0, jest całkowalna (w sensie Riemanna) na [0, 1]

Ćwiczenia (11), AM I, 17.5.2019 Całka Riemanna, całka Newtona

Zadanie 1. Oblicz bezpośrednio całkę Riemanna z funkcji f (x) = x² na przedziale [0, a].

Zadanie 2. Wykazać, że funkcja f (x) = _x¹−b_x¹c, f (0) = 0, jest całkowalna (w sensie Riemanna) na [0, 1].

Zadanie 3. Wykazać, że funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych nie jest całkowal- na na [0, 1].

Zadanie 4. Czy nieciągła funkcja f (x) = sgn(sin^π_x) jest całkowalna na [0, 1]?

Zadanie 5. Niech f : [0, 1] → R będzie funkcją rosnąca. Wykazać, że istnieje stała C taka, że dla dowolnej liczby naturalnej n mamy następujące oszacowanie całki Riemanna

|

Z ₁

0

f (x)dx − 1 n

n

X

k=1

f (k

n)| < C n.

Zadanie 6. Oblicz całki oznaczone (całki Newtona) (a) ^R₋₁² x²dx, (b) ^R_a^b _x¹dx, (c) ^R₋₁² |x|dx, (d) ^R₋₁₀¹⁰ |x² − 5x + 6|dx, (e)^R₋₁⁸ √³

xdx, (f)^R₀^2π _{1+ cos x}^dx . Zadanie 7. Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi:

(a) y = x² i y = ¹₂x²+ 2, (b) y =√

x, y = 0 i x = 2,

(c) x = ¹₂y² i okręgiem o równaniu x²+ y²− 4x = 0.

Zadanie 8. Oblicz

(a) lim_n→∞^_n¹2 + _n²2 + . . . + ⁿ⁻¹_n2

, (b) lim_n→∞^_n+1¹ + _n+2¹ + . . . + _n+n^{1 },

(c) lim_n→∞ ^1p+2_n^pp+1^+...+np, gdzie p > 0,

(d) lim_n→∞ ¹_n^q1 + _n¹ +^q1 + _n² + . . . +^q1 + ⁿ_n^, (e) lim_n→∞ ⁿ

√ n!

n . Zadanie 9. Wykazać, że

Z x 0

e^x2 ∼ 1 2xe^x2 przy x → +∞.

Zadanie 10. Oblicz

Z 2

1 2



1 + x − 1 x



e^x+1xdx.

Zadanie 11. Uzasadnij, że funkcją odwrotną do funkcji sinh : R → R jest funkcja x 7→ ln(x +√ 1 + x²). Wyznacz obraz funkcji cosh : R → R i znajdź wzór na funkcję do niej odwrotną.

Zadanie 12. Rozważamy hiperbolę x² − y² = 1, x > 0. Każdy jej punkt jest postaci P (t) :=

(cosh t, sinh t), t ∈ R. Wykazać, że obszar ograniczony prostymi y = 0, prostą łączącą (0, 0) z punktem P (t) oraz hiperbolą x²− y² = 1 ma pole równe ¹₂t.

2