Ćwiczenia nr 6
Kognitywistyka: Wstęp do matematyki
Prawdopodobieństwo klasyczne, geometryczne, zagadnienia uzupełniające 18.11.2019
W poprzednich wykładach wyprowadziliśmy wzór P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) oraz P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (B ∩ C) − P (C ∩ A) + P (A ∩ B ∩ C). Jego ogólna postać jest następująca:
Twierdzenie (Wzór włączeń i wyłączeń).
P (A1∪ A2∪ . . . An) =
n
X
i=1
P (Ai) − X
i1<i2
P (Ai1 ∩ Ai2) + . . . + (−1)n+1P (A1∩ A2∩ . . . ∩ An).
Zadanie 1. Monetę o średnicy 2 cm rzucamy na podłogę ułożoną z kwadratowych płytek ceramicz- nych o boku 15 cm i szerokości fugi 1 cm. Jakie są szanse, że moneta w całości znajdzie się na pojedynczej płytce?
Zadanie 2. Igłę o długości 1 cm rzucono w sposób losowy na papier w linie równoległe o odstępie 1 cm. Jakie są szanse, że igła przetnie którąś z linii?
Zadanie 3. Rzucamy 5 razy kostką sześcienną. Jakie są szanse, że (a) suma wyrzuconych oczek jest większa niż 17 co najmniej?
(b) wyrzucimy co najmniej jedną szóstkę, ale nie wyrzucimy jedynki?
Zadanie 4. Litery słowa MATEMATYKA przestawiamy w sposób losowy. Zatem prawdopodobień- stwo, że ponownie uzyskamy słowo MATEMATYKA jest równe 2!2!3!/10!. Jakie jest prawdopo- dobieństwo, że
(a) litery M będą obok siebie,
(b) żadne dwie litery A nie będą obok siebie,
(c) obie litery T będą przed obiema literami M lub obie litery M będą przed literą E?
Zadanie 5. Rzucamy 10 razy kostką sześcienną. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadną wszyst- kie sześć wartości?
Zadanie 6. Windą jedzie 7 osób, a każda może wysiąść na jednym z 10 pięter. Jaka jest szansa, że na pewnym piętrze wysiądą 3 osoby, na innym 2 i na dwóch piętrach po jednej?
Zadanie 7. Rozdajemy 52 karty czterem graczom, każdemu po 13 kart. Jakie jest prawdopodobień- stwo, że co najmniej jeden z nich (a) nie ma asa? (b) nie ma pików?
Zadania domowe na 25.11.2019
Zadanie 1. W trójkącie równobocznym o boku długości 1 wybieramy losowo punkt P , a następnie losowo wybieramy liczbę r z przedziału [0,√
3/6]. Jakie jest prawdopodobieństwo, że koło o środku w P i promieniu r będzie zawarte w tym trójkącie?
Zadanie 2. Przychodzimy na przystanek punktualnie o 15 i wsiadamy do tramwaju linii 1 lub 2, w zależności od tego, który z nich przyjedzie pierwszy. Tramwaj linii 1 przyjeżdża w losowo wybranym momencie między 15 a 15:30, zaś tramwaj linii 2 — między 14:50 a 15:20 a następnie równo za 30 minut. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pojedziemy tramwajem nr 1?
Zadanie 3. Rzucamy monetą dopóki nie wypadnie orzeł dwa razy z rzędu. Jakie jest prawdopodo- bieństwo, że bedziemy rzucać (a) 4 razy, (b) 10 razy?
