Lista 5: Wektory w przestrzeni liniowej
(1) Wektory (3, −2, 5), (0, 1, 1) przedstaw na wszystkie mo˙zliwe sposoby jako kombinacje liniowe wektor´ ow
(a) (3, −2, 5), (1, 1, 1),
(b) (3, −2, 5), (1, 1, 1), (0, −5, 2).
(2) W przestrzeni R
3(R) zbadaj liniow¸a niezale˙zno´s´c wektor´ow (a) (1, 2, 3) oraz (−2, −4, −6),
(b) (1, 0, 1), (−1, 2, 1) i (0, 2, 2), (c) (1, −1, 0), (2, 1, 1) i (3, 0, 2), (d) (1, 4, 3), (−1, 2, −1) i (0, 6, 4).
(3) Zbadaj liniow¸ a niezale˙zno´s´ c podanych uk lad´ ow wektor´ ow w odpowiednich przestrzeniach liniowych
(a) (1, 0), (1, 1), (0, 1) w R
2(R), (b) √
2 i 2 w R(R), (c) √
2 i 2 w R(Q),
(d) 1 + x
2, 1 − x
2, 1 + 2x w R
2[x];
(e) 2 − x
3, 3x + 2, x
2+ x − 1 w R
3[x];
(4) Dla jakich warto´sci parametru a wektory (a) (1, 1, 1), (1, 2, 3), (a, 1, 1), (b) (1, 1, a), (2, 1, 4), (4, 2, 8)
s¸ a liniowo niezale˙zne w przestrzeni R
3(R)?
(5) Zbadaj, czy zbi´ or S generuje przestrze´ n R
2, je˙zeli (a) S = {(2, 1), (−1, 2)};
(b) S = {(5, 0), (5, −4)};
(c) S = {(−1, 4), (4, −1), (1, 1)};
(d) S = {(1, 3), (2, −6), (4, 12)};
(e) S = {(1, 1)}.
W przypadku, gdy podzbi´ or S nie generuje przestrzeni R
2, po- daj geometryczny opis podprzestrzeni, kt´ or¸ a rzeczywi´scie generuje.
(6) Czy zbi´ or S = {1, x
2, x
2+ 2} generuje R
2[x]?
(7) Czy zbi´ or S = {x
2− 2x, x
3+ 8, x
3− x
2, x
2− 4} generuje R
3[x]?
(8) Czy spe lniona jest zale˙zno´s´ c
(a) a
i∈ Lin(a
1, ..., a
k) dla i = 1, ..., k, (b) (1, 1, −1) ∈ Lin((2, −1, 3), (5, 0, 4)),
(c) (1, −8, 12) ∈ Lin((2, −1, 3), (5, 0, 4)), (d) (−1, −2, 2) ∈ Lin((2, −1, 3), (5, 0, 4),
(e) Lin((1, 2, 1), (4, 1, 2)) = Lin((−2, 3, 0), (3, −1, 1)), (f) Lin(t
2+ 1, −t
2+ 2, −t
2− t + 2) = Lin(t
2+ 1, t).
1
2
