1 P3: Je±li A1, A2, A3, ..jest dowolnym ci¡giem zdarze« parami rozª¡cznych, to P (A1∪ A2∪ A3

(1)

Przestrze« probabilistyczna (Ω, Z, P ):

1. Ω zbiór zdarze« elementarnych.

2. Z rodzina zdarze« czyli rodzina podzbiorów zbioru Ω speªniaj¡ca warunki:

A1: Ω ∈ Z (zdarzenie pewne),

A2: A ∈ Z → A⁰:= Ω \ A ∈ Z (zdarzenie przeciwne),

A3: A1, A₂, A₃, ... ∈ Z → (A₁∪ A₂∪ A₃∪ ...) ∈ Z (przeliczalna suma zdarze«

jest zdarzeniem).

3. P prawdopodobie«stwo czyli funkcja P : Z → R (przyporz¡dkowuj¡ca zdarzeniom liczby rzeczywiste) speªniaj¡ca warunki:

P1: P (A) ≥ 0 P2: P (Ω) = 1

P3: Je±li A1, A2, A3, ..jest dowolnym ci¡giem zdarze« parami rozª¡cznych, to P (A1∪ A2∪ A3∪ ...) = P (A1) + P (A2) + P (A3) + ....

Elementarne wªasno±ci prawdopodobie«stwa 1. P (∅) = 0,

2. A ⊂ B → P (A) ≤ P (B), 3. P (A) ≤ 1,

4. A ⊂ B → P (B \ A) = P (B) − P (A), 5. P (A) + P (A⁰) = 1,

6. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B),

7. Je±li Ω jest przeliczalny i dla ka»dego ωi∈ Ωokre±lone jest prawdopodobie«stwo pi:= P ({ωi}), gdzie p1+ p2+ p3+ ... = 1, to

P (A) = p_i₁+ p_i₂+ p_i₃+ ... dla A = {ωi1, ω_i₂, ω_i₃, ...}.

8. Je±li Ω zawiera n zdarze« elementarnych o jednakowych prawdopodobie«st- wach (zdarze« jednoelementowych), to

P (A) = ^|A|_|Ω| = ^k_n, gdzie k = |A| oznacza liczebno±¢ zbioru A.

(2)

Prawdopodobie«stwo w podzbiorach Rⁿ Je±li

• Ωjest podzbiorem Rⁿ,

• zbiór zdarze« Z skªada si¦ ze zbiorów, którym mo»na przyporz¡dkowa¢

miar¦ µ(A) (np. dªugo±¢, pole, obj¦to±¢, odpowiednio dla n = 1, 2, 3),

• P (A) = ^µ(A)_µ(Ω),to (Ω, Z, P ) jest przestrzeni¡ probabilistyczn¡.

Przykªady: 1. 1. Winda z czterema przypadkowymi osobami mo»e zatrzy- ma¢ si¦ na ka»dym z 10-ciu pi¦ter. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e ka»da osoba wysi¡dzie na innym pi¦trze?

2. Roztargniona osoba próbuje otworzy¢ drzwi jednym z czterech kluczy. Ni- estety po ka»dej próbie klucz wraca do p¦ku. Jakie jest prawdopodobie«stwo,

»e ilo±¢ prób przekroczy 4?

3. Zakªadamy, »e spó¹nienie wykªadowcy jest przypadkow¡ liczb¡ minut z przedziaªu [0,15]. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e studenci strac¡ ª¡cznie ponad 20 minut z dwóch wykªadów?

Prawdopodobie«stwo warunkowe

Denicja 1. Prawdopodobie«stwem zdarzenia B pod warunkiem, »e zaszªo zdarzenie A nazywamy liczb¦:

P (B|A) :=P (A ∩ B) P (A) o ile P (A) > 0.

Wn. 1. 1. P (A ∩ B) = P (A) · P (B|A);

2. P (A ∩ B ∩ C) = P (A) · P (B|A) · P (C|A ∩ B);

3. P (A1∩ A2∩ ... ∩ An) = P (A1) · P (A2|A1) · ... · P (An|A1∩ A2∩ ... ∩ An−1); Denicja 2. 1. Zdarzenia A, B nazywamy niezale»nymi gdy P (A ∩ B) =

P (A) · P (B)

2. Zdarzenia A1, A₂, ..., A_n nazywamy wzajemnie niezale»nymi gdy P (Ai1∩ A_i₂ ∩ ... ∩ A_ik) = P (A_i₁) · P (A_i₂) · ... · P (A_ik) dla dowolnego podci¡gu A_i₁, A_i₂, ..., A_ik.

Twierdzenie 1 (O prawdopodobie«stwie caªkowitym). Je»eli zdarzenia A1, A2, ..., An

speªniaj¡ warunki:

1. Ai∩ Aj= ∅ dla i 6= j, 2. A1∪ A2∪ An = Ω,

3. P (Ai) 6= 0dla i = 1, 2, ..., n,

to P (B) = P (B|A1) · P (A1) + P (B|A2) · P (A2) + ... + P (B|An) · P (An).

(3)

Twierdzenie 2 (Wzór Bayesa). Je»eli P (B) 6= 0, to

P (A_k|B) = P (Ak) · P (B|Ak)

P (B) .

Przykªad: 1. Pewna choroba wyst¦puje u 0, 2% ogóªu ludno±ci. Przygotowano test do jej wykrycia. Test daje wynik pozytywny u 97% chorych i 1% zdrowych.

Obliczy¢ prawdopodobie«stwo tego, »e

1. Test da wynik pozytywny u losowo wybranej osoby.

2. Osoba, u której test daª wynik pozytywny jest rzeczywi±cie chora.

Odpowiedzi: (1) 0,012; (2) 0,163.

Zmienne losowe

Denicja 3. Dla dowolnej przestrzeni probabilistycznej (Ω, Z, P ) zmienn¡ losow¡

nazywamy funkcj¦

X : Ω → R

(przyporz¡dkowuj¡c¡ zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste) speªniaj¡c¡

warunek:

{ω : X(ω) < x} ∈ Z dla dowolnego x ∈ R.

Denicja 4. Dystrybuant¡ zmiennej losowej X nazywamy funkcj¦ FX : R → [0, 1]okre±lon¡ wzorem

F_X(x) = P (X < x).

Wªasno±ci dystrybuanty 1. 0 ≤ F (X) ≤ 1;

2. lim

x→−∞F (x) = 0; lim

x→+∞F (x) = 1; 3. F jest niemalej¡ca;

4. F jest (co najmniej) lewostronnie ci¡gªa;

5. P (a ≤ X < b) = F (b) − F (a);

6. P (X = x0) = lim

x→x⁺₀

F (x) − F (x0);

7. Dowolna funkcja speªniaj¡ca warunki 2,3,4 jest dystrybuant¡ pewnej zmiennej losowej.

(4)

Zmienne losowe typu skokowego

Denicja 5. Mówimy, »e zmienna losowa X jest typu skokowego gdy istnieje przeliczalny (sko«czony lub niesko«czony) zbiór jej warto±ci WX= {x1, x2, ...}, taki »e

X

xi∈WX

pi = 1 (

n

X

i=1

pi= 1) (

∞

X

i=1

pi= 1) gdzie pi:= P (x_i).

Dystrybuanta zmiennej typu skokowego okre±lona jest wzorem:

F (x) = X

x_i<x

p_i.

Przykªad: 2. Sporz¡dzi¢ wykres funkcji rozkªadu prawdopodobie«stwa i dystrybuanty zmiennej, która losowo wybranemu studentowi Biotechnologii przyporz¡dkowuje ocen¦ z matematyki je±li wyniki (I termin) egzaminu byªy nast¦pu- j¡ce:

bdb − 10 os.; db − 10 os.; dst − 30 os.; ndst − 50 os.

Zmienne losowe typu ci¡gªego

Denicja 6. Mówimy, »e zmienna losowa X jest typu ci¡gªego, gdy przyjmuje wszystkie warto±ci rzeczywiste z pewnego przedziaªu i istnieje nieujemna funkcja f, taka »e dystrybuanta X zmiennej wyra»a si¦ wzorem:

F (x) = Z x

−∞

f (t)dt.

Funkcj¦ f nazywamy g¦sto±ci¡ zmiennej X. Mówimy, »e dany jest rozkªad zmiennej typu ci¡gªego, gdy dana jest jej g¦sto±¢ lub dystrybuanta.

• Funkcja g¦sto±ci jest zawsze nieujemna.

• Dystrybuanta zmiennej typu ci¡gªego jest funkcj¡ ci¡gª¡.

• Z +∞

−∞

f (x)dx = 1.

• P (a < X < b) = Z b

a

f (x)dx = 1 Przykªad:

Zmienna X ma g¦sto±¢ f(x) =

A(1 − x²) dla x ∈ [−1, 1]

0 dla x /∈ [−1, 1] Wyznaczy¢

warto±¢ staªej A, dystrybuant¦ F (x) i prawdopodobie«stwa zdarze«: P (X > 0), P (−¹₂< X < ¹₂).

(5)

Denicja 7. Mówimy, »e zmienne losowe X i Y s¡ niezale»ne, gdy dla dowolnych x, y ∈ R niezale»ne s¡ zdarzenia {X < x} i {Y < y}, tzn. gdy

P (X < x ∧ Y < y) = P (X < x) · P (Y < y).

Mówimy, »e X1, X₂, ..., X_n jest ci¡giem niezale»nych zmiennych losowych, gdy dla dowolnych xi (i = 1, ..., n) zachodzi:

P (X₁< x₁∧ X₂< x₂∧ ... ∧ X_n < x_n) = F_X₁(x₁) · F_X₂(x₂) · ... · F_X_n(x_n).

Charakterystyki liczbowe (parametry) zmiennych losowych

Denicja 8. Warto±ci¡ oczekiwan¡ (±redni¡, warto±ci¡ przeci¦tn¡, nadziej¡

matematyczn¡) zmiennej X typu skokowego nazywamy:

E(X) := X

xi∈WX

xipi

a zmiennej X typu ci¡gªego:

E(X) :=

Z +∞

−∞

xf (x)dx.

Wªasno±ci:

1. E(aX + b) = aE(X) + b; E(X + Y ) = E(X) + E(Y );

2. E(X · Y ) = E(X) · E(Y ) je±li X, Y s¡ niezale»ne.

Denicja 9. Wariancj¡ zmiennej losowej X nazywamy:

D²(X) := E[(X − E(X))²] = E(X²) − [E(X)]². Dla typu skokowego mamy:

D²(X) = X

xi∈WX

(xi− m)²pi = X

xi∈WX

x²_ipi− m²

a dla typu ci¡gªego:

D²(X) :=

Z +∞

−∞

(x − m)²f (x)dx = Z +∞

−∞

x²f (x)dx − m² gdzie m := E(X).

(6)

Wªasno±ci wariancji i odchylenia standardowego

Odchyleniem standardowym D(X) nazywamy pierwiastek z wariancji (D(X) = pD²(X)).

1. D²(aX + b) = a²D²(X); D(aX + b) = |a|D(X);

2. Je±li X, Y s¡ niezale»ne, to D²(X ± Y ) = D²(X) + D²(Y ).

Uwaga 1. Warto±¢ oczekiwana jest miar¡ poªo»enia a wariancja i odchylenie standardowe s¡ miarami rozrzutu.

Standaryzacja zmiennej losowej: Je»eli X ma ±redni¡ m i odchylenie standardowe σ, to zmienna

Y := X − m σ ma ±redni¡ 0 i odchylenie 1.

Denicja 10. 1. Kwantylem rz¦du p zmiennej X typu ci¡gªego nazywamy tak¡ liczb¦, »e F (xp) = p.Kwantyl rz¦du ¹₂ nazywamy median¡ (me).

2. Warto±ci¡ krytyczn¡ rz¦du α zmiennej losowej X typu ci¡gªego nazywamy tak¡ liczb¦ xα, »e

P (X > x_α) = α.

Warto±¢ krytyczna rz¦du α, to kwantyl rz¦du 1 − α.

3. Warto±ci¡ modaln¡ (dominant¡, mod¡) nazywamy warto±¢ mo, dla której funkcja g¦sto±ci osi¡ga warto±¢ najwi¦ksz¡.

Przykªad: 3. Wyznaczy¢ ±rednie i wariancje dla: ocen z matematyki studen- tów Biotechnologii, omawianego przykªadu zmiennej typu ci¡gªego i rozkªadu jednostajnego na odcinku [−1, 1].

Przykªady rozkªadów zmiennych losowych 1. Rozkªad zero-jedynkowy: xi 0 1

pi q p E(X) = p, D²(X) = pq

2. Rozkªad dwumianowy (Bernoulliego): suma n niezale»nych zmiennych losowych o jednakowych rozkªadach zero-jedynkowych.

P (k, n, p) := P (X = k) =n k

p^kq^n−k E(X) = np; D²(X) = npq.

3. Rozkªad Poissona ze ±redni¡ λ: dla k = 0, 1, 2, ... przyjmujemy

P (k, λ) := P (X = k) = e^−λλ^k k!. E(X) = D²(X) = λ.

(7)

Twierdzenie 3 (Graniczne Poissona). Je»eli X1, X2, X3, ...jest ci¡giem zmiennych losowych o rozkªadach dwumianowych z parametrami (1, p1), (2, p2), (3, p3), ...

i lim

n→∞npn = λ, to lim

n→∞

n k

p^k_n(1 − pn)^n−k = e^−λλ^k

k! (czyli ci¡g rozkªadów Bernoulliego zbiega do rozkªadu Poissona).

Wn. 2 (Przybli»enie stosowane dla n > 50, p < 0, 1 np < 10:). n k

p^kq^n−k≈ e^−λλ^k

k! gdzie λ = np.

Przykªad: 4. Wiadomo, »e ksi¡»ka o 500 stronach zawiera 100 bª¦dów drukars- kich. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e na losowo wybranej stronie znajdziemy:

(a) 0 bª¦dów, (b) 1 bª¡d, (c) wi¦cej ni» 2 bª¦dy?

Denicja 11. Rozkªadem normalnym ze ±redni¡ m i odchyleniem standardowym σ (piszemy N(m; σ)) nazywamy rozkªad typu ci¡gªego o g¦sto±ci

f (x) = 1 σ√

2πe⁻^(x−m)2^2σ2 .

Przykªad: 5. Wiadomo, »e procentowa zawarto±¢ alkoholu w piwie pewnej marki ma rozkªad normalny N(5; 0, 2). Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e w wylosowanej butelce piwa stwierdzimy zawarto±¢ alkoholu: (a) mniejsz¡ ni»

5, 1%, (b) wi¦ksz¡ ni» 4, 8%, (c) od 4, 6% do 5, 4%.

Twierdzenie 4 (Graniczne Moivre'a-Laplace'a). Je»eli (Xn)jest ci¡giem zmiennych losowych o rozkªadach dwumianowych z parametrami (n, pn) oraz (Yn) jest odpowiadaj¡cym mu ci¡giem standaryzowanych zmiennych losowych

Yn= X_n− npn

√npnqn

, to dla ka»dych a, b (a < b) zachodzi

n→∞lim P (a < Y_n< b) = F (b) − F (a),

gdzie F jest dystrybuant¡ rozkªadu normalnego N(0, 1) (czyli ci¡g rozkªadów Bernoulliego zbiega do rozkªadu normalnego).

Przykªad: 6. Osoby lewor¦czne stanowi¡ 10% populacji. Jakie jest prawdopodobie«stwo,

»e liczba ma«kutów dziesi¦ciotysi¦cznego miasta zawiera si¦ w przedziale od 1000 do 1030?