Narodowy Uniwersytet Gospodarki Wodnej i Gospodarowania Zasobami Naturalnymi, Równe, Ukraina

Acta Sci. Pol. Architectura 14 (3) 2015, 21–34

STATECZNOĝû OSIOWO ĝCISKANYCH

CYLINDRYCZNYCH, ANIZOTROPOWYCH POWàOK O ĝREDNIEJ GRUBOĝCI

Woáodymyr Tracz, Mikoáaj ChoruĪyj

Narodowy Uniwersytet Gospodarki Wodnej i Gospodarowania Zasobami Naturalnymi, Równe, Ukraina

Streszczenie. Korzystając z zaáoĪeĔ kinematycznych Timoshenki, przedstawiono zagad- nienie obliczania statecznoĞci anizotropowych powáok cylindrycznych przy uwzglĊdnieniu geometrycznej nieliniowoĞci. Powáoka jest zbudowana z warstwowego materiaáu kompo- zytowego o jednej páaszczyĨnie, która pokrywa siĊ z jej powierzchnią Ğrodkową. Anali- zĊ numeryczną otrzymanych równaĔ przeprowadzono metodą ortogonalizacji dyskretnej.

Zbadano wpáyw kąta nachylenia wáókien warstwowego kompozytu wáóknistego na warto- Ğci krytyczne.

Sáowa kluczowe: teoria Timoshenki, statecznoĞü powáoki, anizotropia

WSTĉP

Obliczaniu statecznoĞci powáok z materiaáów izotropowych i ortotropowych jest po- ĞwiĊcona obszerna literatura: ȼɨɥɶɦɢɪ [1967], Ⱥɦɛɚɪɰɭɦɹɧ [1974], Ɋɢɤɚɪɞɫ i Ɍɟɬɟɪɫ [1974], Ʉɚɪɦɢɲɢɧ i in. [1975], Ƚɭɡɶ [1986], ȼɚɧɢɧ i ɋɟɦɟɧɸɤ [1987]. Do powáok ortotropowych zalicza siĊ powáoki wykonane z kompozytów wáóknistych, nawiniĊtych na trzpieĔ [Ʉɨɪɨɥɶɨɜ 1965, Ɇɢɤɢɲɟɜɚ 1968, Ƚɭɡɶ 1986]. Materiaá takich konstrukcji, którego wáókna są ortogonalne (rys. 1), jest materiaáem anizotropowym o jednej páasz- czyĨnie symetrii. Powodem powstania tego typu anizotropii jest niezgodnoĞü kierunków ortogonalnych wáókien z gáównymi kierunkami geometrycznymi konstrukcji. Równania konstytutywne takich konstrukcji zawierają 13 moduáów sprĊĪystoĞci. Macierz sprĊĪysto- Ğci zawiera wiĊc nastĊpującw bloki sztywnoĞci: C – rozciąganie i Ğcinanie, D – zginanie

Adres do korespondencji – Corresponding author: Woáodymyr Tracz, Narodowy Uniwersytet Gospodarki Wodnej i Gospodarowania Zasobami Naturalnymi, Edukacyjny Instytut Budownictwa i Architektury, Katedra Mostów i Tuneli, WytrzymaáoĞci Materiaáów i Mechaniki Budowli, ul. Soborna 11, 33018 Równe, Ukraina, e-mail: trach-vm@ukr.net

© Copyright by Wydawnictwo SGGW, Warszawa 2015

i skrĊcanie, K – wzajemnego wpáywu. WspóázaleĪnoĞü we wzorach teorii sprĊĪystoĞci miĊdzy rozciąganiem a Ğcinaniem, zginaniem a skrĊcaniem, rozciąganiem a skrĊcaniem postrzega siĊ jako czynnik znacznie zmniejszający obciąĪenia krytyczne. Zostaáo to udo- wodnione przez róĪnych autorów [Weaver i in. 2002, Wong i Weaver 2005, ɋɟɦɟɧɸɤ i in. 2005, Ɍɪɚɱ 2006, 2007, 2008, ɋɟɦɟɧɸɤ i Ɍɪɚɱ 2006, Weaver 2015, Kolakowski i Teter 2015].

Kwestia statecznoĞci cienkich powáok anizotropowych byáa analizowana przez wielu badaczy, miĊdzy innymi w pracach: Ʉɨɪɨɥɶɨɜ [1965], Ʉɚɪɦɢɲɢɧ i in. [1975], Ƚɭɡɶ [1986], Ƚɪɢɝɨɪɟɧɤɨ i Ʉɪɸɤoɜ [1988], Ȼɚɠɟɧɨɜ i in. [2010]. Jednak wciąĪ jeszcze obliczanie sta- tecznoĞci powáok anizotropowych o Ğredniej gruboĞci stwarza wiele problemów. Wiado- mo, Īe do obliczania takich konstrukcij naleĪy stosowaü uogólnione teorie (o osáabionych zaáoĪeniach kinematycznych) [ȼɚɧɢɧ i ɋɟɦɟɧɸɤ 1987, Castro i in. 2015, Kolakowski i Teter 2015, Muc i Pastuszko 2015, Reddy 2015, Tracz i in. 2015, Weaver 2015], z których najprostszą i powszechnie stosowaną jest teoria bazująca na zaáoĪeniach kine- matycznych Timoshenki.

W pracy przedstawiono badania statecznoĞci osiowo Ğciskanych anizotropowych cy- lindrycznych powáok o Ğredniej gruboĞci, z materiaáu sprĊĪystego, o jednej páaszczyĨnie symetrii.

MATEMATYCZNE MODELOWANIE STATECZNOĝCI POWàOK ANIZOTROPOWYCH

Przemieszczenia u, v, w po gruboĞci powáoki, zgodnie z hipotezą Timoshenki, zapi- sano w nastĊpujący sposób:

u = u + zș₁, Ȟ = Ȟ + zș₂, w = w (1)

0 , 3 , 1 1, 2 2, 1

u_D u _DzT_D u w u u zT Q Q zT w w gdzie: u, v, w – przemieszczenia Ğrodkowej powierzchni powáoki,

z – wspóárzĊdna zmieniająca siĊ na gruboĞci powáoki,

ș_Į, (Į = 1, 2) – kąty obrotu normalnych wzglĊdem osi wspóárzĊdnych.

ZaleĪnoĞci prawa Hooke’a dla materiaáu anizotropowego o jednej páaszczyĨnie syme- trii zapisano w postaci przedstawionej przez Ⱥɦɛɚɪɰɭɦɹɧɚ [1974]:

ı₁₁ = a11İ₁₁ + a12İ_{22 +} a13İ_{33 +} a16İ₁₂, ı22 = a12İ₁₁ + a22İ_{22 +} a23İ_{33 +} a26İ₁₂ (2) ı₃₃ = a₁₃İ₁₁ + a₂₃İ_{22 +} a₃₃İ_{33 +} a₃₆İ₁₂, ı₂₃ = a₄₄İ₂₃ + a₄₅İ₁₃ (3) ı13 = a45İ23 + a55İ13, ı12 = a16İ11 + a26İ22 + a36İ33 + a66İ12 (4) gdzie: ı_ij – naprĊĪenia normalne i styczne,

İ_ij – odksztaácenia rozciągające i Ğcinające (i, j = 1, 2, 3), a_ij – staáe sprĊĪystoĞci (i = 1, 2, 3; j = 1, 6).

Nieliniowe odksztaácenia, z dokáadnoĞcią do czáonów w drugiej potĊdze, otrzymali ȼɚɧɢɧ i ɋɟɦɟɧɸɤ [1987] w postaci:

2 2 2

11 ˆ11 z 11 z 11, 22 ˆ22 z 22 z 22, 12 ˆ12 z 12 z 12

H H  N  Q H H  N  Q H H  N  Q (5)

w której oznaczono:

   

2 2

11 1 1 22 2 2 12 1 2

11 1 1 1 22 2 2 2 12 1 2

2 2 2 2

11 11 1 1 22 22 2 2

1 2

12 1 2 1 2

1 1

1 1

ˆ , ˆ , ˆ

2 2

, , =

1 1 , = 1 1

2 2

1 1

R R

R R

H H T H H T H T T

N F H F N F H F N W W

Q N F W Q N F W

Q W W F W

 

  

   

 

(6)

gdzie: _{1 1} ¹ _{2 2} ²

1 2

, ,

R R

H H

F N  F N 

1 t1, 2 t2, 1 1 2 1, 2 2 1 2

W W W W H W W W H W (7)

Odksztaácenia oraz przyrosty krzywizn i skrĊcania są nastĊpujące:

gdzie: A₁, A₂ – wspóáczynniki Lamégo (wspóáczynniki pierwszej formy kwadratowej),

Kąty obrotu i krzywizny ț_ij zapisano w postaci:

przy czym we wzorze na skrĊcanie ț₁₂ są funkcje dla IJ i Ȟ_ij:

2 1 2

1 11

D w

wA A

a A ,

1 2 2

2 11

D w wA A

a A .

1 1 1' 11

R u w

Ⱥ 

w w

T D ,

2 2 2' 12

R u w

Ⱥ 

w w

T D (9)

2 W

1 t

t , ₁₁

1 11

1 N

v R , ₂₂

2 22

1 N

v R , _¸¸W

¹

¨¨ ·

©

§ 

2

12 11 1

R

v R (11)

1 1 1 1 1

11 1

R v w u a

Ⱥ  

w w H D

H ,

2 2 2 2 2

22 1

R v w

Ⱥ a 

w w

DQ H

H , H₁₂ T₁^'T₂^',

1 1 1

11 R

N H

N  ,

1 1 2 1 1 1 1 1

' ' 1 '

a R Ⱥ

T T DT

N  

w

w ,

2 2 2

22 R

N H

N  ,

2 2 2 2 1 2 2

' 1 '

a R Ⱥ

T T DT

N _w^{w  } ,N₁₂ t₁t₂, _{1 1}

1 1 1 1

1 T

D

T _a

t Ⱥ 

w

w , _{2 2}

2 2 2 2

1 T

D

T _a

t Ⱥ 

w

w ,

11 11 1

1 N

v R , ₂₂

22 2

1 N

v R , ₂

1 2 12 1

1

1W W

R

v R 

(8)

11

11 1 1

11 N 1 H

N R , ₂₂

2 2

22 N 1 H

N R , ₁₂

2 2 1

1

1

2W 1 H

N _¸¸

¹

¨¨ ·

©

§ 

 R R (10)

H12

W pracy Ɍɪɚɱ [2008] przedstawiono podejĞcie, w którym wyjĞciowy ukáad równaĔ opisuje osiowosymetryczny anizotropowy nieliniowy stan naprĊĪenia-odksztaácenia po- wáok. Korzystając z tego podejĞcia, otrzymano równania:

Nieliniowy ukáad równaĔ (12) moĪe byü wykorzystany do budowy równaĔ, w któ- rych okreĞlone krytyczne stany powáok wiąĪą siĊ ze zjawiskiem bifurkacji. Wprowadza- jąc nastĊpujące oznaczenia:

1

1 2 2 11 1 12 14 11 13 12 12 11 1 11

1 D D 

w c w





 w 

w A

A A b u M b M b T b T u b A

2 1

1 2

2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 11 1

11 2 T

T D

D  

w

 w w cc w c 

 R

w A A A

v A

A b A R b w

1 ;

1 1 23 55 13 55 1 1

D ^{ c  }T

w w

R Q u b Q w b A

2 ; 1 1

1

22 1 1 2 2 1 31 2 31

1 2 2 31 1 12 34 11 33 12 32 11 1 31 1 1

T D T

D DT

w  cc w c 



w  c w





 w 

w

A A b A R b w

A A A b u M b M b T b T A b

2 ; 1 1

1 1

22 1 2

2 2 1 1 1 2 2 41 1 41 2

1 2 2 1 41 12 44 11 43 12 42 11 41 1 2 1

T D T

D T

D D

T

w 

 w w cc w c 



w  c w





 w 

w

A A A A A b A R b w

A A A b u M b M b T b T A b

1 ; 1

1 1

1 13 1 22 1 2 2 1 2 12*

2 1 11 1

q R Q A T

A A T A T

A  

w

 w w

 w w w

D D

D

1 ; 1

1

2 23 12* 1 2 2 1 1 12*

1

R Q A T

A A T

A 

w w w

w

D D

1 ; 1

1

3 2 22 1 11

1 13 1

q R T R T Q

A   

w w D

1 ; 1

1 22 13 11 1

1 2 2 1 2 12*

2 1 11 1

D T D

D ^{M Q T}

A A A M A M

A  

w

 w w w w

w

1 . 1

1

2 22 23 11 2 1 2 1 12* 1 2 2 1 1 12*

1

D T D

D ^{M Q T}

A A M A

A A A M

A  

w

 w w

w w

w

2 1 1

1

22 1 2 2 1 1 1 2 2 1 21 2 21

1 2 2 21 1 12 24 11 23 12 22 11 1 21 1

D T D T

D D

w 

 w w cc w c 



w  c w





 w 

w

A A A

v A

A b A R b w

A A A b u M b M b T b T v b A

(12)

ukáad równaĔ (12) otrzymano w zwiĊzáej postaci:

gdzie: y – wektor, którego skáadowymi są funkcje yi, qi – skáadowe obciąĪenia,

Li – nieliniowe operatory róĪniczkowe, przy czym i = 1, ..., 10.

Na gáównej trajektorii odksztaácenia równania (14) przyjmują postaü:

Na sąsiedniej trajektorii muszą byü zapisane nastĊpująco:

Zgodnie z kryterium Eulera, y_i jest nieskoĔczenie maáym zaburzeniem stanu podsta- wowego. Dlatego teĪ, uĪywając pojĊcia pochodnej Frécheta, naleĪy stwierdziü, Īe rozwi- niĊcie w szereg Taylora moĪe ograniczaü siĊ tylko do dwóch skáadników:

gdzie: L_i,j – pochodne Frécheta operatorów L_i dla argumentu y_j (j = 1, ..., 10).

Równanie (16) przybiera postaü:

Biorąc pod uwagĊ, Īe obciąĪenia q nie ulegają zmianie (obciąĪenie konserwatywne) i

przy zaburzeniu stanu równowagi, a funkcje z indeksem „0” speániają równania (15), z wyraĪenia (18) otrzymano zlinearyzowane równania wzglĊdnych przyrostów funkcji yi (qi) w punkcie bifurkacji:

których jawną postaü zapisano nastĊpująco:

6 T11

y , y₇ T₁₂^*, y₈ Q₁₃, y₉ M₁₁, y₁₀ M₁₂^*

 

i

i Li y q

y

A 

w w

1 1

1

D , (14)

 

ɨ i (15)

ɨ i

i L y q

y

A 

w w

1 , 1

1

D .

   

i ɨ

ɿ i ɨ

i ɭ L y ɭ q

y

A  

w

 w

1 , 1

1

D (16)



^{y ɭ}



^L

 

^{y L}

 

^{y ɭ}

L_{i ɨ} _{i ɨ}  _i,_{j ɨ} (17)

 

ɨ ij

 

ɨ i i i

ɨ

i y L y L y y q

A y

A  

w

 w w w

, 1

1 1 , 1

1 1

D

D (18)

 

^{y y}

y L

A ^{ij ɨ}

i ,

1 1

1 w

w

D (19)

, ,

,

, _{2 3 4 1}

1 u y v y w y T

y y₅ T₂,

(13)

przy czym:

Siáy T₂₂, Q₂₃ i momenty M₂₂, M₁₂ są zmiennymi pomocniczymi, uĪywanymi tylko do oznaczenia nastĊpujących wielkoĞci:



1,0



11,0 1 11

6 T 1 H T H

y   ,

 

12

2 2 0 , 12 0 , 2 12

7 1 2 M

T R T

y H  H 

0 , 2 12 2 12 0 , 1 0 , 11 1 0 , 11 13

8 Q T T T T T T T T

y    



1,0



* 12

21 T 1H

T , * 22



2,0



22,0 2

22 ^T 1 H ^T H

T  



4 22



2 12 11,0 1 11 1,0 12,0 2 12 2,0 1

2 22 2

*23 1 D ^{a y M} 2^{a M T} T ^T T ^T T ^T T

M

Q A       

w w

(21)

    

0



12

* 26 26 0 22

* 22 22 0 22

* 22 22 11 31 12 21 11 11

22 d T d T d M C C H B B N B B N

T        



^{22* 220}



²²



^{22 220}

 

^{22 26 260}



¹²

11 32 12 22 11 12

22 d T d T d M B B H D D N D D N

M        



^{*26 260}



²²



^{26 260}

 

^{22 66 660}



¹²

11 33 12 23 11 13

12 d T d T d M B B H D D N D D N

M        

(22)

   

³

1 21* 1

* 2 21 2 1 2 21*

2 1 1 1

1 1

1 y

T R y a T y T a

A y

A     

w

 w w

w

D D

   

^*23

2 22* 1

* 1 21 2 2 2 22*

2 1 2 1

1 1

1 Q

T R y a T y T a

A y

A     

w

 w w w

D D

22* 1 2

1

*23 1 3 2 2 23*

2 1 3 1

1 1 1

1 T

y R Q R

a y Q a A y

A    

w

 w w

w

D D



4 22



13 2

12 1 2 12 2 1 4 1

1 2

1 M aM a y M Q

A y

A   

w

 w w w

D D

, 1 1

12 13 22 12 22 11

4 13 12 12 11 0 11 1 1 0 , 1 1 1 7 12 1 1

5 1

N N

H

T T H D H

d d

d

y A T A T A R y

y y a

A



















 w 

w



 w 

w

0 , 1 2 2 0 , 1 5 1 1 6 1

1 D ^{a y} T T TT

y

A ^A21T11^A22T12^A23y4^d21H²²^d22N²²^d23N¹²

8 1 5 1 7 1

1

1 y y

R y

A  

w w D

12 33 22 32 22 31 4 33 12 32 11 31 2 1 1 8 1

1 D ^aT ^{A T A T A y d} H ^d N ^d N

y

A      

w w

12 33 22 32 22

* 31 1 23 9 1

1 H N N

D ^{Q d d d}

y

A   

w w

12

* 33 12

* 32 12 1 10 1

1 D ^{M A T d} N

y

A  

w

w

12 (20)

13 22 12 22

11H d N d N

d  



Równania (20) zawierają po prawej stronie funkcje T₁₁, T₁₂, İ₁. Muszą one byü wy- raĪone za pomocą funkcji rozwiązujących y_i. W przypadku stwierdzenia, Īe te wyraĪenia zostaáy znalezione, dla okreĞlenia funkcji T₂₂, M₂₂, M₁₂ wystarczy uĪyü wyraĪenia (22).

Biorąc pod uwagĊ, Īe:

zapisano piąte i szóste równanie wyraĪenia (20) i pierwsze dwa równania wyraĪenia (21) nastĊpująco:

gdzie:

Otrzymano ukáad równaĔ do wyznaczania niewiadomych. Po drobnych uproszcze- niach zapisano go w postaci:

İ₁ – A11T11 – A12T12 = f5

–A₂₁T₁₁ –A₂₂T₁₂ = f₆ (25)

İ₁T11,0 + T11 = g1

T₁₂ = g₂

Po wyrugowaniu zmiennych T11 i T12 powstaáy dwa równania:

1 7 6 1 1 5

1 11 1 y

y R y a

Ⱥ  

w w

H D , _¸¸

¹

¨¨ ·

©

§  

w

 w w

w 1

2 2 2 6 2 7 2 2 2 8

12 2 12 1 1 Z

D W D

N R R

a y y a Ⱥ y Ⱥ

(23)



11 11,0



5^*

11Ⱥ T f

H , H1



Ⱥ21T11,0



f6^* (26)

12 13 22 12 22 11 4 13 0 , 1 8

5 yT A y d H d N d Nc

f ,

12 23 22 22 22 21 4 23 0 , 2 8 0 , 1 2 2 0 , 8

6 y T H Z yT A y d H d N d Nc

f ,

1

1 y

g ,



^



^





 ₂₆^* ₂₆⁰ ₂₂

2 4 33 2 2 0 , 12 2

2 H 2 2 ^{B B} H

y R R d T

y g



^{66 660}



¹²

2 0 22

26 26 2

2

2 ¸¸N   Nc

¹

·

¨¨

©

§ 

 D D

D R

R D .

(24)



^{66 660}



¹²

2 0 22

26 26 2

2

2 ¸¸N   Nc

¹

·

¨¨

©

§ 

 D D

D R

R D .



1,0



11 11 12 12 5

11H A T A T f

H , H₁Z_2,0A₂₁T₁₁A₂₂T₁₂ f₆



1,0



1 11

0 , 11

1T T 1H y

H

¸¸¹

¨¨ ·

©

§  

¸¸

¹

¨¨ ·

©

§  23

2 0 , 2 12 13 2 0 , 1

11 2 1 2 d

T R R d

T Z H

 

²

 

²

 

2 2

0 1 66 66 2 0 22

26 26 2 0 22

* 26 26 2 4 33 2 2 0 , 12

2 H    H   N  D D N

D R R D

B R B

y R d T

y

2

4 33 2 2 0 , 12

2 H  d y 

T R y

 

²

 

²

 

^,

2

0 12 66 2 66

0 22 26 2 26

0 22

* 26 2 26

N N

H     c

 D D

D R R D

B R B

gdzie:

Stosując wzór Cramera, otrzymano:

1 1

H ^'

' (28)

WartoĞci wyznaczników obliczono ze wzorów:

Gdy są znane wyraĪenia na İ₁ przez funkcje rozwiązujące, moĪna równieĪ wyznaczyü funkcje:

Równania (20) są niejednorodnymi równaniami róĪniczkowymi drugiego rzĊdu. Bio- rąc pod uwagĊ liczbĊ poszukiwanych funkcji w kierunku obwodowym, moĪna aproksy- mowaü je szeregiem Fouriera i ukáad równaĔ (20) doprowadziü do ukáadu równaĔ róĪ- niczkowych pierwszego rzĊdu.

ROZWIĄZANIE RÓWNAē STATECZNOĝCI

Rozpatrywane powáoki cylindryczne są zamkniĊte w kierunku obwodowym, wiĊc funkcje rozwiązujące na Į2 lub ij są okresowe. NaleĪy wiĊc poszukiwane funkcje przed- stawiü w postaci zespolonej szeregów Fouriera:

gdzie: yj,n – funkcje zespolone, j = 1, ..., 10, n – liczba fal w kierunku obwodowym.

Po wykorzystaniu zaleĪnoĞci (31) w równaniach statecznoĞci (20) otrzymano nastĊ- pujący ukáad równaĔ róĪniczkowych zwyczajnych:

 

13 2

 

22 22 2

21 1

* 6

6 2 d g A

A R A g f

f 

»»

¼ º

««

¬ ª

¸¸¹

¨¨ ·

©

 §



(27)

>   @

*

>  

12 11,0

@

6 0 , 11

* 22 5

1 f 1 A T  f A T

' *



21 11,0

 

11 11,0



6^* 5

2 f A T 1A T f

'



1A11T11,0

 >

1

 

A22T11,0

@



>  

A12T11,0

@ 

A21T11,0



'

(29)

 

>

1 2111,0 6 21 1

@  

22 ¹

12 A T  f A g A 

T H , T₁₁ g₁H₁T_11,0

0 , 2 0 , 12 2 0 , 12 0 , 8 11 8 0 , 11 3

13 y T y T y T T T T

T     (30)

 

^

 _{a n}

n in T

d dɭ

Ⱥ ₁ ^12,

, 1 1

1

D

 

¹



3, 12,



^;

1 , 11 , 22

2 n n y n inaM n

Ɍ R

Ɍ   

\

 

12 2 2 13

11 1

* 5

5 2 d g A

A R g f

f 

»»

¼ º

««

¬ ª

¸¸¹

¨¨ ·

©

§



¦

^f

f n n

in n j

j y e

y ,

,

M M D₂, , 0dD₂d2S (31)

gdzie: na = n/A2.

Tak wiĊc problem statecznoĞci symetrycznie obciąĪonej anizotropowej sprĊĪystej powáoki zamkniĊtej w kierunku obwodowym zostaá sprowadzony do ukáadu dziesiĊciu jednorodnych równaĔ róĪniczkowych w postaci normalnej (20) o zmiennych wspóáczyn- nikach i o jednorodnych warunkach brzegowych:

na krawĊdzi Į₁ = Į₀ B₀y_n = 0 na krawĊdzi Į₁ = Į_l B_ny_n = 0

(33)

Minimalna wartoĞü wáasna jednorodnego problemu brzegowego (32), (33) okreĞla moment przejĞcia od podstawowego symetrycznego stanu równowagi do asymetryczne- go, który charakteryzuje siĊ odpowiednią liczbą fal w kierunku obwodowym. Równowa- ga ta caákowicie charakteryzuje siĊ nastĊpującymi wartoĞciami: y1,n, ..., y10,n, T11,n, T22,n, T12,n, M22,n, M12,n, İ1,n, İ2,n, İ22,n, ș1,n, ș2,n, k22,n, k12,n, i parametrami podkrytycznymi:

  

^{2 )}

1 (

12, 2 , 1 22

, 2

1 n ina Ɍ n T n

d dɭ

Ⱥ \

D   ¸¸ ^



^{  }

¹

¨¨ ·

©

§ 

 _n T y _n T _n

M R R

R ^2,

220 , 0 8 2 12 , 12 1 2 2

1 1

3 \ T



n a

ny T n in M

T_{12, 8}⁰  _{22, 2}⁰  _12,

 T



^{    }



^

 a n n n n n

n in T y T T y T M

d dɭ

Ⱥ ^{2 12,}

20 , 0 22 , 8 12 , 0 2 22 , 0 8 12 1

, 3 1

1 T T 2\

D

 

n n

n Ɍ

y R

y R _22,

, 2 1 1 , 3

2  1  1

\



^



^{  }



 _{a n n n n n}

n in Ɇ ɭ Ɇ y Ɍ y

d dɭ

Ⱥ ^8,

110 , 3 , 22 , 4 2 , 12 1

, 4 1

1 \

D T_11,ny₈⁰T₁₂⁰T_2,nS_,nT₂⁰;









 _{n n n n}

n

n ɭ y y Ⱥ T Ⱥ T Ⱥ ɭ

R d dɭ

Ⱥ ^{1111, 1212, 13 4,}

80 , 8 , 1 7 1 , 5 1

1 1

D ^{d11H22,nd12F22,nd13F12,n}







w ₁  ^{5, 2 6, 8, 20}

, 6 1

1 Dⁿ in^ay ⁿ \ ɭ ⁿ y ⁿT d

dy

A y₈⁰T_2,n 

n n

n n

n

n A S A ɭ d d d

T

A_1211,  _{22 ,}  _{23 4,}  ₂₁H_22,  ₂₂F_22, ₂₃F_12,



n

n ɭ n y

R d

dɭ

Ⱥ _{1 1} ^{5, 8,}

, 7 1

1

1  

D

n n

n n

n n

n

n Ⱥ T Ⱥ S Ⱥ ɭ d d k d k

R d

dɭ

Ⱥ _{1 1} ^{1, 13 11, 23 , 33 4, 31 22, 32 22, 33 12,}

, 8 1

1

1  H     H  

D

n n n n

n Q d d d

y

A ^{, 31 22, 32 22, 33 12,}

23* 1 9, 1

1 H N N

D ^{  }

w w

n n

n

n M A T d

y

A ^{, 33 12,}

12* , 32 12* 1 10, 1

1 D   N

w

w (32)

0,

Ɍ11 Ɍ₂₂⁰, T₁₂⁰, T₁⁰, T . Obliczono je zgodnie z metodą przedstawioną w pracy Ɍɪɚɱ ₂⁰ [2008].

Siáy i momenty, które są zawarte w ukáadzie równania (32), okreĞlono z zaleĪnoĞci:

(34) Oprócz tego:

gdzie wprowadzono nastĊpujące oznaczenia:

Minimalną wartoĞü krytyczną obciąĪenia przy danych warunkach brzegowych wy- znaczono z przyrównania do zera gáównego wyznacznika ukáadu równaĔ. Przy rozwią- zywaniu równaĔ róĪniczkowych ze wspóáczynnikami zespolonymi wyznacznik jest skomplikowany. Dla jednorodnych równaĔ róĪniczkowych istnieje rozwiązanie ukáadu równaĔ algebraicznych o zespolonych wspóáczynnikach, w których rzeczywiste i urojone czĊĞci wyznacznika muszą byü jednoczeĞnie równe zeru. Metoda badania zagadnienia brzegowego bazuje na numerycznej metodzie ortogonalizacji dyskretnej [Ƚɪɢɝɨɪɟɧɤo i ȼɚɫɢɥɟɢɤɨ 1981, Ƚɪɢɝɨɪɟɧɤɨ i Ʉɪɸɤɨɜ 1988].

1 * ,

1_n ' '

H , T12,_n

 

z3,_n r22 (35)

12*

* r

' , '₁ r₁₂^*z₁^*_,nr₁₁^*z^*_2,n,



12



22 11 21

11* A

r r r

r  



22



22 12 21

12* A

r r r

r   , _¸¸

¹

¨¨ ·

©

§ 

2 13 1

11 1 1

R d R

r , _¸¸

¹

¨¨ ·

©

§ 





2 23 1

20

12 1 1 1

R d R

r H

2 23

22 1 1 d

r R , 3,



12



, 22

* 1 ,

1 1 z A

z r

z _{n n} _n  , 3,



22



, 22

* 2 ,

2 1 z A

z r

z _{n n} _n 

 

0 13 4, 11 22, 12 22, 13 12, ^, 1

, 8 , 1 11 ,

1n A y n y n A y n d n d k n d k n

z  T   H  

 

n ^ n ^ n^ n^

n A y y y A y

z_{2, 12 1, 8,}T₂⁰ ₈⁰T_{2, 23 4,} d₁₂H_22,nd₂₂k_22,nd₂₃k_12,n

 

^{  }



^



^

¸¸¹

¨¨ ·

©

§

 _{n n n n}

n K K

y R R d y y R d

z _{26 26}⁰ _22,

, 2 4 2 33 , 2 , 1 2 13 ,

3 1 1 1 H

 

n



D D



k n

k R D

R D ^12,

660 2 66

, 0 22 26 2 26

1

1   

 (36)

n

n y

T_{11, 6,}

    

0



12, ^;

26 26 , 0 22 22 22 , 0 22 22 22 , 4 31 , 21 , 11 11 ,

22n d T n d Sn d y n C C n K K k n K K k n

T     H    



^{22 220}



^22,



^{22 220}



^22,



^{26 260}



^{12, ;}

, 4 32 , 22 , 11 12 ,

22n d T n d Sn d y n K K n D D k n D D k n

M     H    



0



22,



^{26 260}



^22,



^{66 660}



^{12, ;}

26 26 , 4 33 , 23 , 11 13 ,

12n d T n d Sn d y n K K n D D k n D D k n

M     H    

BADANIA STATECZNOĝCI POWàOK CYLINDRYCZNYCH.

Metodyka rozwiązania w badanym problemie poszukiwania wartoĞci krytycznej opiera siĊ na metodzie numerycznej ortogonalizacji dyskretnej. Przedstawiając propono- waną metodologiĊ, rozwaĪono problem statecznoĞci powáoki cylindrycznej. W oblicze- niach rozpatrzono powáokĊ wykonaną z wáókna szklanego. Materiaá ten jest ortotropowy wzglĊdem wáasnej osi. Moduáy sprĊĪystoĞci i wspóáczynniki Poissona wáókien i osnowy są równe: E = 4,2 · 10⁵ ɆPa, Eƍ = 3,5 · 10³ MPa, Ȟ = 0,21, Ȟƍ = 0,33. Materiaá otaczający wáókna – 0,5. Osie ortotropii powáoki w ukáadzie wspóárzĊdnych na powierzchni Ğrod- kowej moĪna obracaü o dowolny kąt ȥ. UĞrednione wartoĞci moduáów sprĊĪystoĞci dla kierunków ortotropii materiaáu są obliczone zgodnie z pracą ȼɚɧɢɧ i ɋɟɦɟɧɸɤ [1987].

Kiedy ȥ  0° ɿ 90°, materiaá traci wáaĞciwoĞci ortotropowe i zachowuje siĊ jak mate- riaá o jednej páaszczyĨnie symetrii. Aby zmniejszyü liczbĊ parametrów, które wpáywają na statecznoĞü powáok, zaáoĪono, Īe stosunek L do promienia R powáoki wynosi dwa (L/R =

= 2), a stosunek gruboĞci h do promienia R: h/R = 0,1 (rys. 1). Podparcie koĔców powáoki zaáoĪono nastĊpująco: jeden jest staáy podparty przegubowo nieprzesuwnie (u = 0, Ȟ = 0, w = 0, M₁₁ = 0, ș₂ = 0), a drugi – przegubowo przesuwnie (Ȟ = 0, w = 0, M₁₁ = 0, ș₂ = 0, T₁₁ T₁₁⁰).

Na rysunkach 2–4 w ukáadzie wspóárzĊdnych T₁₁^cr \ zilustrowano wpáyw zmia- ny kąta ȥ materiaáu kompozytowego (zgodnie z rys. 1) na wartoĞci krytyczne obciąĪeĔ osiowych T₁₁^cr. Krzywa 1 to wartoĞü krytyczna otrzymana sposobem przedstawionym w pracy. Krzywa 2 to wartoĞci obciąĪeĔ krytycznych obliczone zgodnie z metodą przed- stawioną w pracy Traɱ [2008], która bazuje na hipotezie Kirchhoffa-Love’a.

PODSUMOWANIE

RóĪnica miĊdzy wartoĞciami obciąĪeĔ krytycznych znalezionych za pomocą teorii bazującej na hipotezie kinematycznej Timoshenki (1), traktując materiaá powáoki jako anizotropowy oraz przyjmując, Īe materiaá powáoki jest ortotropowy dla rozpatrywanego przypadku, wynosi maksymalnie tylko 5%. Zastosowanie związku hipotezy (1) i równaĔ konstytutywnych (2–4) pozwala na zbadanie wpáywu siá Ğcinających i naprĊĪeĔ normal- nych (ır) na wartoĞci krytyczne.

Rys. 1 Fig. 1

Analiza wartoĞci krytycznej Ğciskania osiowego (rys. 5) sugeruje, Īe powáoka jedno- warstwowa (krzywa 1) charakteryzuje siĊ najmniejszymi wartoĞciami obciąĪeĔ krytycz- nych. Dla powáok dwuwarstwowych (krzywa 2) obciąĪenia krytyczne są wiĊksze niĪ dla jednowarstwowych i mniejsze niĪ dla czterowarstwowych (krzywa 3). Ta ostatnia jest najbliĪej krzywej 4, która opisuje zaleĪnoĞü obciąĪeĔ krytycznych powáoki ortotropowej.

Jest to logicznym dowodem na to, Īe zwiĊkszając liczbĊ warstw powáok anizotropowych, moĪna oczekiwaü, z pewną dokáadnoĞcią, wyników jak dla powáoki ortotropowej. Oczy- wiĞcie wniosek ten moĪe byü postawiony tylko dla powáok symetrycznych o strukturze pakietu lamin.

0 20 40 60 80 100

-620 -640 -660 -680 -700 -720 -740

T^cr₁₁(kN)

\^ 1

2

+ \

0 20 40 60 80 100

-640 -660 -680 -700 -720 -740

+/-\

T^cr₁₁(kN)

\^ 1

2

0 20 40 60 80 100

-660 -680 -700 -720 -740

+/-/+ \

T^cr₁₁(kN)

\^ 1

2

0 20 40 60 80 100

-640 -660 -680 -700 -720 -740

3 T^cr₁₁(kN)

\^ 1

2

4

Rys. 2. WartoĞci krytyczne Ğciskania osiowe- go dla powáoki jednowarstwowej Fig. 2. Critical values of axial compression

for monolayer shell

Rys. 3. WartoĞci krytyczne Ğciskania osiowe- go dla powáoki dwuwarstwowej Fig. 3. Critical values of axial compression

for bilayer shell

Rys. 4. WartoĞci krytyczne Ğciskania osiowe- go dla powáoki trzywarstwowej Fig. 4. Critical values of axial compression

for three-layer shell

Rys. 5. WartoĞci krytyczne Ğciskania osiowe- go dla powáoki jedno-, dwu-, trzywar- stwowej (1–3) i ortotropowej (4) Fig. 5. Critical values of axial compression

for one-, two-, three-layer (1–3) and orthotropic (4) shell