Y X y 1 y 2 x 1 p 11 p 12

Analiza danych jako´sciowych

zadania na ´cwiczenia

3. Własno´sci ilorazu krzyúzowego θ Dana jest tablica prawdopodobie´nstw 2 × 2

Y X y ₁ y ₂ x 1 p 11 p 12

x 2 p 21 p 22

i odpowiadaj þ acy jej iloraz krzyúzowy θ = ^p _p

^p _p

. 3.1 Pokaúz, úze prawdziwe s þ a nierówno´sci:

θ > 1 ⇐⇒ P (Y = y ¹ |X = x ¹ ) > P (Y = y 1 |X = x ² ) , θ > 1 ⇐⇒ P (X = x ¹ |Y = y ¹ ) > P (X = x 1 |Y = y ² ) , θ < 1 ⇐⇒ P (Y = y 1 |X = x 1 ) < P (Y = y ₁ |X = x 2 ) , θ < 1 ⇐⇒ P (X = x ¹ |Y = y ¹ ) < P (X = x 1 |Y = y ² )

3.2 Udowodnij, úze dla kaúzdego θ > 0 i dla kaúzdych 0 < p < 1 i 0 < q < 1 istnieje tablica prawdopodobie´ nstw 2 × 2

Y X y 1 y 2

x ₁ p ₁₁ p ₁₂ x 2 p 21 p 22

taka, úze jej iloraz krzyúzowy jest równy θ i taka, úze p 1·

df = p ₁₁ + p ₁₂ = p oraz p _·2 ^df = p ₁₂ + p ₂₂ = q.

Wskazówka. Oznaczmy p 12

df = x. Pokaúz, korzystaj þ ac z własno´sci Darboux, úze równanie f (x) = θ ma zawsze rozwi þ azanie. Funkcja f (x) jest zdeÞniowana wzorem

f (x) = (p − x) (q − x) x (x + 1 − p − q)

3.3 Spróbuj wyznaczy´c tak þ a tablic þe dla θ = 1.5, p = 0.2, q = 0.6 4. Test χ ² i test oparty na ilorazie krzyúzowym θ

4.1 Oblicz iloraz krzyúzowy θ dla danych Pearsona o rozwoju umysłowym i Þzycznym uczniów. Zilustruj na podstawie tych danych nierówno´sci, opisane w zadaniu 3.1, zast þepuj þ ac odpowiednie prawdopodobie´nstwa przez ich cz þesto´sci.

Co te nierówno´sci oznaczaj þ a?

4.2 Przedstaw t þe tablic þe w postaci standaryzowanej i narysuj odpowiada- j þ acy jej wykres kołowy. Jak wygl þ ada w tablica w postaci standaryzowanej i odpowiadaj þ acy jej wykres kołowy dla przypadku niezaleúzno´sci i jednorodno´sci?

1

4.3 Zastosuj test χ ² i test oparty na ilorazie krzyúzowym θ dla testowania hipotezy niezaleúzno´sci dla tych danych. Zapoznaj si þe z metod þ a oblicze´ n testu χ ² w programach Excel i Statistica

4.4 Znajd´z 95% przedział ufno´sci dla θ.

4.5 Dla lewego i prawego ko´ nca tego przedziału zbuduj tablice w postaci standaryzowanej i narysuj odpowiadaj þ ace im wykresy kołowe. Porównaj wykresy, otrzymane w punktach 4.2 i 4.5. Jak z tych wykresów odczyta´c zaleúzno´s´c (nieza- leúzno´s´c) wierszy i kolumn?

Dane: Rozwój umysłowy i Þzyczny uczniów.

Rozwój umysłowy Rozwój Þzyczny dobry zły

dobry 581 561

zły 209 351

´ Zródło. Pearson, K., (1906) On the relationship of inteligence to size and shape of head, and to other physical and mental characters, Biometrica, 5, 105-146

4.4 Wykonaj to samo dla danych:

Dane: Liczba dobrze rozwi þ azanych zada´ n z matematyki Zadania

Płe´c geometryczne niegeometryczne

uczennice 21 29

uczniowie 22 32

´ Zródło. Wyniki matury próbnej z matematyki (poziom podstawowy) w III LO w Wałbrzy- chu w 2001 (informacja od nauczyciela)

5. Test symetrii

5.1 Próba z rozkładu wielomianowego o prawdopodobie´nstwie

P (X = x i , Y = y j ) = p ij , (i, j = 1, 2, ..., I) umieszczona jest w tablicy N = [n ij ] (n ij jest liczb þ a obserwacji w próbie takich, úze X = x i oraz takich, úze Y = y j ).

Znajd´z test χ ² do testowania hipotezy H 0 : p ij = p ji

dla wszystkich i, j = 1, 2, ..., I.

5.2 Uúzyj tego testu do testowania hipotezy H 0 w tablicy danych:

Dane: Porównanie wzrostu 205 par małúze´ nskich.

úZona

M þ aúz wysoka ´srednia niska

wysoki 18 28 14

´sredni 20 51 28

niski 12 25 9

2

Co oznacza hipoteza H ₀ dla wzrostu par małúze´nskich?

´ Zródło. Wyniki zebrane przez Galtona, Christensen [59]

5.3 Zbadaj symetri þe rozwoju umysłowego i Þzycznego uczniów

3