach wyprodukowanych podczas zmiany kształtuje się następująco:
19 15 14 13 17 19 17 20 17 17 13 18 15 16 17 17 17 17 16 14 15 16 16 12 19 20 19 12 20 18
Z powyższych danych utworzyć szeregi rozdzielcze punktowy i przedziałowy (o interwale równym 2) i na ich podstawie określić średnią arytmetyczną, dominantę i kwartyle. Przy obliczaniu przeciętnych pozycyjnych wykorzystać również metodę graficzną.
Zadanie 41.
Czas rozwiązania pewnego zadania (w minutach) przez grupę 220 uczniów charakteryzuje poniższy rozkład:
Czas rozwiązania zadania 0-2 2-4 4-6 6-8 8-10 10-12 12-14
Liczba uczniów 1 15 53 87 51 12 1
Wyznaczyć liczbowe granice obszaru zmienności dla typowych jednostek badanej zbiorowości.
Zadanie 42.
Zbadano 100 małżeństw pod względem liczby dzieci (cecha X) i czasu trwania małżeństwa (cecha Y). Wiedząc, że średnia arytmetyczna wartości kwadratów cechy Y wynosi 116 oraz
x= 2, y = 10, Sx = 1. Ocenić pod względem, której cechy badane małżeństwa są bardziej zróżnicowane.
Zadanie 43.
W pewnym sklepie dokonano obserwacji wielkości zakupów dokonywanych przez poszczególnych klientów. Okazało się, że każdy zakup był wyższy od 5 zł, 25% ogółu zakupów nie przekraczało sumy 50 zł, a 75% było niższe od 150 zł, na klienta. Jednocześnie wiadomo, że żaden zakup nie przekraczał sumy 300 zł. Wyznaczyć pozycyjny współczynnik zmienności.
Zadanie 44.
W dwóch przedsiębiorstwach przeprowadzono badanie robotników pod względem stażu pracy w zakładzie. Otrzymano następujące dane:
Przedsiębiorstwo I x1= 15 lat V1 = 20%
Przedsiębiorstwo II x2= 10 lat V2 = 25%
Obliczyć x , S i V dla całej zbiorowości pracowników wiedząc, że liczba robotników w przedsiębiorstwie I wynosiła 120 osób a w drugim 80 osób.
Zadanie 45.
Określ kierunek skośności (asymetrii) rozkładu zmiennej X, której obserwacje przedstawia szereg:
2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11.
Zadanie 46.
Na podstawie poniższych danych dotyczących pensji otrzymywanych w dwóch przedsiębiorstwach A i B oceń który rozkład cechuje silniejsza asymetria.
Pensja w j.p. Przedsiębiorstwo A Przedsiębiorstwo B
1-2 19 16
2-3 21 24
3-4 25 30
5-6 30 28
7-8 15 2
Zadanie 47.
Stu pracowników pewnego przedsiębiorstwa (60 mężczyzn i 40 kobiet) zbadano pod względem wieku, otrzymując następujące informacje:
mężczyźni: x = 40 lat, D=35 lat AS = + 0,5 kobiety: x = 30 lat, D=33 lata AS = - 0,5
Obliczyć x ,S i V dla całej zbiorowości 100 pracowników.
Zadanie 48.
Dokonać analizy porównawczej rozkładu wieku studentów studiów dziennych i zaocznych mając następujące dane:
studia dzienne D = 19 lat, x = 20 lat , V = 10%
studia wieczorowe Me = D = 25 lat, S = 2 lata
Zadanie 49.
W dwóch grupach pracowników liczących po 50 osób każda, zbadano przeciętne miesięczne wydatki na papierosy. Otrzymano następujące dane:
grupa I: Me = 2800 zł. VQ= 24% Q1 = 1500 zł grupa II: Q3 = 3100 zł VQ = 25% Me = 2300 zł.
Porównać dyspersję wydatków w obu grupach. Porównać siłę i kierunek asymetrii.
Zadanie 50.
Badano w zakładzie staż zatrudnionych pracowników. Całą społeczność podzielono na dwie grupy pracowników: umysłowych i fizycznych. Pracowników umysłowych było 50 a
fizycznych 4 razy tyle, co umysłowych. Średni staż pracy pracowników umysłowych wyniósł 15 lat, a fizycznych 12. Odchylenie standardowe dla staży pracowników fizycznych wynosi 4 lata, a dla umysłowych 5 lat. Obliczyć średni staż pracy i odchylenie standardowe dla ogółu pracowników.
Zadanie 51.
W przedsiębiorstwie A ma miejsce następujący rozkład płac:
Płace z zł Fundusz płac w zł
590 – 650 2480
650 – 710 6800
710 – 770 11100
770 – 830 16000
830 – 890 5160
W przedsiębiorstwie B płaca przeciętna wynosi 755 zł, bezwzględne zróżnicowanie płac wynosi ±99,50 zł. Najliczniejsza grupa pracowników ma płacę 730,50 zł. W którym przedsiębiorstwie chciałbyś pracować w A czy B? Odpowiedź uzasadnić.
BADANIE WSPÓŁZALEŻNOŚCI ZJAWISK
Zadanie 52.
W celu zbadania zależności stażu pracy od wydajności pracownika w dużym
przedsiębiorstwie wylosowano w sposób niezależny stu pracowników. Wyniki podaje tabela:
Staż
Liczba sztuk na godzinę
10 – 20 20 – 30 30 – 40 40 – 50
0 – 2 15 5 - -
2 – 4 10 10 5 -
4 – 6 - 10 10 5
6 – 8 - - 10 5
8 – 10 - - 5 10
Wyznaczyć równanie regresji II rodzaju. Wykreślić empiryczną linie regresji I i funkcję regresji II rodzaju.
Czy zasadne jest przyjęcie liniowej zależności między badanymi cechami.
Zadanie 53.
Przeprowadzono analizę statystyczną przedsiębiorstwa przemysłowego Statprod pod względem stażu pracy i wieku pracowników. Na podstawie wpisanych danych uzupełnij pozostałe.
Wiek Staż
Średnia 40
Typowy obszar zmienności 15-25
Wariancja 49
Wiedząc, że średnia iloczynu wieku i stażu pracy wynosi 807 oblicz współczynnik korelacji liniowej Pearsona oraz napisz równanie regresji stażu pracy do wieku
pracowników.
Zadanie 54.
Typowa płaca w pewnym przedsiębiorstwie kształtuje się między 1800 zł a 2200 zł. Typowy miesięczny przychód firmy kształtuje się między 780 tys. zł. a 1780 tys. zł. 81% informacji o miesięcznej pensji pracownika jest wyjaśnianych przez zmienną opisującą miesięczny
przychód firmy. Ile wynosi kowariancja między płacą w firmie, a jej przychodem?
Zadanie 55.
Dla pewnej grupy gospodarstw domowych zbadano roczne spożycie na osobę artykułów spożywczych ( w kg): ziemniaki A i buraki B. Otrzymano następujące wyniki:
Spożycie A 10 20 25 30 40 45 60 Spożycie B 20 25 35 30 45 50 60
a) Wyznaczyć proste regresji spożycia wymienionych artykułów metoda najmniejszych kwadratów.
b) Obliczyć współczynnik korelacji między tymi zmiennymi.
Zadanie 56.
8 studentów rozwiązywało 2 testy ze statystyki. Wyniki testów (w punktach) kształtowały się następująco:
Test A 20 18 18 17 15 10 10 8
Test B 15 15 14 14 14 12 12 10
Czy istnieje silna zależność między wynikami testów?
Zadanie 57.
Dana jest tablica korelacyjna stażu pracy (Y) pracowników w pewnym zakładzie oraz liczby pobranych przez nich pożyczek (X) z kasy zapomogowo-pożyczkowej.
Liczba pożyczek
Staż pracy w latach
0 – 4 4 - 8 8 - 12
1 – 2 30 3 -
3 – 4 4 18 12
5 – 6 - 1 8
a) Porównać zmienność cechy X ze zmiennością cechy Y.
b) Obliczyć współczynnik korelacji między stażem pracy pracowników a liczbą pobranych pożyczek.
c) Wyznaczyć empiryczne linie regresji i przedstawić je na wykresie.
d) Wyznaczyć parametry regresji liniowej stażu pracy względem liczby pożyczek i ocenić dokładność dopasowania danych do linii regresji.
Zadanie 58.
Związek korelacyjny dwóch zmiennych określają następujące wielkości:
rxy = 0,8 exy2 = 0,82 S2(x) = 81 S2 ( j) = 60
Czy korelacja miedzy zmiennymi ma charakter prostoliniowy czy krzywoliniowy?
Zadanie 59.
W fabryce zbadano, jak kształtuje się średnia wydajność pracowników w zależności od czasu nieprzerwanej pracy
Czas pracy w godz. 1 2 3 4 5 6 7
Wydajność w szt./godz. 20 22 20 18 15 13 12
a) Określić rodzaj zależności korelacyjnej na podstawie wykresu rozrzutu i obliczyć współczynnik korelacji.
b) Oszacować, ile sztuk na godziną może przeciętnie wyprodukować robotnik pracujący nieprzerwanie osiem godzin.
Zadanie 60.
Dana jest tablica korelacyjna:
Waga ucznia [kg]
Wzrost ucznia [cm]
140 – 150 150 – 160 160 – 170 170 i więcej
40 – 45 18 - - -
45 – 50 30 6 - -
50 – 55 15 18 3 -
55 – 60 1 7 4 1
60 i więcej - - 1 2
a) Jaka jest średnia waga, a jaki średni wzrost uczniów? Wyznaczyć równanie regresji II rodzaju.
b) Czy zasadne jest przyjęcie liniowego modelu regresji? Wykreślić linię regresji I rodzaju.
Zadanie 61.
W fabryce zbadano jak kształtuje się średnia wydajność pracowników w zależności od czasu nieprzerwanej pracy.
Czas pracy [h] 1 2 3 4 5 6 7 Wydajność [szt/h] 19 22 19 17 15 13 14
a) określ rodzaj badanej zależności korelacyjnej na podstawie wykresu rozrzutu i oblicz współczynnik korelacji
b) jakiej wydajności należy oczekiwać od pracownika pracującego nieprzerwanie 9 godzin?
w jakim stopniu wydajność pracownika zależy od czasu nieprzerwanej pracy a w jakim od innych czynników?
Zadanie 62.
Przeprowadzono w wybranej grupie studenckiej badania statystyczne dotyczące wyniku egzaminu końcowego ze statystyki (Y- w punktach), ilorazu inteligencji (X- w jednostkach IQ) i liczby godzin poświęconych na naukę przedmiotu (Z- w godzinach). Uzyskane dane przedstawia tablica
Y 83 77 95 49 63 80 91 79 36 58 93 84 X 112 115 129 103 117 115 124 113 106 114 136 127
Z 9 6 14 4 8 12 10 9 5 7 8 3
a) ustal, które z cech wykazują największą wewnętrzną zmienność
b) oblicz współczynniki korelacji liniowej Pearsona między cechami X i Y, X i Z oraz Y i Z zbadaj współzależność cech za pomocą współczynnika Spearmana
Zadanie 63.
Zbadano wykształcenie małżonków w 9 rodzinach. Otrzymano następujące wyniki (W- wykształcenie wyższe, S-średnie, N- niższe)
Żona W W Ś Ś W Ś Ś Ś W
Mąż Ś W Ś Ś Ś Ś W Ś W
Jak silna jest zależność między poziomem wykształcenia męża i żony?
Zadanie 64.
Porównaj współczynnik korelacji wyznaczony wg miary Pearsona ze współczynnikiem korelacji Spearmana dla następujących danych:
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Y 9 10 7 8 6 1 2 5 4 3
Zadanie 65.
Jeżeli współczynnik determinacji liczby łóżek i liczby pokoi w 22 hotelach warszawskich wyniósł 94,5%, to na jakim poziomie oszacowano współczynnik korelacji tych zmiennych?
Zadanie 66.
Badając zależność korelacyjną pomiędzy liczbą godzin spędzonych na oglądaniu kreskówek (X) i liczbą godzin poświęconą na oglądanie „Wiadomości” (Y) Bolek i Lolek stwierdzili, że cov(x,y)=-2, Sx=1, y =4, Sy=1. Tola przyjaciółka chłopców jest zdania, że popełnili oni błąd.
Kto ma rację i dlaczego?
Zadanie 67.
Producent napojów chłodzących zgromadził dane o ilości zamówień (tys. l] i średniej temperaturze dobowej (w oC) w ciągu 10 wybranych dni. Wyniki przedstawia tabelka
Średnie temperatury dobowe 18 24 29 20 35 18 14 27 30 22 Wielkość zamówienia 50 93 119 60 160 52 35 105 120 71 a) czy istnieje zależność między ilością zamówień i temperaturą dobową. Jeśli tak jaka jest jej siła i kierunek?
b) zbudować odpowiedni model regresji liniowej i ocenić poziom jego dopasowania do danych
c) określić w jakim stopniu ilość zamówienia zależy od temperatury
w jakim stopniu wzrośnie ilość zamówień, gdy temperatura wzrośnie o 1 oC?
Zadanie 68.
Wyznacz reszty równania x*=-2y+8. Czy może to być równanie oszacowane KMNK?
xi 1 3 5 7 9 12
yj 5 4 3 4 2 1
Zadanie 69.
Zbadano zależność między ilością reklam pewnego wyrobu emitowanych dziennie w TV (X), a wysokością obrotu [10 tys. zł] ze sprzedaży rozważanego wyrobu (Y). Dane przedstawia poniższa tablica
X\Y 10-14 14-18 18-22 22-26 0-4 8
4-8 4 8 6
8-12 8 5 4
12-16 4 4 3
a) wyznacz rachunkowo i graficznie funkcje regresji I-go rodzaju dla obu zmiennych b) oceń siłę związków korelacyjnych między zmiennymi i zinterpretuj otrzymane wyniki Zadanie 70.
Tablica przedstawia średnie dzienne wydatki [zł]na słodycze i inne przekąski 80 dzieci w wieku od 11 do 16 lat.
Wiek\wydatki 0-4 4-8 8-12
10-12 34 3
12-14 4 18 12
14-16 1 8
a) oblicz współczynnik korelacji pomiędzy zbadanymi wielkościami
b) wyznacz parametry regresji liniowej stażu pracy względem liczby pożyczek i oceń dokładność dopasowania danych do linii regresji
Zadanie 71.
Analiza spożycia artykułu C zależnie od dochodu w losowej próbie gospodarstw domowych dostarczyła następujących informacji:
– średnie spożycie artykułu C na jedną osobę wynosi 2,5 [kg]
– średni miesięczny dochód na 1 osobę wynosi 540 [tys. zł]
– współczynnik zmienności dochodu wynosi 15%, a spożycia 20%
– poziom kowariancji równa się 27
a) wypowiedzieć się na temat siły i kierunku zależności
b) oszacować parametry funkcji regresji spożycia względem wielkości dochodów c) obliczyć poziom spożycia dla rodzin o dochodach średnich wynoszących 600[tys. zł]
d) czy wysokość dochodu wpływa na poziom spożycia silniej niż inne czynniki?
Zadanie 72.
W badaniu zależności między wielkością opłat za zużycie energii elektrycznej (Y) a
wielkością gospodarstw domowych (X) dla 80 wylosowanych wynika, ze cov(x,y)=32, x =4 [osoby], Sx=0,8, y =300 [zł], Sy=150 [zł].
a) oszacować parametry liniowej funkcji regresji wysokości opłat za zużycie energii elektryczne j względem wielkości gospodarstw domowych.
b) jaka jest siła tej zależności?
Zadanie 73.
W pewnym zakładzie pracy przeprowadzono badanie zależności między stażem pracy (X) i odsetkiem braków w produkcji (Y) wykonywanej przez 135 robotników i otrzymano następujące wyniki:
x=8 [lat], y =10 Vx=30%, Vy=25%
Współczynnik regresji odsetka braków względem stażu pracy wynosi -0,62 Co można powiedzieć o kierunku i sile korelacji między tymi zmiennymi Zadanie 74.
Właściciel zakładu badał zależność między płacą (X), a liczbą braków (Y). W styczniu na podstawie losowo wybranej próby 20 pracowników, u których zaobserwowano liczbę elementów wadliwych od 20 do 60 i zarobki od 1,5 [mln. zł] do 4,2 [mln. zł] wyznaczono równania regresji:
y=-12,79x-62,19 i x=-0,059y+4,28 a) wykreślić przedstawione linie regresji
b) obliczyć i zinterpretować współczynnik korelacji oraz określić jakiego poziomu braków można się spodziewać u pracowników mających wynagrodzenie na poziomie 5 [mln. zł]
c) w jakim stopniu liczba braków jest zależna od wysokości wynagrodzenia?
d) jak zmieni się wynagrodzenia jeśli liczba braków wzrośnie o 1
e) jak zmieni się liczba braków, gdy wynagrodzenia wzrosną o 1 [mln. zł]
Zadanie 75.
Liczba dzieci (X) oraz wysokość wydatków [w 100 zł] (Y) dla 20 wybranych rodzin kształtowały się następująco:
X\Y 100-300 300-700 700-1100 1100-1900
0 1 1
1 2 2
2 5 3
3 4 2
a) Na podstawie diagramu korelacyjnego dokonaj wzrokowej oceny charakteru zależności X i Y.
b) Zbadaj siłę zależności krzywoliniowej zmiennych Zadanie 76.
Dwa zakłady produkują identyczny wyrób. Modele kosztów miesięcznych są następujące (X- wielkość produkcji [tys. sztuk], Y- koszty [tys. zł])
I: y=0,4x+15,5 II: y=0,58x+15,5
Który z tych zakładów produkuje oszczędniej? Uzasadnij odpowiedź.
Zadanie 77.
W zakładach odzieżowych przeprowadzono badania w celu ustalenia zależności między długością serii produkcji [tys. sztuk] (X), a jednostkowym kosztem produkcji wyrobu [tys. zł]
(Y). W rezultacie otrzymano następujące równania regresji: x=-0,003y+1,7, y=-270x+5160 a) podać interpretację współczynników regresji a1, b1
b) co można powiedzieć o kierunku i sile zależności pomiędzy tymi cechami?
c) jaki jest teoretyczny poziom kosztu jednostkowego przy długości serii 10 [tys. sztuk]
d) jak zmieni się koszt jednostkowy jeśli długość serii wydłużymy o 1 [tys. sztuk]
Zadanie 78.
Mamy dane : a1=1,6, Sx=6, Sy=10. Oblicz współczynnik determinacji.
Zadanie 79.
Które z poniższych wyników są niewiarygodne i dlaczego?
a1=-0,2, rxy=0,8 a1=0,75, b1=2,5 rxy=-0,75, b1=-0,23 Zadanie 80.
Dla pewnej grupy gospodarstw domowych zbadano roczne spożycie na osobę maki i tłuszczów [kg]. Otrzymano następujące wyniki:
Spożycie mąki [kg] 10 20 25 30 40 45 60
Spożycie tłuszczów [kg] 20 25 35 30 45 50 60
a) wyznacz proste regresji spożycia wymienionych artykułów metodą najmniejszych kwadratów
b) oblicz współczynnik korelacji między tymi zmiennymi Zadanie 81.
Dane są zmienne: X- koszt produkcji detalu [tys. zł], Y- liczba produkowanych detali [tys.
sztuk]. Wiadomo, że : x =10, Sx=3, y =12, Vy=30%, a1=720 [sztuk/tys. zł]
a) ustalić siłę i kierunek współzależności cech b) oszacować koszt przy produkcji 10 [tys. sztuk]
c) jak dużej produkcji należy się spodziewać przy założonym koszcie produkcji 12 [tys.
sztuk]?
d) określić poziom niedopasowania zmiennych Zadanie 82.
Na podstawie przeprowadzonych badań dotyczących absencji chorobowej pracowników i ich wieku wiadomo, że: rxy=0,53, Sx=15 [lat], cov(x,y)=12,24, Sy2
=12,24. czy przedstawiona sytuacja jest możliwa?
Zadanie 83.
Badając zależność pomiędzy powierzchnią użytkową mieszkania [m2] a liczbą osób w gospodarstwie rodzinnym dla losowo wybranej grupy 15 mieszkań otrzymano następujące rezultaty:
- średnia liczba osób 3,6; odchylenie standardowe liczby osób 1,4
- średnia powierzchnia 50,7 [m2]; odchylenie standardowe powierzchni 10,6 [m2] - kowariancja powierzchni i liczby osób wynosi 1,21.
Gospodarstwo rodzinne pana Kowalskiego liczy 4 osoby i zajmuje powierzchnię 52,3 [m2].
Czy pan Kowalski może być zadowolony ze swojego mieszkania w stosunku do badanej grupy?
Zadanie 84.
Radzieccy uczeni stwierdzili, że równanie regresji opisujące zależność pomiędzy liczbą kupionych karpi (X), a liczbą otrzymanych prezentów (Y) wygląda następująco: y=-2x+10 (dla odpowiednich dodatnich wartości Y). Pozostałe parametry: cov(x,y)=2, x =2, y =6.
Święty Mikołaj nie zgadza się z tymi wyliczeniami. Kto ma rację i dlaczego?
Zadanie 85.
Dla poniższych danych wyznacz linie regresji I-go i II-go rodzaju
X\Y 2 4 5
1 10
2 5 20 5
3 10
Zadanie 86.
W wyniku pewnego badania statystycznego otrzymano następujące wyniki rxy=0,25,
cov(x,y)=15, Sx=10, a wariancja wewnątrzgrupowa zmiennej X wyniosła 33,75. Oblicz exy. Co można powiedzieć o otrzymanych wynikach?
Zadanie 87.
W wyniku pewnego doświadczenia otrzymano następujące obserwacje zmiennych X i Y.
X\Y 0 2
0 0,15 0,4
2 0,25 0,2
Określić zależność korelacyjną pomiędzy tymi zmiennymi.
Zadanie 88.
Zbadaj niezależność zmiennych X i Y jeśli ich rozkłady są następujące:
X\Y <1;3) <3;5) <5;7) <7;10)
1 0,2 0,1
2 0,1 0,3 0,1
3 0,2
BADANIE DYNAMIKI ZJAWISK
Zadanie 89.
Przeciętne zatrudnienie w pewnym przedsiębiorstwie w ostatnich czterech latach przedstawiało się się następująco:
Kolejne lata 1 2 3 4
Przeciętne zatrudnienie 12153 11375 10405 9575
a) Obliczyć przyrosty absolutne i względne: jednopodstawowe (dla t=1) i łańcuchowe b) Dokonać zamiany przyrostów na indeksy jednopodstawowe i łańcuchowe
c) Ocenić dynamikę zatrudnienia i ustalić przeciętne tempo zmian zatrudnienia w badanym okresie
d) Obliczyć wielkość zatrudnienia w bieżącym roku (t=5) wiedząc, że indeks dynamiki zatrudnienia w bieżącym roku wyniósł 75%
Zadanie 90.
Indeksy dynamiki produkcji (jednopodstawowe) w kolejnych kwartałach ubiegłego roku przedstawiały się następująco: (pierwszy kwartał = 100): 100%, 116%, 102%, 119%. O ile procent wzrosła produkcja w IV kwartale w stosunku do III, a o ile procent w stosunku do II?
Zadanie 91.
Dynamika dostaw odtwarzaczy mp3 do sklepów w pewnym mieście w ostatnich latach mierzona indeksami jednopodstawowymi kształtowała się następująco: 100%, 104%, 117%, 135%, 156%, 174%. Obliczyć indeksy łańcuchowe dostaw oraz wyznaczyć średnie roczne tempo wzrostu sprzedaży odtwarzaczy mp3 w badanym okresie.
Zadanie 92.
W jednym z punktów gastronomicznych objętych badaniem utarg w grudniu ubiegłego roku stanowił 220% utargu z grudnia roku poprzedniego, przy czym indeks mierzący zmiany w strukturze ilości sprzedawanych tam artykułów wyniósł 130%.O ile procent zmienił się utarg z tytułu zmian cen?
Zadanie 93.
Agregatowy indeks dynamiki ilości formuły Laspeyresa wyniósł 90%, indeks cen zaś według formuły Paaschego 130%. Ocenić zmiany wartości sprzedaży artykułów w badanym okresie.
Zadanie 94.
W fabryce opon samochodowych indeks cen według konstrukcji Paaschego wynosił 180%, a indeks wartości wynosił 90%. Ocenić dynamikę zmian ilościowych w produkcji tej fabryki.
Zadanie 95.
Średnie roczne tempo wzrostu produkcji odtwarzaczy mp3 w pewnym zakładzie w ostatnich 3 latach wynosiło 4%. Wyznaczyć wielkość produkcji odtwarzaczy w kolejnym roku, jeżeli wiadomo, że w drugim roku zakład produkował 10000 odtwarzaczy.
Zadanie 96.
Przedsiębiorstwo produkujące meble kuchenne, na podstawie oceny własnych możliwości (zmiany cen surowców i energii) i badań marketingowych (oceny możliwości popytowych nabywców), zaplanowało zmiany w strukturze produkcji i cen. Strukturę i asortyment produkowanych mebli oraz prognozy przedstawia tabela:
Asortyment
Okres podstawowy Okres prognozowany
Liczba sztuk Cena jedn. (w zł) Liczba sztuk Cena jedn. (w zł)
Stoły okrągłe 800 1200 500 1600
Stoły prostokątne
500 870 1200 900
Krzesła typu A 2000 440 1000 600
Krzesła typu B 1000 690 1000 720
Krzesła typu C 300 240 500 300
a) Wykorzystując agregatowe indeksy wartości cen i ilości dokonać oceny proponowanych zmian.
b) Wyznaczyć średnie ceny jednostkowe krzesła i stołu w okresach: badanym i prognozowanym.
c) Wyznaczyć dynamikę cen przeciętnych.
d) Podać interpretację wszystkich wyznaczonych indeksów.
Zadanie 97.
Spożycie chleba w ostatnich 5 latach (1997-2002) w miejscowości A kształtowało się następująco: 200, 220, 190, 215, 240 ton w miejscowości B relacja zmian z roku na rok kształtowała się: 1.2, 1.5, 0.9, 1.1. W miejscowości C relacja zmian w porównaniu z rokiem 1997 kształtowała się: 1.1, 1.8, 0.9, 1.3. Oblicz i porównaj średnie tempo zmian w
poszczególnych miastach.
Zadanie 98.
Agregatowy indeks dynamiki ilości formuły Laspeyersa wyniósł 90%, indeks cen zaś według formuły Paaschego 130%. Ocenić zmiany wartości sprzedaży artykułów w dwóch badanych okresach.
Zadanie 99.
Tabela przedstawia ceny oraz wielkości produkcji towarów A i B w latach 2000 i 2002.
Ustalić dynamikę wzrostu łącznej wartości wyrobów A i B.
Wyrób Produkcja Ceny
2000 2002 2000 2002
A 10 20 5 1
B 12 24 5 0,5
Zadanie 100.
Pewna spółka składa 3 rodzaje komputerów A, B , C, tabela przedstawia wielkość produkcji poszczególnych komputerów w tys. szt. oraz koszty jednostkowe produkcji w PLN. Jak
zmieniły się koszty produkowanych komputerów w porównywanych okresach? Jaki wpływ na zmianę miała dynamika kosztów, a jaki dynamika ilości produkowanych komputerów?
Wyrób Produkcja Koszty
2001 2002 2001 2002
A 0.8 1.2 24 29
B 1.0 1.4 18 29
C 1.5 1.3 30 35
Zadanie 101.
W fabryce obuwia indeks cen według konstrukcji Paaschego wynosił 190%, a indeks wartości wynosił 80%. Ocenić dynamikę zmian ilościowych w produkcji tej fabryki.
Zadanie 102.
Dwa zakłady obuwnicze Z1 i Z2 produkują te same asortymenty obuwia. Zakłady dokonały zmian ilościowych w wielkości produkcji poszczególnych asortymentów obuwia w roku 2002 w stosunku do roku poprzedniego. Zmiany te przedstawione zostały w tabeli.
Asortyment obuwia
Wartość produkcji rocznej w tys. PLN
Zakład Z1 Zakład Z2
2001 2002 2001 2002
I 100 400 50 100
II 200 100 100 50
III 400 300 200 300
IV 300 250 150 100
Który z zakładów dokonał głębszych zmian w strukturze asortymentowej swojej produkcji?
Zadanie 103.
Dysponujemy informacjami o wielkościach sprzedaży badanej firmy w 2001 i 2002 roku.
Artykuł
Wartość obrotów w tys. Zł Zmiana ilości sprzedaży w roku 2002 w stosunku do 2001
2001 r. 2002 r.
A 220 250 Wzrost o 15%
B 200 100 Bez zmian
C 180 50 Spadek o 10%
Dokonać analizy agregatowej wartości obrotów, cen badanych artykułów i ilości sprzedaży.
ZMIENNA LOSOWA I JEJ ROZKŁADY
Zadanie 104.
≤
≤
−
<
≤
=
tym poza 0
a x 3 3
x 1 9 1
1 x 0 x )
x (
f
≤
≤
−
<
≤
=
tym poza 0
b x 2 2
y 1 4 1
2 y 0 4 y
1
) y ( f
a) Znaleźć wartości a i b tak, aby funkcje f(x) oraz f(y) były funkcjami gęstości prawdopodobieństwa zmiennych losowych x i y.
b) Który rozkład cechuje silniejsza asymetria?
Zadanie 105.
W urnie znajduje się 100 losów, a wśród nich jedna wygrana za 250 zł, dwie po 150 zł, dwie po 100 zł, pięć po 50 zł oraz dziesięć po 20 złotych. Zmienną losową X jest wartość
wygranej.
a) Zapisać rozkład zmiennej losowej X,
b) znaleźć wartość oczekiwaną zmiennej losowej X,
c) znaleźć wariancję i odchylenie standardowe zmiennej X, d) określić stopień zmienności tej zmiennej,
e) znaleźć dystrybuantę zmiennej losowej X.
Zadanie 106.
Dany jest rozkład zmiennej losowej X:
X=xi -2 -1 0 4 6
P(X=xi)
9 1
9 2
3 1
18 5
18 1
a) znaleźć wartość oczekiwaną zmiennej losowej X,
b) znaleźć wartość wariancji oraz odchylenia standardowego zmiennej losowej X, c) znaleźć dystrybuantę zmiennej losowej X.
Zadanie 107.
Uzupełnij dane wiedząc, że E(X) = 0
X=xi -5 -2 0
P(X=xi)
5 1
2 1
5 1
Zadanie 108.
Na podstawie danych z poprzedniego zadania oblicz wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej X.
Zadanie 109.
Na podstawie poniższych danych znaleźć rozkład zmiennej losowej Y=X2
X=xi -2 -1 0 1 2
P(X=xi)
9 1
9 2
3 1
18 5
18 1
Zadanie 110.
Na podstawie danych z poprzedniego zadania znaleźć rozkład zmiennej losowej: U=
2
2 1
X − X
Zadanie 111.
Dystrybuanta zmiennej losowej X dana jest postaci:
>
≤
<
≤
=
3 1
3 27 0
1
0 0
)
( 3
x x x
x x
F ,
a) znaleźć funkcję gęstości zmiennej losowej X, b) obliczyć prawdopodobieństwo
< <
3 2 3
1 x
P .
Zadanie 112.
Obliczyć wartości parametrów: E(X) oraz D2(X) dla funkcji gęstości otrzymanej w poprzednim zadaniu.
Zadanie 113.
Masa ciała w populacji studentów Politechniki Śląskiej ma rozkład normalny N(75, 12).
Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że masa ciała przypadkowo napotkanego studenta należy do przedziału:
a) (60; 65), b) (78; 85), c) (74; 76), d) (108; 120).
Zadanie 114.
Masa jabłek w pewnym sadzie ma rozkład normalny N(150, 25). Obliczyć prawdopodobieństwo, że jabłko tego gatunku waży od 120 do 150.
Zadanie 115.
Zmienna losowa X ma w populacji rozkład N(m,30). Znajdź m wiedząc, ze P(X<80)=0,6915 Zadanie 116.
Jaki procent produkcji zakładów obuwniczych powinno stanowić obuwie o rozmiarach od 27do 33, jeżeli wiadomo, ze długość stopy u dorosłego człowieka jest zmienną losową o rozkładzie N(29,3).
Zadanie 117.
Dana jest funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.
xi -3 -2 0 1 3 5
pi 0,1 0,2 0,1 C 0,3 0,1
Wyznaczyć:
a) stałą c
b) wykres funkcji prawdopodobieństwa i jej histogram c) dystrybuantę i jej wykres
d) prawdopodobieństwa: P(x=3), P(x=5), P(-2≤x≤1) dwoma sposobami: z funkcji prawdopodobieństwa oraz z dystrybuanty
e) podane prawdopodobieństwa zilustrować na wykresie Zadanie 118.
Niech zmienna losowa X ma rozkład o gęstości:
≤ ≤
=
tym poza 0
c x 0 4 dla
1x ) x ( f
Wyznaczyć:
a) stałą c,
b) wartość oczekiwaną, c) medianę
d) modę.
Zadanie 119.
Zmienna losowa ma rozkład o gęstości:
− ≤ ≤
=
tym poza 0
1 x 0 dla 1
6x( x) )
x ( f
a) obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X , b) zmiennej Y=2X-1
c) zmiennej Y=2X-1.
Zadanie 120.
Znaleźć taką liczbę a, aby funkcja:
≤
− <
≤
≤
=
tym poza
a x k k
k x
k k x
x
) x ( f
0
0
2 2
była funkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej x.
Zadanie 121.
Pociągi kolejki miejskiej odjeżdżają ze stacji co 6 minut. Zakładając, że rozkład czasu
przybycia pasażera na stację jest jednostajny, obliczyć oczekiwaną wartość czasu oczekiwania na pociąg oraz wariancję czasu oczekiwania na pociąg.
Zadanie 122.
Z pewnego przystanku trolejbusy odjeżdżają co 5 minut. Zakładając, że rozkład czasu
przybycia pasażera na przystanek jest jednostajny, obliczyć prawdopodobieństwo, że pasażer będzie czekał co najmniej 2 minuty.
Zadanie 123.
Z pewnego przystanku trolejbusy odjeżdżają co 5 minut. Zakładając, że rozkład czasu przybycia pasażera na przystanek jest wykładniczy z wartością oczekiwaną wynoszącą 2,5 minuty, obliczyć prawdopodobieństwo, że pasażer będzie czekał co najmniej 2 minuty.
Zadanie 124.
Czas bezawaryjnej pracy pewnego urządzenia energetycznego ma rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej 100 godzin. Obliczyć:
a) medianę,
b) prawdopodobieństwo, że bezawaryjny czas pracy urządzenia wynosi co najmniej 100 godzin.
Zadanie 125.
Czas obsługi pojedynczego klienta przez kasjerkę pewnego hipermarketu ma rozkład
wykładniczy. Ustalono, że obsługa jednego klienta trwa średnio przez 3 minuty. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że klient zostanie obsłużony krócej niż w 4 minuty.
Zadanie 126.
Czas mycia samochodu w myjni samochodowej na pewnej stacji benzynowej jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym w przedziale <20;40> minut.
a) Obliczyć prawdopodobieństwo, że mycie samochodu potrwa krócej niż 25 minut,
b) Obliczyć prawdopodobieństwo, że mycie samochodu będzie trwało nie dłużej niż 30 min i nie krócej niż 25 min.
c) Jakie jest prawdopodobieństwo, że mycie potrwa dłużej niż 35 minut?
d) Jakie będą dane prawdopodobieństwa, gdy czas mycia będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym z wartości oczekiwaną i odchyleniem standardowym takimi samymi jak przy rozkładzie jednostajnym?
Zadanie 127.
Czas mycia samochodu w myjni samochodowej na pewnej stacji benzynowej jest zmienną losową o rozkładzie normalnym +(30 minut, 10 minut).
a) Obliczyć prawdopodobieństwo, że mycie samochodu potrwa krócej niż 25 minut,
b) Obliczyć prawdopodobieństwo, że mycie samochodu będzie trwało nie dłużej niż 30 min i nie krócej niż 25 min.
c) Jakie jest prawdopodobieństwo, że mycie potrwa dłużej niż 35 minut?
d) Jak zmienią się odpowiednie prawdopodobieństwa, gdy czas mycia samochodu będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym w przedziale <m−3σ;m+3σ >, gdzie m oraz σ są parametrami rozpatrywanego w zadaniu rozkładu normalnego?
