Wrocªaw, 19 wrze±nia 2016 LISTA 1: LOGIKA I RACHUNEK ZDA
1. Oce«, czy to prawda, »e
(a) 7 jest liczb¡ naturaln¡ lub 1 > 0, (b) 2 + 2 = 2 lub 7 jest liczb¡ naturaln¡,
(c) x > 7,
(d) je±li 7 jest liczb¡ naturaln¡, to 1 = 0, (e) je±li 2 + 2 = 2, to 7 jest liczb¡ naturaln¡, (f) je±li 2 + 2 = 2, to 2 + 2 = 2,
(g) je±li 2 + 2 = 2, to 2 + 2 = 3, (h) To zdanie jest faªszywe.
2. Sformuªuj zaprzeczenia poni»szych zda«. Które z tych zaprzecze« s¡ zdaniami praw- dziwymi?
(a) 7 jest liczb¡ naturaln¡,
(b) 7 jest liczb¡ naturaln¡ lub 1 > 0, (c) 7 jest liczb¡ naturaln¡ i 1 > 0, (d) je±li 7 jest liczb¡ naturaln¡, to 1 > 0,
(e) 7 jest liczb¡ naturaln¡ lub 1 > 0 lub 2 + 2 = 4, (f) 23 = 8 i 42= 16 lub 2 + 2 = 4 i√
4 = 3, (g) 7 nie jest liczb¡ parzyst¡,
(h) Nieprawda, »e 7 nie jest liczb¡ nieparzyst¡.
3. Dane s¡ nast¦puj¡ce zdania:
(a) Rzym jest stolic¡ Wªoch i 2 + 2 = 4.
(b) √
17 > 3 +√
7lub kwadrat jest rombem.
(c) Równanie x + 2 = 0 ma rozwi!zanie oraz Ala ma kota.
(d) Skowronek jest ptakiem lub zi¦ba jest ssakiem.
(e) 7 jest liczb¡ dodatni¡ natomiast −2 jest liczb¡ ujemn¡.
(f) Je»eli kwadrat jest rombem, to 195 jest podzielne przez 5.
(g) Je±li√
2 > 3 to 2 + 2 = 4 lub 7 > 0.
(h) x jest liczb¡ naturaln¡, o ile x jest liczb¡ caªkowit¡ i x jest dodatnie.
(i) Z faktu, »e Polska graniczy z Czechami i Czechy granicz¡ ze Szwecj¡, wynika, »e Polska graniczy z Austri¡.
(j) Je±li nie jest prawd¡, »e trójk¡t jest równoboczny, to nie jest równie» równora- mienny.
A. Rozpoznaj w powy»szych zdaniach zªo»onych zdania proste. Pogrupuj powy»sze zdania zgodnie z ich schematem.
B. Zapisz powy»sze zdania posªuguj¡c si¦ spójnikami logicznymi.
C. Zapisz tabelk¦ dziaªania spójników ∧, ∨, =⇒ , ⇐⇒ . 4. Które z poni»szych zda« s¡ prawdziwe?
(a) Je±li 2 + 2 = 5, to 2 + 2 = 4.
(b) Je±li 2 + 2 = 4, to o ile 0 < 7, to je±li 2 + 2 < 4, to 2 + 2 = 5.
(c) Je±li jutro polec¦ na Ksi¦»yc, to pojutrze spadnie ±nieg.
(d) 7 < 0, chyba »e 1 = 0.
Marcin Preisner [ preisner@math.uni.wroc.pl ] Zadania dzi¦ki uprzejmo±ci Piotra Borodulina-Nadzieji .
1
2 LISTA 1: LOGIKA I RACHUNEK ZDA
5. Dane s¡ schematy zdaniowe:
(a) p ∧ q,
(b) p =⇒ (p ∧ q), (c) ¬p ∨ q,
(d) ¬(p ∧ q) =⇒ (¬p ∨ ¬q), (e) p ∧ q =⇒ p0∨ q,
(f) [(p =⇒ q) ∨ p] =⇒ (q ∧ p), (g) ¬(p ⇐⇒ q).
A. Stwórz z powy»szych schematów zdania podstawiaj¡c za p =trapez jest czworo- k¡tem, q =ka»da liczba podzielna przez 6 jest podzielna przez 3. Które z tych zda« s¡ prawdziwe?
B. Stwórz z powy»szych schematów zdania podstawiaj¡c za p =trapez jest czworo- k¡tem, q =Ala ma kota. Które z tych zda« jest prawdziwe przy zaªo»eniu, »e Ala rzeczywi±cie ma kota? Które, przy zaªo»eniu, »e go nie ma?
C. Które z powy»szych schematów zdaniowych s¡ tautologiami?
6. Niech C oznacza czworok¡t na pªaszczy¹nie. Rozwa»my zdanie:
Gdy C jest rombem lub nie jest trapezem, to je±li C jest trapezem, to jest kwadratem.
Zapisz schemat tego zdania. Co mo»na powiedzie¢ o prawdziwo±ci tego zdania w ka»dej z poni»szych sytuacji:
(a) wiemy, »e C nie jest rombem, (b) wiemy, »e C jest trapezem,
(c) wiemy, »e C nie jest prostok¡tem.
7. Zbadaj, czy poni»sze schematy s¡ tautologiami. (Je±li nie trzeba, nie stosuj tabelki!) (a) p ⇐⇒ q,
(b) ¬(p ∧ ¬p),
(c) ((p =⇒ q) ∧ (p =⇒ (p =⇒ (p =⇒ (p =⇒ q))) =⇒ p ∨ q)) ⇐⇒ r, (d) (p ∨ q) =⇒ (p ∧ q),
(e) ((p =⇒ q) =⇒ r) ⇐⇒ (p =⇒ (q =⇒ r)), (f) ((p =⇒ q) =⇒ r) =⇒ (p =⇒ (q =⇒ r)), (g) p =⇒ ((¬q ∧ q) =⇒ r).
8. Trzech braci: Prawdomówny, Kªamczuch i Niezdecydowany odpowiadaj¡ na pytania TAK lub NIE. Prawdomówny zawsze mówi prawd¦, Kªamczuch zawsze kªamie, a Nie- zdecydowany czasem mówi prawd¦, a czasem kªamie. Musisz za pomoc¡ trzech pyta«
okre±li¢, który z braci to który. Ka»de pytanie mo»e by¢ skierowane tylko do jednego z braci.
9. Wersja trudniejsza poprzedniego zadania: bracia odpowiadaj¡ w swoim j¦zyku: ACH i OCH. Poniewa» nie znasz tego j¦zyka, wi¦c nie wiesz, czy ACH to TAK czy NIE. Na szcz¦±cie wszyscy bracia znaj¡ ten sam j¦zyk.
