Aksjomatyczne podejście do pojęcia granicy

S

K

Z

Aksjomatyczne podejście do pojęcia granicy

Jest powszecnnie wiadome, iż dla uczących się matematyki na różnych poziomach największe trudności mają naturę logiczną.

Istotnym ich źródłem są niewątpliwie kwantyfikatory. Staje się to zrozumiałe, gdy się pamięta o tym, iż w języku potocznym rzadko kiedy wykracza się poza jeden kwantyfikator, a jeżeli już mamy do czynienia z dwoma, to drugi kwantyfikator pojawia się w przebraniu, jak np. w zdaniu "Każdy człowiek ma swoje słabości". Operowanie dwoma kwantyfikatorami sprawia już trud­

ności, operowanie zaś trzema jest poza zakresem możliwości nor malnego, nawet inteligentnego ucznia liceum albo i dorosłego człowieka (naturalnie, nie mówimy o matematykach!).

Pierwsze trudności tego rodzaju pojawiają się w liceum w związku z zasadą indukcji matematycznej. Tu ma się jeszcze de­

cydujące ułatwienie polegające na tym, że można rozdzielić kwantyfikatory, posługując się pojęciem własności "dziedzicz­

nej", dobrze znanym nauczycielom matematyki. Mimo to, trudnoś­

ci są spore, zapewne dlatego, że już dwa kwantyfikatory nie da ją się zbyt łatwo opanować.

Znacznie trudniejsze jest pojęcie granicy. Tu już nie da

się rozdzielić wchodzących do definicji kwantyfikatorów i trze

ba operować wszystkimi trzema kwantyfikatorami naraz. Natural-

nie, każdy może się nauczyć na pamięć definicji granicy, ale przecież nie o to chodzi. Chodzi o umiejętność operowania zdania­

mi z trzema kwantyfikatorami. Wykładowca czy nauczyciel (oczy­

wiście poza wykładami dla studentów matematyki) najczęściej po­

daje formalną definicję granicy, na jej podstawie udowadnia pa­

rę twierdzeń całkiem łatwych i udaje, że wierzy (a może czasa­

mi naprawdę wierzy?), że go zrozumiano. W dalszym ciągu opusz­

cza trudniejsze dowody. Bardziej realistyczne jest traktowanie granicy w sposób czysto intuicyjny. Ostatecznie, można i tak, ale to nie daje ostro zarysowanego zrozumienia sprawy ani pew­

ności, iż wyniki rozumowań są poprawne. Jest wreszcie podejś­

cie często stosowane w szkołach angielskich, polegające na tym, że się w ogóle nie podaje żadnych dowodów (!).

Z punktu widzenia czystego matematyka byłoby chyba najle­

piej zrezygnować z nauczania rachunku różniczkowego i całkowe­

go na poziomie licealnym i zastąpić go różnymi tematami "skoń­

czonej" matematyki (choć młodzież może także dać sobie radę z elementami teorii mnogości), które na pewno kształciłyby umys­

ły znacznie lepiej niż na wpół zrozumiany rachunek różniczkowy i całkowy. Wszystko to, co jest tylko częściowo zrozumiałe, de­

moralizuje umysły. Niestety, nacisk na uczenie rachunku róż­

niczkowego i całkowego w liceach jest bardzo silny i trzeba przyznać, iż ma swoje uzasadnienie: przedmiot ten jest wszak niezbędny np. w nauczaniu nawet zupełnie elementarnej fizyki.

Wykrycie sposobu nauczania rachunku różniczkowego i całko­

wego, który byłby rzeczywiście i całkowicie zrozumiały dla ucz­

niów (przynajmniej dla zdolniejszych!), a jednocześnie byłby zadowalający z punktu widzenia matematycznego, jest więc niez­

miernie ważnym zadaniem. Piszący te słowa zauważył, iż w zakre­

sie elementarnego rachunku różniczkowego i całkowego ilość po­

trzebnych twierdzeń o granicach jest dosyć skromna, ale jednak za duża, by je hurtem przyjąć jako aksjomaty; przy tym w takim ujęciu związek między nimi zostałby zatracony. Okazuje się jed­

nak, iż da się na różne sposoby wybrać kilka własności pojęcia granicy, traktując je jako aksjomaty i wyprowadzić z nich po­

trzebne twierdzenia, nie posługując się nigdy zdaniami zawiera­

jącymi więcej niż dwa kwantyfikatory. Dowody są przy tym bar­

dzo proste i przejrzyste.

Granicę funkcji możemy sprowadzać do granicy ciągu. Czy­

nił to już na przełomie stulecia Gerhard Kowalewski w swoim ładnym podręczniku rachunku różniczkowego i całkowego. Jeżeli się nie ma skrupułów z używaniem aksjomatu Zermeli, to sprowa­

dzenie granicy funkcji zmiennej np. rzeczywistej do granicy ciągu nie sprawia trudności. Twierdzenie o granicy funkcji zło­

żonej pojawia się znacznie prościej w tym ujęciu. Pewne kłopo­

ty mogą powstawać w związku z pojęciem jednostajnej ciągłości i jednostajnego przejścia do granicy, ale to są już pojęcia wy­

kraczające poza zakres matematyki licealnej.

Rzecz jasna, iż formalne wyciąganie wniosków z aksjomatów w żadnym razie nie wystarcza. Wyjaśnianie intuicyjnego znacze­

nia aksjomatów, twierdzeń i definicji jest niezbędne, ale nie jest szczególnie trudne; całość jest dosyć poglądowa, co ułat­

wia przyswajanie sobie pojęć. Jak w każdej teorii, aksjomaty można wybierać na różne sposoby. System zaproponowany poniżej został wybrany z myślą o ich intuicyjności i o prostocie dowo­

dów potrzebnych nam twierdzeń.

Jak wynika z tego, co zostało powiedziane powyżej, poję­

ciem pierwotnym jest pojęcie granicy (skończonej) ciągu. Jeże­

li tym ciągiem jest {a^}, to granicę ciągu zapisujemy w postaci lim

n-> co n'

jeżeli ta granica istnieje, to jest ona jednoznacznie określo­

ną liczbą rzeczywistą. A jeżeli piszemy lim

n-* oo an " a,>

to tym samym twierdzimy, iż granica ta istnieje. Będziemy częs­

to upraszczać ostatni zapis, pisząc zamiast niego an— »a. A oto spis aksjomatów:

I. Jeżeli lim n-*-oo

(a

lim aj n -

>

+ b ) n

! a oraz a + b .

lim b = b n -+co n

to

II Jeżeli < bn > jest ciągiem wybranym z ciągu (an ) i lim a = a , to lim b = a

n n

n —> co n —* oo

III. Jeżeli ciąg {a } jest niemałejący i ograniczony, to istnieje lim a .

n-»oo

>

Jeżeli an £M dla każdego naturalnego n oraz lim a

n istnieje, to lim a iM.

n oo n ->oo

V. Jeżeli 1a^1 £ łbn 1 dla każdego naturalnego n oraz lim bn

n-+ oo

= 0 , to lim an = 0.

n -y oo

Zauważamy od razu, iż aksjomaty te są spełnione przez kla­

syczne pojęcie granicy. W dalszym ciągu okaże się, że i na od­

wrót, pojęcie granicy zdefiniowane przez powyższe postulaty ma własność, która służy za klasyczną definicję granicy. Skoro na­

sze postulaty są spełnione przez granice w zwykłym tego słowa znaczeniu, to są one niesprzeczne. Aby pokazać, iż aksjomaty nasze są niezależne, trzeba już tylko pokazać, iż żaden z nich nie wynika z pozostałych czterech. Czynimy to przez kontrprzy- kłady.

I. Niech lim a oznacza połowę klasycznej granicy, gdy n -fcoo n

jest ona dodatnia oraz samą granicę, gdy jest ujemna lub zero­

wa. Łatwo widzieć, że jeżeli a < 0 oraz b > 0 , to aksjomat I nie jest spełniony. Natomiast pozostałe aksjomaty są wtedy spełnione. I I .

II. Uważajmy liczbę a za granicę ciągu {an) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg wybrany z tego ciągu o gęstości 1 dążący w zwykłym tego słowa znaczeniu do liczby a .

Gęstość ciągu wybranego można zdefiniować następująco:

Niech N(m) oznacza liczbę elementów ciągu (an ) ° wskaźni­

kach nie przekraczających m , które wchodzą do ciągu wybrane­

go; jeżeli N(m)/m dąży do jakiejś granicy w zwykłym tego sło­

wa znaczeniu, to granicę tę nazywamy gęstością ciągu wybranego.

Oczywiście, może ona być równa dowolnej liczbie z przedziału

C0,l].

Aksjomat II przy wymienionych wyżej założeniach II nie jest spełniony, gdyż ciąg wybrany o gęstości 0 może się za­

chowywać dowolnie, nie wpływając na granicę ciągu wybranego o gęstości 1 . Nie ma trudności w sprawdzeniu, iż pozostałe ak­

sjomaty są spełnione.

III. Uważajmy liczbę a za granicę danego ciągu, jeżeli jest jego granicą w zwykłym tego słowa znaczeniu, a ponadto na leży do jakiegoś pierścienia zawartego w ciele liczb rzeczywis tych, np. do pierścienia liczb całkowitych albo do ciała liczb wymiernych. Aksjomat III nie jest wtedy spełniony, ale pozostałe są.

IV. Jeżeli będziemy nazywać granicą ciągu jego podwojoną klasyczną granicę, to aksjomat IV nie będzie spełniony, ale po zostałe cztery będą spełnione.

V. Uważajmy liczbę a za granicę ciągu {an> / jeżeli jest jego granicą w sensie klasycznym i ponadto ciąg jest nie- malejący. Bez trudności sprawdzamy, iż pierwsze cztery aksjoma ty są spełnione, ale ostatni nie, gdyż przy an—! ►O w tym sen­

sie (-l)nan nie dąży do zera.

To wszystko, naturalnie, nie jest dla uczniów. Dla nich można zacząć teorię następująco:

TWIERDZENIE 1. Jeżeli an~ *• a oraz c jest liczbą całko­

witą dodatnią, to c a ^ c a .

Dowód : Przez indukcję matematyczną, na podstawie aksjoma tu I.

TWIERDZENIE 2. Jeżeli a^— >0 i ciąg (bn ) jest ograni­

czony, w szczególności, jeżeli bn sprowadza się do sta­

łej, to

.

Dowód : Istnieje całkowite k takie że Ib I< k dla

n

każdego n . Zgddnie z twierdzeniem 1 kan~^0 , a ponie­

waż lanfc>n l<lkan l , z aksjomatu V otrzymujemy anh>n— *-0 .

TWIERDZENIE 3. Jeżeli an = 0 dla każdego n , to an— >0.

Dowód : Zgodnie z aksjomatem III istnieje ^ijn^an , po­

wiedzmy a . Natomiast zgodnie z twierdzeniem 1, 2an-T»2a.

Ale ponieważ 2aR = a^ , an 2a , więc 2a = a , czyli a=0.

TWIERDZENIE 4. Jeżeli a = a dla każdego n , to a — *a.

n J n

Dowód : Zgodnie z aksjomatem III, {an > oraz {-an > mają granice, powiedzmy b oraz b' . A zgodnie z aksjomatem I i twierdzeniem 3, b + b' = 0 . Ale z aksjomatu IV, b i a i b'ś -a , czyli -b i -a , tzn. b £ a . Z obu nierówności wynika b = a.

TWIERDZENIE 5. an— »a wtedy i tylko wtedy, gdy (an~a)— »0.

Dowód : Wynika od razu z aksjomatu I i twierdzenia 4.

TWIERDZENIE 6. Jeżeli an—*-a oraz c jest dowolną liczbą rzeczywistą, to can— >ca .

Dowód : Zgodnie z twierdzeniem 5 (a^ - a)— *0 , dalej z twierdzenia 2 otrzymujemy (can “ ca)— *0 , i znowu zgod­

nie z twierdzeniem 5 ca -+ca . n

Wniosek 7. Jeżeli a —♦a , to -a -*-a . --- n n

Całkiem trywialne są dowody następujących twierdzeń:

8. Jeżeli a —*a i b —>b , to (a - b )—*a - b .

n n n n 9

9. Jeżeli ciąg {an> jest nierosnący i ograniczony, to

ma granicę.

10. Jeżeli £ M dla wszystkich n i lim a istnie­

li J iWoo n

je, to lim a ś M . J n-*co n

Teraz potrzebne jest pojęcie kresu górnego (supremum), lub dolnego (infimum) zbioru czy ciągu. Pojęcie jest trochę subtelne, ale nie wymaga trzech kwantyfikatorów.

TWIERDZENIE 11. Jeżeli {an > jest ciągiem niemalejącym i skończone s = sjjp an , to an~*'s •

Dowód : Skoro s jest skończone, to ciąg (an > jest o- graniczony, więc zgodnie z aksjomatem III ma on granicę i z ak­

sjomatu IV otrzymamy ^ijn^an £ s . Pozostaje tylko do wykaza­

nia, że nierówność jest tu niemożliwa. Przypuśmy zatem, iż a

—*1 < s . Istnieje wtedy takie L , że 1 < L < s . Dalej, is nieje takie N , że aN ^ L , gdyż w przeciwnym razie s nie byłby górnym kresem (an ) • Skoro ciąg jest niemalejący, to an £ L dla wszystkich n * N . Tworzą one ciąg wybrany z cią­

gu (an > , więc dążą do 1 . Ale z twierdzenia 10 mamy 1 > L . Sprzeczność dowodzi prawdziwości twierdzenia.

Z tego twierdzenia otrzymujemy natyczmiast

TWIERDZENIE 12. Jeżeli ciąg (an ) jest nierosnący i jeże­

li u = igf an , to an-H>u .

Teraz wprowadzamy "groźne" £, ale traktujemy je jako stałą, więc nie ma operowania trzema kwantyfikatorami naraz:

TWIERDZENIE 13. Niech £ będzie dowolną liczbą dodatnią, którą będziemy uważać za stałą. Załóżmy, iż an“*0 • Ist_

nieje więc takie N , że n > N pociąga za sobą Ian I <£.

Dowód : Przypuśćmy, iż wbrew twierdzeniu nie ma takiego N.

Możemy wtedy utworzyć ciąg (bn > wybrany z (an ) taki, że Ibn I s £ dla każdego n . Ale z aksjomatu II bR—^ >-0 , a zatem z aksjomatu V mamy Ib^ł —^0 . Skoro jednak Ibn I ma granicę, to z twierdzenia 10 ^im bn £ £ , a więc sprzeczność, która

r+ 3

dowodzi prawdziwości twierdzenia.

Formalnie, ciąg (bn > można utworzyć następująco: według naszego przypuszczenia istnieją wyrazy ciągu (an ) ° wartości bezwzględnej większej od £. Niech bQ będzie pierwszym z • nich. Postępujemy według zasady indukcji matematycznej. Przy­

puśćmy, że utworzyliśmy wyrazy bQ , bj,..., b (m £ 0) o war­

tościach bezwzględnych nie mniejszych od £ . Niech b = ag . Wśród wyrazów an z n > r musi się znaleźć wyraz ag taki,

że lag l 2 £, gdyż inaczej r mógłby odgrywać rolę N . Niech t będzie takim najmniejszym s ; wtedy otrzymujemy b = a. .

m+1 t

Jako natychmiastowy wniosek z tego twierdzenia mamy:

TWIERDZENIE 14. Niech £ będzie dowolną liczbą dodatnią, którą będziemy uważać za stałą. Jeżeli an~*a • to istnie­

je takie N , że n > N pociąga za sobą la - al < £.

Jeżeli nie obawiamy się trzech kwantyfikatorów, to możemy stąd wyciągnąć wniosek, iż pojęcie granicy ciągu zdefiniowane przez nasze postulaty ma własność, która zwykle służy za defi­

nicję granicy. Zatem, w myśl uwagi uczynionej bezpośrednio po wyliczeniu aksjomatów, oba pojęcia granicy ciągu są równoważne.

Można by zarzucić szkicowi proponowanego wykładu, iż do­

wolność liczby £ wprowadza utajony kwantyfikator. Ale tym kwantyfikatorem zupełnie się nie operuje, więc nie powinien on sprawiać trudności. Poza tym, twierdzenia 13 i l 4 s ą w kursie potrzebne tylko dla dowodu następnego twierdzenia i dla tego celu można go zastąpić jedną konkretną stałą, np. liczbą 1, pozbywając się widma trzeciego kwantyfikatora.

TWIERDZENIE 15. Jeżeli ciąg {a } ma (skończoną) granicę, n

to jest ograniczony.

Dowód : Jest to bezpośredni wniosek z poprzedniego twier­

dzenia.

TWIERDZENIE 16. Jeżeli a —>a oraz b — >b , to a b —♦ab.

n n n n

Dowód : Zgodnie z twierdzeniem 5 b - b—>0 , zaś z twier­

dzenia 15 ciąg {a } jest ograniczony. Zatem z twierdzenia 2 n

mamy a, (b - b)-»0 , ale także a b — >ab . Zgodnie z aksjoma-

t> n n

tern I, twierdzenie wynika z ostatnich■dwóch przejść do granicy.

TWIERDZENIE 17. Jim ^ = 0 i ogólniej Jim - 0 dla dowolnego (stałego) dodatniego cx, i dowolnego c . Dowód : Pomijając trywialny przypadek c = 0 , ciąg war­

tości bezwzględnych jest malejący. Twierdzenie jest więc kon­

sekwencją twierdzenia 12 i aksjomatu V.

TWIERDZENIE 18. Jeżeli bn ^ 0 dla każdego n oraz b —>b 4 0 , to { Ib 1} ma dodatni kres dolny,

n n'

Dowód : W przeciwnym razie znalazłby się ciąg wybrany z ciągu {bn > dążący do zera.

Twierdzenie można także wyprowadzić z twierdzenia 14, bio­

rąc £ = Ib 1/2.

TWIERDZENIE 19. Jeżeli a -^a n n b 4 0 , to

n

bn~*b ^ 0 i dla każdego

{ Ib I } Dowód : Zgodnie z twierdzeniem 18 n

ma dodatni kres dolny. Przeto ciąg ograniczony. Ale z twierdzeń 2 i 5

wu na podstawie twierdzenia 3, {Ib bl }

n

ba - ab -

n n

ba. ab bnb

a zatem i {1/Ib^bI} jest ->0 , a więc, zno-

•0, co jest równoważne twierdzeniu 19.

Wprowadzanie dalszych twierdzeń o granicach skończonych

nie przedstawia już trudności. Móże jednak warto przytoczyć

następujące twierdzenie:

TWIERDZENIE 20. Jeżeli dla każdego n a £ b £ c , a

^ n n n ' przy tym a -»a i c — *a , to b —*a .

* J 1 n n ' n

Dowód : Z twierdzenia 8 i aksjomatu V otrzymujemy Ic - a I— >0 . Ale dla każdego n Ib - a l Sic - a I ,

n n 73 n n n n

więc znowu z aksjomatu V mamy bn - an~-*0 • a ponieważ an~*a , według aksjomatu I, bn—>a .

Korzystając z tego twierdzenia - ale już używając trzech kwantyfikatorów - mażna by udowodnić, iż ciąg spełniający waru­

nek służący klasycznie do definiowania jego granicy ma tę samą granicę co granica zdefiniowana pośrednio przez nasze postula­

ty. Wraz z twierdzeniem 14 dałoby to zupełną równoważność obu pojęć granicy.

Granice nieskończone sprowadzają się do granic skończonych przez następującą definicję:

A i V n = 00 ' c z y li “n - 00 znaczy I+ ri^ T

Twierdzenia o szeregach sprowadzają się w sposób tradycyj­

ny do twierdzeń o ciągach. Do nich sprowadzają się również twierdzenia o funkcjach zmiennej rzeczywistej, a ostatecznie i .zespolonej, gdyby ktoś chciał. Piszący te słowa jest przeko­

nany, iż w takim ujęciu elementy rachunku różniczkowego stały­

by się pojęciowo dużo dostępniejsze.

An axiomatic approach to the concept of limit Summary

The author points out students' difficulties connected with the occurrence of three quantifiers in the definition of

the limit of a number sequence. He also presents a way of by­

passing this difficulty, at least in the first stage of formation of the concept of limit, through an axiomatic defi­

nition derived from intuitive considerations.