Plan wykÃladu nr 6: Wz´or Taylora, powt´orzene Szczeg´oÃly:
M. Krych, Skrypt dla sudent´ow ekonomii: Pochodne wy˙zszych rze,d´ow, Krysicki-WÃlodarski roz. XI
• Zastosowanie r´o˙zniczkowania do dowod´ow nier´owno´sci
¦ tg(x) > x + 13x3 dla x > 0
¦ np. sin(x) < x − 16x3 + 1201 x5 dla x > 0
• Wielomian Taylora
• Zastosowanie: wy˙zsze pochodne i ekstrema lokalne
¦ Je´sli f(k)(x0) = 0 dla k < n i f(n)(x0) = a 6= 0, to
f (x0+ h) ≈ f (x0) + a n!hn.
Zatem x0 jest ekstremum wtedy i tylko wtedy gdy n jest parzyste.
• Szeregi pote,gowe
• R´o˙zniczkowanie szereg´ow
• Szereg Taylora P∞
n=0
f(n)(x0) n! hn
• PrzykÃlady zbie˙znych szereg´ow Taylora dla funkcji
¦ ex, sin(x), cos(x), arctg(x), ln(1 + x), √ 1 + x
• PrzykÃlad: granica limx→0 2ln(cos(x))+sin(x2)
x4 liczona za pomoca, reguÃly de l’Hospitala i za pomoca, rozwiniecia Taylora.
• Na ´cwiczenia: zadania przygotowawacze do kolokwium i z kolokwium z zeszÃlego roku.
