Oblicz i porównaj błąd średniokwadratowy tych estymatorów, czyli Eθ(ˆθ − θ)2

Statystyka I semestr zimowy 2017, seria VI

1. W nieskończonej populacji mamy osobniki o trzech genotypach: 1, 2 i 3. Z rozważań genetycznych wynika, że te trzy typy powinny występować w proporcji : θ²: 2θ(1 − θ) : (1 − θ)². Wybieramy lo- sowo n osobników, wśród których liczby poszczególnych genotypów są, odpowiednio, N1, N2, N3. Wyznacz estymator największej wiarygodności parametru θ.

2. Załóżmy, że X ∼ Bin(n, θ) oraz rozpatrzmy dwa estymatory ˆθ1 = ^X_n oraz ˆθ2 = ^X+1_n+2. Oblicz i porównaj błąd średniokwadratowy tych estymatorów, czyli E^θ(ˆθ − θ)².

3. Niech X₁, . . . , X_n oznacza ciąg i.i.d. o rozkładzie P ois(λ). Oblicz obciążenie, czyli Eθθ − θ dlaˆ następujących estymatorów parametru θ(λ) = Pλ(X₁= 0) = e^−λ

θˆ1= e^{− ¯X}, θˆ2=

 1 − 1

n

^{n ¯X} .

4. Niech X1, . . . , Xn oznacza ciąg i.i.d. o nieznanej wartości oczekiwanej µ i znanej wariancji σ². Rozważmy estymator

T (X1, . . . , Xn) =

n

X

k=1

akXk,

gdziePn

k=1ak= 1. Jakie a1, . . . , ak minimalizują błąd średniokwadratowy ?

5. Rozważmy problem regresji liniowej, czyli predykcji zmiennej losowej y za pomocą kombinacji liniowej p-elementowego wektora losowego X, dla którego var(X) > 0. Udowodnij, że para- metry α ∈ R, β ∈ R^p minimalizujące E(y − α − β^TX)² są postaci α∗ = Ey − β^T∗EX, β∗ = (var(X))⁻¹cov(y, X).

1